精品解析：内蒙古呼和浩特市第三十四中学2020—2021学年下学期八年级期中数学考试

三十四中2020-2021学年八年级下 期中数学考试 一．选择题（共10小题） 1. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误； C、对角线相等的菱形是正方形，故正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法，完全平方公式的计算，二次根式的除法法则进行计算，逐个判断． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能做合并计算； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，正确 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，完全平方公式的计算，二次根式的除法，掌握运算法则正确计算是解题关键． 4. 如图，将矩形纸片右侧部分的四边形沿线段翻折至四边形的位置．若则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，由折叠的性质可得，即可求解； 【详解】∵DC∥AB， ∴，且， ∴， ∵将矩形纸片右侧部分的四边形沿线段翻折至四边形的位置， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质及折叠问题，准确分析是解题的关键． 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，以及分母不等于零,本题属于基础题． 6. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 7，24，25 B. ，4，5 C. ，1， D. 40，50，60 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形，不符合题意； B、，可以构成直角三角形，不符合题意； C、，可以构成直角三角形，不符合题意； D、，不可以构成直角三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果是的三边长，且满足，则为直角三角形． 7. 如图，以的三边为边长向外作正方形，，三个正方形的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】先由正方形的面积公式将分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形的面积分别为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查勾股定理及其应用，解题的关键是将分别用含、、的式子表示，根据勾股定理得到之间的相等关系，再求出S3的值． 8. 下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( ) ①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案. 【详解】①30+3﹣1＝，故①错误； ②﹣无法计算，故②错误； ③(2a2)3＝8a6，故③错误； ④﹣a8÷a4＝﹣a4，正确， 故选D. 【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 10. 一个直角三角形的周长为，斜边长为，那么这个直角三角形的面积用含和的式子可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为，，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积． 【详解】解：设这个直角三角形的两直角边分别为，， 由题意可得，， ， 这个直角三角形的面积． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了完全平方公式，三角形的周长与面积． 二．填空题（共6小题） 11. 已知，则____________． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0可求出x的值，进而求得结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 x=3， ∴y=-2， ∴， 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0． 12. 如图所示，小刚为了测量学校里一池塘的宽度选取可以直达两点的点处，再分别取的中点，量得则池塘的宽度为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点M，N分别是OA，OB的中点， ∴MN是△OAB的中位线， ∴AB＝2MN＝2×10＝20（cm）， 故答案为：20cm． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是_____． 【答案】对角线互相垂直 【解析】 【分析】 【详解】解：对角线互相垂直． 连接BD、AC； ∵H、G分别是AD、CD的中点， ∴HG是△DAC的中位线； ∴HG//AC； 同理可证得EF//AC，HE//BD//FG； 若四边形EHGF是矩形，则∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°； ∴DB⊥AC． 故答案为：为对角线互相垂直． 14. 在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是_____cm2． 【答案】96 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用勾股定理求出OB＝8cm，得出BD＝16cm，最后根据菱形的面积公式求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD， ∴OB＝＝8（cm）， ∴BD＝2OB＝16cm， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）． 故答案为：96． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 如图，，正方形的顶点、分别在、上运动，当正方形边长为2时，的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时的值最大． 【详解】解：如图，取的中点，正方形边长为2， ， 由勾股定理得，， 由两点之间线段最短可得、、三点共线时的值最大， 最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并确定出点是解题的关键． 16. 如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则___． 【答案】8 【解析】 【详解】由折叠的性质和正方形的性质得，，，证得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，由正方形性质得：， 折叠可知，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形边长是12， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、解一元一次方程，熟练运用全等的性质与判定证得是解题的关键． 三．解答题（共52分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）按二次根式的乘除法法则，从左往右依次算起； （2）将原式每项化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算、二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除的运算法则，会将二次根式化为最简二次根式． 18. 观察，思考与验证 （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________； （2）如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程． 【答案】（1）； （2） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （3） 证明；∵， ∴， ∴，即四边形是梯形， ∴四边形的面积， 整理得：． 【解析】 【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式； （2）先证明，利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角； （3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积． 【小问1详解】 解：这个公式是完全平方公式：；理由如下： ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积， 又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个矩形的面积， ， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理和用面积法证明代数恒等式，用面积法证明代数恒等式是常用的代数式变形，采用了数形结合的方式，直观易懂． 19. 如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？ 【答案】梯长2.5米. 【解析】 【分析】设CB=x，则BD=2.2-x，根据勾股定理列出方程，求出CB的长．在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】设CB=x，则BD=2.2-x． 由题意，∠ACB=∠BDA′=90°，∴AC2+BC2=BD2+A′D2 ，∴2.42+ x2=(2.2-x)2+22 解得：x= 0.7． AB==2.5． 答：梯长2.5米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 21. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）S平行四边形ABCD =24 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键. 22. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 23. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 【答案】（1） 证明：如下图所示： 作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形结合正方形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2： 在Rt△ABC中AC＝AB＝， ∵EC＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 ①如图3： 当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°， ②如图4： 当DE与DC的夹角为40°时， ∵∠DEF＝∠DCF＝90°， ∴∠EFC＝∠EDC＝40°， 综上所述，∠EFC＝130°或40°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十四中2020-2021学年八年级下 期中数学考试 一．选择题（共10小题） 1. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 2. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将矩形纸片右侧部分的四边形沿线段翻折至四边形的位置．若则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 7，24，25 B. ，4，5 C. ，1， D. 40，50，60 7. 如图，以的三边为边长向外作正方形，，三个正方形的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 144 8. 下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( ) ①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 一个直角三角形的周长为，斜边长为，那么这个直角三角形的面积用含和的式子可表示为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 已知，则____________． 12. 如图所示，小刚为了测量学校里一池塘的宽度选取可以直达两点的点处，再分别取的中点，量得则池塘的宽度为_______________________． 13. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是_____． 14. 在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是_____cm2． 15. 如图，，正方形的顶点、分别在、上运动，当正方形边长为2时，的最大值为__． 16. 如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则___． 三．解答题（共52分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 观察，思考与验证 （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________； （2）如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程． 19. 如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．梯长多少米？ 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 21. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 22. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 23. 四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； （3）当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $