1.4.1充分条件与必要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提升数学抽象、逻辑思维的核心素养.2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点　充分条件与必要条件 知识归纳 项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 4 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件 必要条件 5 ·疑难解惑· (1)p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件,或q是p的必要条件,或q的充分条件是p,或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. 基础自测 1.下列式子中,不是x≤2的充分条件的是(　　) [A]x<1 [B]x<3 [C]-1<x<1 [D]x<2 B 2.使x>1成立的一个必要条件是(　　) [A]x>0 [B]x>3 [C]x>2 [D]x<2 A 【解析】 只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出.故选A. 3.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A⊆B,则“x∈B”是“x∈A”的 　　　　(填“充分”或“必要”)条件.  必要 【解析】 因为A⊆B,所以由x∈B不能推出x∈A,充分性不成立. 反之,若x∈A,则x∈B. 故“x∈B”是“x∈A”的必要条件. 4.若“x=2”是“x<a”的充分条件,则实数a的取值范围为　　 　　.  {a|a>2} 【解析】 若“x=2”是“x<a”的充分条件,则x=2满足不等式x<a,故a>2. 关键能力·素养培优 [例1] (苏教版必修第一册P31例1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些? (1)p:x=2,q:x2-x-2=0; 题型一　充分条件的判断 【解】 (1)因为p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形; (3)p:同位角相等,q:两条直线平行; 【解】 (3)因为p⇒q,所以p是q的充分条件. (4)p:四边形是平行四边形;q:四边形的对角线互相平分. 【解】 (4)因为p⇒q,所以p是q的充分条件. ·解题策略· p是q的充分条件的判断方法 (1)确定谁是条件,谁是结论:p是q的充分条件中,p是条件,q是结论. (2)尝试从条件p推出结论q:若条件p能推出结论q,则p是q的充分条件,否则p就不是q的充分条件. [变式训练] 指出下列命题中,p是不是q的充分条件. (1)p:x为自然数,q:x为整数; 【解】 (1)若x为自然数,则x一定为整数,即p⇒q,故p是q的充分条件. (3)p:a2+b2=0,q:a+b=0. 【解】 (3)a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件. 题型二　必要条件的判断 [例2] (苏教版必修第一册P31例2)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些? (1)p:|x|=1,q:x=1; 【解】 (1)因为q⇒p,所以p是q的必要条件. (2)p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等; (3)p:同位角相等,q:两条直线平行; 【解】 (3)因为q⇒p,所以p是q的必要条件. (4)p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分. 【解】 (4)因为q⇒p,所以p是q的必要条件. ·解题策略· p是q的必要条件的判断方法 (1)把p是q的必要条件转化为q是p的充分条件,这里q是条件,p是结论. (2)若q是p的充分条件,则p是q的必要条件,若q不是p的充分条件,则p不是q的必要条件. [变式训练] 下列“若p,则q”形式的命题中,p是不是q的充分条件? p是不是q的必要条件? (1)在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB; 【解】 (1)因为p⇒q,且q⇒p,所以p是q的充分条件,p也是q的必要条件. (2)已知x∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0; (3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2; (4)p:△ABC是等腰三角形,q:△ABC是直角三角形. [例3] 已知集合A={x|2a≤x≤a+1},B={x||x-1|≤2},若“x∈A”是“x∈B”成立的充分条件,求实数a的取值范围. 题型三　由充分(必要)条件求参数 ·解题策略· 此类题一般转化为集合的关系求解,设满足条件p, q的元素分别对应集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论: (1)若p是q的充分条件,则A⊆B. (2)若p是q的必要条件,则B⊆A. [变式训练] 已知p:a-4<x<a+4,q:1<x<3, p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　.  {a|-1≤a≤5} 感谢观看 【解析】 A,C,D选项中的条件都可以推出x≤2,都是x≤2的充分条件,对于B项,取x=2.5,满足x<3,但是不满足x≤2,即x<3x≤2,即x<3不是x≤2的充分条件.故选B. 【解】 (2)因为pq,所以p不是q的充分条件. (2)p:a<b,q:<1; 【解】(2)当a=-2,b=-1时,-2<-1,推不出<1,即pq, 所以p不是q的充分条件. 【解】 (2)因为qp,所以p不是q的必要条件. 【解】 (2)因为p⇒q,且q p,所以p是q的充分条件,p不是q的必要条件. 【解】 (3)因为pq,且q⇒p,所以p不是q的充分条件,p是q的必要条件. 【解】 (4)因为pq,且qp,所以p不是q的充分条件, p不是q的必要条件. 【解】 A={x|2a≤x≤a+1},B={x|-1≤x≤3},由题意得A⊆B. 若A=,则a+1<2a,解得a>1,满足 A⊆B; 若A≠,则解得-≤a≤1. 综上,实数a的取值范围为{a|a≥-}. 【解析】 设P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3}, 则“x∈P”是“x∈Q”的必要条件, 即“x∈Q”是“x∈P”的充分条件, 所以Q⊆P,所以解得-1≤a≤5. $