导数复习与不等式问题 学案——2026届高三数学一轮复习

2026高考一轮复习学案 导数的复习与不等式问题 【练习回顾】 切线方程、公切线问题与切线放缩 1. 已知函数f(x)＝x2－1，函数g(x)＝a ln x，其中a≤2.如果曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处有公切线，则a＝ ，此切线方程为 ． 【答案】a＝2； 2x－y－2＝0 2.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则k＝(　 　) A．2 B．4 C．e2 D．e-2 【答案}A 【解析】对于y＝ln x＋2，y′＝，设切点为(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝(x－x1)，y＝x－1＋ln x1＋2＝x＋ln x1＋1，即k＝，b＝ln x1＋1①；对于y＝ln (x＋1)，y′＝，设切点为(x2，y2)，则切线方程为y－y2＝(x－x2)，y＝x－＋ln (x2＋1)，k＝，b＝ln (x2＋1)－ ②.由①②得解得x2＝－，∴k＝＝2. 故选A. 3.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，， 由题意得直线过定点，且斜率， 如图，由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点， ∴，则切线方程过点， ∴，即，， ∴ 4. 已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】-1 【解析】 法一：当时，，， 设，则，∴在上单调递减， 又，，∴在上有唯一的零点， 当时，，∴，故在上单调递增， 当时，，∴，故在上单调递减， 从而，又，∴，两边取对数得：，故，即的最大值为. 法二：设，则，∴，， 从而在上单调递减，在上单调递增，故，∴，故，当时， 当且仅当时等号成立，设，则，故在上单调递增，结合，知在上有零点，即方程有实根，∴. 极值与最值问题 5.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在处得到极大值 B．在处得到极大值 C．在处得到极小值 D．在处得到极小值 【答案】C 【解析】由，且，∴时，递减，时，递增，∴在处得到极小值. 故选：C （隐）零点存在问题（含参、不含参） 6.若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵有两个零点， 故有两个不同的解， ∴有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 7.已知函数，若曲线在点处的切线斜率为则= ；若有个实数解，则的取值范围是 . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵，∴， 由导数的几何意义可得，整理可得，解得. （2）由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为，如图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 此时，方程有个实数解. 故实数的取值范围是. 8.（多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.则（    ） A． B．若是对称中心，则极小值是-12 C． D． 【答案】ACD 【解析】已知函数在上是增函数，在上是减函数，∴在取得极大值，则， 由，得，∴A正确. 方程有一个根是，则，得， 由函数对称中心是，可得， 代入得，化简得， 联立，解得，则， 求导得，令，解得或， 可知函数在单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值， 则，∴B错误. 已知，可得，∵在上是减函数，∴， 即，解得. 由，得，则， 由，可得，∴，∴C正确. ∵方程有3个实数根，∴设， ∴，得， 由得， ∵，∴，∴，∴D正确. 故选：ACD. 导数的二元问题 9.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴，即实数的取值范围是. 故选：D 10.（多选）已知函数,若,且,则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对A， 由,且得.. 设,则. 可得.要证,即证..只需证. 设, 则. 令,则. 当时,单调递减.当时,单调递增.,即,在上单调递增.. 故A正确 对C，等价于，故可得： ，由对数均值不等式可得：，故. 故C正确 【思路梳理】 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）分参，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）酌情考虑分类讨论、放缩与换元，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 题型一、不等式的含参问题 1.已知函数（）. （1）记，讨论的单调性； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】（1）定义域为，得， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令得， ＋ 0 － 增 极大值 减 ∴当时，在单调递增，在单调递减. 