3.1.1.4 函数相等问题 难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1.4函数相等问题 难点训练微专题 (详解版) 突破通法： 如何判断两个函数是否为相等（同一）函数： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 微专题训练 一、单选题 1．下列函数中与函数相等的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简各函数的解析式，根据函数的定义域、值域逐项判断可得答案.. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数，定义域为，故B正确； 对于C，函数的值域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误. 故选：B. 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以不为同一函数； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 且，所以为同一函数. 故选：D. 3．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 4．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 5．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 6．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 7．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据函数的定义域和对应法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 故两者不是同一函数； 对于B，由得，故定义域为， 由得， 故的定义域为，故两者不是同一函数； 对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故两者不是同一函数； 故选：C. 8．下列各组函数是同一个函数的是（    ） ①与；②与； ③与；④与. A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】整理函数解析式并求其定义域，逐项进行比较，可得答案. 【详解】对于①，由函数可得，解得，则其定义域为， 由函数可得，解得，则其定义域为，故①不符合题意； 对于②，函数的定义域为，函数的定义域为，故②符合题意； 对于③，函数的定义域为，函数的定义域为，故③不符合题意； 对于④，函数的定义域为，函数的定义域为，故④符合题意. 故选：C 二、多选题 9．下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 10．下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 11．与函数是同一函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】判断两个函数为同一函数，要求两个函数的定义域和对应关系都必须相同. 【详解】函数的定义域为，对应关系为. 对于选项A，函数定义域为，与函数的定义域不同，所以不是同一函数，故不选A. 对于选项B，函数的定义域为，与函数的对应关系相同，所以是同一函数，故选B. 对于选项C，函数的定义域为，与函数的定义域不同，所以不是同一函数，故不选C. 对于选项D，函数的定义域为，与函数的对应关系相同，所以是同一函数，故选D. 故选: BD 三、填空题 12．下列各组函数： ①，；② ； ③，；④，； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数． 其中表示相等函数的是 填上所有正确的序号． 【答案】③⑤ 【分析】逐个判断两个函数的定义域、对应法则是否相同即可． 【详解】对于①，定义域为，定义域为， 所以定义不相同，所以不是相等的函数； 对于②，的定义域为，的定义域为， 因为两函数的对应关系不相同，所以两函数不是相等的函数， 对于③，的定义域为，的定义域为， 所以定义域相同，因为，所以这两函数是相等的函数， 对于④，两函数的定义域均为，因为，所以两函数不是相等的函数， 对于⑤，汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数是相同的函数， 所以表示相等函数的是③⑤， 故答案为：③⑤． 13．函数和函数 同一函数（填：是或不是） 【答案】不是 【解析】根据两个函数的定义域和对应法则，即可作出判断. 【详解】函数和函数的定义域均为，而，，对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 故答案为：不是 14．下列函数；；；与函数是同一函数的是 ． 【答案】 【分析】分别判断每个函数的定义域和对应关系是否和一致即可. 【详解】的定义域为， 定义域是，所以与函数不是同一函数； 定义域是，所以与函数不是同一函数； ，且定义域为，所以与函数是同一函数； ，所以与函数不是同一函数． 故答案为：. 四、解答题 15．下列函数中哪个与函数是相同的函数？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）不是相同函数；（2）是相同函数；（3）不是相同函数；（4）不是相同函数. 【分析】根据同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； （2）中，函数与的定义域与对应法则都相同，所以是相同的函数； （3）中，函数与的对应法则不同，所以是不是相同的函数； （4）中，函数与的定义域与对应法则都不相同，所以是不是相同的函数. 16．已知函数和，设. （1）求函数； （2）求和的值； （3）求的值； （4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由. 【答案】（1）；（2）；不存在；（3）当时，；当时，不存在；（4）和不是同一函数，详见解析. 【分析】（1）先由的定义域可得的定义域，然后求解； （2）把代入可得,没有意义； （3）分类讨论与定义域的关系，可得的值； （4）从定义域和解析式的特征进行判定. 【详解】（1）. ∵的定义域为的定义域为， ∴的定义域为与的定义域的交集，即. ∴. （2）∵，∴. ∵，∴不存在. （3）当时，即当时，； 当时，即当时，不存在. （4）和，虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域R，后者定义域为. 所以和不是同一函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1.4函数相等问题 难点训练微专题 (学生版) 突破通法： 如何判断两个函数是否为相等（同一）函数： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 微专题训练 一、单选题 1．下列函数中与函数相等的函数是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 7．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．下列各组函数是同一个函数的是（    ） ①与；②与； ③与；④与. A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 二、多选题 9．下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．与函数是同一函数的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．下列各组函数： ①，；② ； ③，；④，； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数． 其中表示相等函数的是 填上所有正确的序号． 13．函数和函数 同一函数（填：是或不是） 14．下列函数；；；与函数是同一函数的是 ． 四、解答题 15．下列函数中哪个与函数是相同的函数？ （1）； （2）； （3）； （4）. 16．已知函数和，设. （1）求函数； （2）求和的值； （3）求的值； （4）若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $