1.4.1 充分条件与必要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 人教A版2019高中数学必修第一册 B A 一、命题 一般地,我们把用 语言 、 符号 或 式子 ,表达的,可以 判断真假 的 陈述句 叫做 命题 . 判断为 真 的语句叫做 真命题 , 判断为 假 的语句叫做 假命题 . 原命题:“若 p,则 q”(如 “若两直线平行,则同位角相等”) 逆命题:“若 q,则 p”(如 “若同位角相等,则两直线平行”) 否命题:“若非 p,则非 q”(如 “若两直线不平行,则同位角不相等”) 逆否命题:“若非 q,则非 p”(如 “若同位角不相等,则两直线不平行”) 思考:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题,哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若x2-4x+3=0,则x=1; (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. 真命题 假命题 假命题 真命题 优化设计:p24 【例1】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,指出条件和结论, 并判断命题的真假. (1)两个周长相等的三角形面积相等; (2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2; (3)当m>1时,x2-2x+m=0无实根. 优化设计:p24 【变式训练1】 指出下列命题的条件与结论,写成“若p,则q”的形式, 并判断真假. (1)平行四边形的两条对角线互相垂直. (2)直角三角形的两个锐角互余. (3)当abc=0时,a=0,且b=0,且c=0. 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”真 推理关系 条件关系 “若p,则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 命题的分类 下列“ 若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; (4)若x2=1,则 x=1; (5)若a=b,则 ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数. 例1 7 一般地,要判断“若p,则q”形式的命题 中p是否为q的充分条件,只需判断是否有 p q,也就是判断“若p,则q”是否为真 命题. 方法总结 例1中若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; 问题1:四边形的两组对角分别相等是四边形是平行四边形充分条件,是唯一的充分条件吗? ①若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; ②若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; ③若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形;等 不唯一 结论:数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 思考 充分性:条件是充足的,条件是足够的, 条件是足以保证结论成立的,但不是唯一的. “有之必成立,无之未必不成立” (1) 若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2) 若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形. 概念剖析 优化设计:p25 变式训练2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a,b都是偶数,则a+b是偶数; (2)若x∈A∩B,则x∈A∪B; (3)若x2>y2,则x>y. 下列“ 若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形; (4)若x=1,则x2=1; (5)若ac=bc,则a=b; (6)若xy为无理数,则x,y为无理数. 例2 12 一般地,要判断“若p,则q”形式的命题 中p是否为q的充分条件,只需判断是否有 p q,也就是判断“若p,则q”是否为真 命题. 方法总结 例2中若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; 问题2:四边形是平行四边形是四边形的两组对角分别相等的必要条件?这样的必要条件是唯一的吗? ①若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; ②若四边形是平行四边形,则四边形的一组对边平行且相等, ③若四边形是平行四边形,则四边形的两条对角线互相平分。 不唯一 结论:数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 思考 必要性:必要就是必须的,必不可少的, 但不是唯一的. “有之未必成立,无之必不成立” 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 概念剖析 优化设计:p24 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若四边形为矩形,则这个四边形的两条对角线相等; (2)若四边形的对角互补,则这个四边形是圆内接四边形; (3)若a2+b2=0,则a+b=0; (4)若x2-4x+3=0,则x=1. 从集合的角度来理解充分条件、必要条件 ,即 或 已知 如果 ,那么p是q的什么条件? q是p 的什么条件? p是q的充分条件 q是p的必要条件 小范围 大范围 概念剖析 新知巩固:充分与必要条件P20 命题的分类 优化设计:p25 【例3】 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分条件? 若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由. 优化设计:p25 1.将本例条件“4x+p<0”换为“4x+p>0”,其他条件不变,结果如何? 2.本例若换为:是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的必要条 件?若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.如何求解? 优化设计:p26 【典例】 使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x<0 B.x≥0 C.x≤1 D.x>1 【变式训练】 使不等式-4≤x+1≤4成立的一个必要条件是( ) A.2≤x≤3 B.-6≤x≤3 C.-5≤x≤2 D.-6≤x≤2 优化设计:p26 1.下列命题中,是真命题的是( ) A.{x∈R|x2+1=0}不是空集 B.若x2=1,则x=1 C.空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0的根是自然数 优化设计:p26 2.(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的是( ) A.“a=b”是“ac=bc”的充分条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的必要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 D.“a<5”是“a<3”的必要条件 优化设计:p26 3.把“角平分线上的点到角两边的距离相等”写成“若p, 则q”的形式是 , 是 命题.(填“真”或“假”) 优化设计:p26 4.判断下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:x=3,q:x2=9; (2)设集合M={1,2},N={a2}.p:a=1,q:N⊆M. 优化设计:p26 5.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件, 求实数a的取值范围. $