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由，得在恒成立， 记，，则， 令，则， 得在单调递增， 又∵且，由零点存在性定理知， 存在，使得，即， 当时，，得，∴单调递减， 当时，，得，∴单调递增. 故 由得，构造函数（）， 得，∴在单调递增， 由，可得， ∴，故. 2.已知函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若，不等式恒成立，则， ， 当时，对于，，∴在上单调递增， ∴时，，即满足题意； 当时，若，则，在上单调递减， ∴，与矛盾，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 3.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，∴在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. ∵，∴， ∴对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． ∴有最大值，于是，解得． 故选：B 4.若，且不等式的解集为，则a-b= . 【答案】1 【解析】与都是单调递增函数，则f(1)为最小值，f(1)=0即可. 5.已知函数，，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】∵当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 当时，解得， 设，， 则， 令，则， 当时，则单调递增， 当时，则单调递减， ∵，，，， 当，即时在上恒成立， ∴在上单调递增， ∴，∴恒成立， 当时使得， ∴当时，单调递增； 当时，单调递减； ∴，则，解得， 综上可得，即的取值范围为. 题型二、不等式的证明问题 作差（商）构造函数求导分析解决问题 1.证明：． 【答案】见解析 【解析】证明：令，则 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增 则在时求得最小值， 即在上恒成立，即在上恒成立 2.已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线. （1）求、的值； （2）证明：. 【答案】（1），；（2）见解析. 【解析】（1）解：，， 由题意得解得，； （2）证明：令， 则， 令，得，令，得， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴， ∴，即. 拆分法构造新函数（原则：指对分离） 3.证明： 【答案】见解析 【解析】拆分函数，分别证明且即可. 构造函数求导可证 法一：，构造函数证明 法二：由与非负性，只需证明. 4.证明： 【答案】见解析 【解析】即证，左右构造函数，左求最大值，右求最小值即可. 5. 已知，求证：. 【答案】见解析 【解析】 法一：与4同理，指对分离 法二：提取公因式后用不等式放缩. 放缩法 6.证明：对 【答案】见解析 【解析】由因式非负，用部分放缩即可. 7.证明：. 【答案】见解析 【解析】. 8.已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)当时，求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为0，无极大值 (2)见解析 【解析】（1）∵，∴， 令，解得，在上单调递增， ，解得，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为， ∴函数的极小值为，没有极大值； （2）法一：要证， 即证， 设，要证原不等式成立即证成立， ∵ ∵，∴(当且仅当，时等号成立)， 由(1)知(等号成立)， ∴，∴在单调递增，∴ ∴当时，得证. 法二：要证， 即证 设，要证原不等式成立即证成立， ∵， 设， 则，令m(x)＝， 则 ∵，，又，∴， 即在单调递增， ∴，即在单调递增， ∴，∴， 即在单调递增，∴ ∴当时，得证. 9.已知各项均为正数的数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，试比较与9的大小，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）∵， ∴， ∵的各项均为正，∴，故，即， ∴是以2为公比的等比数列， ∵，又公比为2， ∴，∴. （2），证明如下： 令，则， 当时，，即在上单调递减， ∴，则，即， 设，∴， ∴， 记，则， ∴， 即，则，∴，∴ 10.已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1），可得. 令，其中，则. ①当时，，合乎题意； ②当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立， 所以，， 所以，不恒成立，不合乎题意； ③当时，，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，，可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （2）当时，，所以. 