2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛B卷加试试题（含解析）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试试题（B卷) 一。 (本题满分40分)设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5； (2)若S=3,求b的取值范围. 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P,证明：A,P,D三点共线 (答题时请将图画在答卷纸上) B 三.（本题满分50分)给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的 集合，记m为集合B={x+z|x,y,z∈A}的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并 且存在集合A使得m=n2+n-1. 四.（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数 N,其在十进制表示下含有0,1,2…，9中每一个数码，并且对任意 i∈{0,1,2，…，9}，可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n 的倍数.2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 加试(B卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分： 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一.（本题满分40分)设a,b,c>0,a+b+c=3,记 S=a+ab+abc+bc+c. (1)证明：S≤5： (2)若S=3,求b的取值范围. 解：(I)由于S=abc+(a+cb+1),利用均值不等式及a+b+c=3,得 c≤++9到 a+e+s+0士+=4. 两式相加得S≤5. …20分 (2)由S=3及a+b+c=3,可知b(a+ac+c)=S-a-c=b,又b>0,故 a+ac+c=1,即(a+1)(c+1)=2. 由a>0知a+1>1,由c>0知a+1=2<2.注意到函数f树=x+在 c+1 [山，V2]上严格减，在[2,2]上严格增，且)=3，f(V2)=2N2,∫(2)=3，故由 G.2a+1+a,. 从而6=3-ac=5-o+125-2间. …40分 1 二.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平 分线上的两点E,F满足∠AEB=∠AFC=I80°-∠BAC,△AFB的外接圆与 △AEC的外接圆交于A及另一点P.证明：A,P,D三点共线 (答题时请将图画在答卷纸上) D 证明：用A,B,C分别记△ABC的三个内角，4，b,c分别表示角A,B,C所对 边的长.由条件知∠BAE=∠FAC=号，结合∠AB=∠CFA=180°-4，可知 ∠B1=子ACF=分所以-S=-2os分 …10分 设△AFB的外接圆与△AEC的外接圆分别再次交边BC于点S和T. 连接S,则∠CSF=∠BAF=,并且 ∠SFC=360°-∠CFA-∠AFS=(1I80°-∠CFA)+(I80°-∠AFS)=A+B, 故由正弦定理知C=sin∠SFC=sin(A+B)_sinC CF sin∠CSF A sin 2 2 于是Cs=sinC .cF=sinc AC=2sinc. sin A sinA b=2bc sin 2 cos 2 a 2 2 同理得BT=2bc,所以BT=CS. …30分 a 结合DB=DC,可得DS=DT,所以DB·DS=DC·DT,即点D在△AFB 的外接圆与△AEC的外接圆的根轴上，故A,P,D三点共线. …40分 2 三.（本题满分50分）给定整数n≥2.设A是由n个不同的正整数构成的 集合，记m为集合B={x+z|x,y,z∈的元素个数.证明：m≥n2+n-1,并 且存在集合A使得m=n2+n-1. 证明：设A={a,a2,…,an},其中正整数a<42<…<an 对k=1,2,…,n,令集合 Bx={a,+4xani∈{l,2,…,n}, 则对k=【,2,n-1,由正整数a1<a2<…<an可知 max B=a +aa=(1+ak)a<asta<a+asta=min B+. ① …20分 再令集合B。={a,+a,,1j∈{L,2,,n-1},则 max Bo=a ad<a+aa =min B. ② 由①、②知B。,B,…,Bn是B的两两不交的子集.又B。=n-l,且B=n, k=1,2,…,n,从而 m=Bl≥lB。+B+…+B|=n-1+n×n=n2+n-1. ③ …40分 下面构造一个集合A,使得m=n2+n-1. 取A=L,2,,n},则对任意x,,z∈A,有2≤x+z≤n+2,且x+yz为 正整数，故m≤(n2+n)-2+1=n2+n-1,结合③知此时m=n2+n-1. …50分 3 四.（本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数n:存在n的一个倍数 N,其在十进制表示下含有0,1,2，…，9中每一个数码，并且对任意 i∈{0,1,2，…，9}，可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n 的倍数、 解：所求的n为满足3n的所有正整数 必要性：若3n,则31N,可知N的数码和被3整除，但是N删去一个1后， 数码和不被3整除，从而不可能是的倍数， …10分 充分性：设n=2"5d,其中a,B为非负整数，d与10互素.对由数码构成 的若干个数码串M,M2,…,M,记M,*M2*…*M为将M,M2,,M,依次写下 来所构成的数码序列（看作十进制数）. 构造W如下：取正整数k满足10>d,令 N=A*1*A,*2*…*A*9*A。*B, 其中A是正整数，A,A,,A。均是k位数码串，B是1个0构成的数码串，这里 I>maxa,B. 对1≤i≤9，将N删去上面表达式中的i后所得的数记为N,则易知 N-N,=(9×A*1*…*A*(i-I)*A十i)×10, 其中l=(9-k+1)+k+1. 我们要求dN-N,(I≤i≤9). …20分 取A∈[1,10*)，满足9A+1≡0(modd),这由31d及d<10可知A存在，从 而d|N-N. 假设已经取了A,…,A,(<9),使得d|N-N,1≤j≤)，则由31d及 d<10知，可取41∈[1,10)满足 9×(4,*1*.…*A,*i×10*+A,)+(+1)三0(modd), 从而dN-N,·若A,不足k位，则在其最高位前用0补足至k位，则上式显然 仍成立.这样取定了A,A,,A, …30分 再取A。∈[1，I0)(同上用0补足至k位)，使得 A*1*…*4,*9*A0=10×4*1*…*A*9+4。三0(modd), 这样d1N.因为1>mxa,明，放2rs10,从而n叫合.更有aN。 现在证明如上构造的N满足要求. 若N刷去末位的一个0，则得到的数为，这是n的倍数 此外，对i=1,2,…,9,由dN-N,及l>1>max{a,},可知nN-N,结 合nW知n|N,.证毕. …50分