由（1）知：，即，所以. 令，得，即，所以. 当时，，则，显然，结论成立； 当时， ， 结论成立.因此，当时，成立. 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考一轮复习学案 导数的复习与不等式问题 【练习回顾】 切线方程、公切线问题与切线放缩 1.己知函数f(x)=x2-1,函数g(x)=alnx,其中a≤2.如果曲线y=f(x)与y=g(x)在x =1处有公切线，则a= 此切线方程为 2.若直线y=kx+b是曲线y=lnx十2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则k=() A.2 B.4 C.e2 D.e-2 3.已知函数 -2m-引m后的图豫与省皱=aa>0格有三个公共a,这 tan(x+x2-x3) 三个点的横坐标从小到大依次为，x2,X,则x+- A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.已知函数f(x)=lnx-xe+ax(a∈R),若a=1,则fx)的最大值为 极值与最值问题 5.已知函数f(x)=x2lnx,，则下列结论正确的是() A儿，在处得到极大雀。 1 B。()在x=E处得到极大值氵 C)在x=店处得到极小值及 D.f)在x=E处得到极小值 (隐)零点存在问题（含参、不含参） 6.若函数f(x)=x2(1-e+x(lnr+a有2个零点，则实数a的取值范围是() A.（-0,0 B.(-o,] C.[0,+0) D.(1,+0) 7已知函数儿=+-，若面线=1因在，训处的刀线斜车为音则 一；若∫(x)=k有2个实数解，则k的取值范围是 8.（多选)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-0,0]上是增函数，在[0,2上是减函数，且 1 2026高考一轮复习学案 方程fx)=0有3个实数根，它们分别是，B,2.则() A.c=0 B.若(2，f(2)是对称中心，则极小值是-12 C.f(1≥2 D.a-B≥3 导数的二元问题 9.若对于任意的0<<，<，都有-石<玉 Inx In x2 11 -，则实数a的取值范围是() A.(0,e] B.(0,e) C.(0,1 D.(0,1] 10.（多选)己知函数f(x=x,若0<x1<x2,且f(x)=f(x2),则下列说法正确的是() A.3x1+x2>3 B.3x1+X2<3 C.x1+x2>2 D.x1+X2<2 【思路梳理】 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： (1)构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； (2)分参，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； (3)酌情考虑分类讨论、放缩与换元，注意恒成立与存在性问题的区别. 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： (1)xeD,m≤f(x台m≤fxan: (2)xeD,m≥fd分m≥f)ms: (3)3xeD,m≤f(x)台m≤f(x)s: (4)3xeD,m≥f(x台m≥f(xnn. 一必考题型归纳 题型一、不等式的含参问题 2 2026高考一轮复习学案 1.已知函数f(x=nx+ax+l（a∈R). x (1)记gx)=xf(x,讨论gx)的单调性； (2)若对任意的x∈0，+oo),都有f(x)≤e恒成立，求实数a的取值范围. 2.已知函数f()=(c-e-ar2+1,若x∈[0，+0)，不等式f()之0恒成立，则实数a的取值 范围是 3.己知元>0，对任意的x>1,不等式e2-n≥0恒成立，则入的取值范围为() 2 1 A.[2e,+o B.2e+ C.[e,+o) D. 4.若a>1>b>0,且不等式g(ax-bx)>0的解集为(1，+o),则ab 5已知函数八-g,g到=snr+cosx,当re0,时，fy≤8y恒成立，求a的取 值范围。 题型二、不等式的证明问题 作差（商)构造函数求导分析解决问题 2026高考一轮复习学案 1.证明：r≥1-1 2.已知函数fx=n1+x,g=a+br-)+,函数y=fx)与函数y=gx的图 2 3 象在交点(0,0)处有公共切线. (1)求a、b的值； (2)证明：f(x≤gx). 拆分法构造新函数（原则：指对分离） 3.证明：卡-lnx-忌<0. 4.证明：x2+xlnx<e 2026高考一轮复习学案 5.已知f8=e*mx+2,求证：fx)>1. 放缩法 6.证明：对x>0,ln(x+12-1-ln)<1+e2 7.证明：ex-22lnx. 8.已知函数f(x)=e-x-1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； ②)当20时，求证：f)+x+1)2+cosx 2026高考一轮复习学案 9.已知各项均为正数的数列{a,},满足a-an4a,-2a=0(neN),a,a,a,=64. (1)求数列{an}的通项公式： ee- 试比较T与9的大小，并证明， 10.已知函数f(x=alnr+a-l (1)若xx)≤x-1恒成立，求a的取值范围； f2+③++fm<"+,1。-19 (2)当a=1时，证明：23 n2'2n+224 6