12.3等腰三角形 同步课堂2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦等腰三角形与等边三角形的核心知识体系，从定义出发，依次展开性质、判定、三线合一、角度计算及综合应用，形成“概念—性质—判定—应用”的完整学习支架，前后知识点环环相扣，逻辑清晰，便于学生构建结构化认知。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念三大核心素养。例如通过【题型3】中“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”引导学生发现特殊角与图形本质的关系，强化几何直观与推理意识；又如【题型12】利用三线合一进行角度计算，帮助学生建立辅助线思维模型，提升解题效率。课中可作为教师精讲示范素材，课后可用于学生自主巩固查漏补缺，尤其适合分层教学与错题反思，有效促进学生从理解到迁移的深度学习。

12.3等腰三角形 讲解目录 【知识点1】等腰三角形的性质 1 【知识点2】等边三角形的性质 2 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 2 【知识点4】等边三角形的判定 3 【知识点5】等边三角形的判定与性质 3 【知识点6】等腰三角形的判定 4 【知识点7】作图—基本作图 4 【题型1】利用等边对等角求角度 5 【题型2】等边三角形中的三线合一 6 【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 9 【题型4】用等角对等边求线段的长 10 【题型5】等角对等边判定等腰三角形 10 【题型6】用等角对等边证明线段相等 12 【题型7】等边三角形的性质的综合应用 13 【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 15 【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 16 【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 17 【题型11】利用等边对等角进行证明 18 【题型12】利用三线合一进行计算 20 知识讲解 【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 2.（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2024春•凤城市期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（　　） A．12 B．24 C．36 D．不确定 【知识点4】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形 2.（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【知识点5】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2021春•张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（　　） A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135° 2.（2011秋•罗平县期末）设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM=BN=CP，则△MNP是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【知识点6】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2023秋•海曙区校级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=AC=2，BC=4 C．∠A=50°，∠B=80° D．AB=3、BC=7，周长为13 【知识点7】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春•长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 题型专练 【题型1】利用等边对等角求角度 【典型例题】如图，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是(     ) A. B. C. D. 【举一反三2】将一张圆形纸片(圆心为点沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为    ． 【举一反三3】如图，已知，，，，求的度数为      °． 【举一反三4】已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多，求这个等腰三角形的底角的度数． 【举一反三5】如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数． 【题型2】等边三角形中的三线合一 【典型例题】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三4】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】如图，是等边三角形的高，，则      ． 【举一反三6】如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则              ． 【举一反三7】如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧交的延长线于，连接，则          ． 【举一反三8】如图，BD是等边的边上的高是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则       ．    【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是(　　　) A.有两个内角是的三角形 B.有两边相等且是轴对称图形的三角形 C.有一个内角是且有两边相等的三角形 D.三边都相等的三角形 【举一反三1】下列条件不能判定是等边三角形的是(　　) A. B. C.， D. 【举一反三2】在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是(　　) A. B. C.的补角等于的补角 D.边上的高也是边上的中线 【举一反三3】下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是        (填序号) 【举一反三4】在中，若，请你补充一个条件使得为等边三角形        ． 【举一反三5】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【举一反三6】如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【题型4】用等角对等边求线段的长 【典型例题】如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则(　　)    A.10 B.8 C.7 D.6 【举一反三1】将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知交于点，且，若，，则的长为      ． 【举一反三3】如图，，求的长． 【题型5】等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，，分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有        个．    【举一反三3】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是     ．    【举一反三4】在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．      (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； 【举一反三5】如图，在等腰中，，为底边延长线上任意一点，过点作，与的延长线交于点，求证：是等腰三角形． 【题型6】用等角对等边证明线段相等 【典型例题】如图，已知，则下列结论错误的是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三1】在中，，则(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是(　　) A.， B.， C.， D.， 【举一反三3】如图，已知，则下列结论错误的是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三4】在中，，则(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，与相交于点O，，，．求证：． 【举一反三6】如图，在中，，，． 求证：(1) (2)． 【题型7】等边三角形的性质的综合应用 【典型例题】如图，为等边三角形，且与相交于点，则(　　)． A.等于 B.等于 C.等于 D.大小不确定 【举一反三1】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 【举一反三2】如图等边、，其中，则(　　)． A. B. C. D. 【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为             ． 【举一反三4】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【举一反三5】如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典型例题】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是(　　) A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定 【举一反三1】适合条件的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是    (填“真”或“假”)命题． 【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为      ． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E． (1)求证：EC⊥BC； (2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由． 【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 【典型例题】如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为(　　) A.12 B.15 C.18 D. 【举一反三2】如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为      ． 【举一反三4】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为      ． 【举一反三5】如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为     ． 【举一反三3】如图，已知，是等边三角形，，求的度数． 【举一反三4】如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【题型11】利用等边对等角进行证明 【典型例题】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是(　　) A.③ B.①② C.②③ D.①②③ 【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是(　　) A.③ B.①② C.②③ D.①②③ 【举一反三4】如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接. (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 【举一反三5】如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 【题型12】利用三线合一进行计算 【典型例题】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，平分．若，，则的周长为(　　) A.11 B.14 C.16 D.18 【举一反三2】如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则      ． 【举一反三3】在中，，过点A作于D，若，则      ． 【举一反三4】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3等腰三角形 讲解目录 【知识点1】等腰三角形的性质 1 【知识点2】等边三角形的性质 2 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 3 【知识点4】等边三角形的判定 4 【知识点5】等边三角形的判定与性质 5 【知识点6】等腰三角形的判定 7 【知识点7】作图—基本作图 8 【题型1】利用等边对等角求角度 10 【题型2】等边三角形中的三线合一 13 【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 17 【题型4】用等角对等边求线段的长 21 【题型5】等角对等边判定等腰三角形 23 【题型6】用等角对等边证明线段相等 27 【题型7】等边三角形的性质的综合应用 31 【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 36 【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 38 【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 43 【题型11】利用等边对等角进行证明 46 【题型12】利用三线合一进行计算 50 知识讲解 【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【答案】C 【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：当它的顶角为70°时， 它的顶角度数为：（180°-70°）÷2=55°； 当它的底角为70°时， 它的顶角度数为：180°-2×70°=40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 2.（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm,4cm,那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【答案】B 【分析】分两种情况：①底为2cm,腰为4cm时，求出三角形的周长即可； ②底为4cm,腰为2cm时；2+2=4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形． 【解答】解：分两种情况： ①底为2cm,腰为4cm时， 等腰三角形的周长=2+4+4=10（cm）； ②底为4cm,腰为2cm时， ∵2+2=4， ∴不能构成三角形； ∴等腰三角形的周长为10cm； 故选：B． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【答案】D 【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和． 【解答】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°． 故选：D． 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2024春•凤城市期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（　　） A．12 B．24 C．36 D．不确定 【答案】B 【分析】由AO，BO分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题． 【解答】解：由AO，BO分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵MN∥BA，∴∠1=∠6，∠3=∠5， ∴∠2=∠6，∠4=∠5， ∴AN=NO，BM=OM． ∵AC+BC=24，∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24， 即MN+MC+NC=24，也就是△CMN的周长是24． 故选：B． 【知识点4】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a-b=0，b-c=0，c-a=0，进而可得出a=b=c,再结合a,b,c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形． 【解答】解：∵（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0， ∴a-b=0，b-c=0，c-a=0， ∴a=b=c. 又∵a,b,c是三角形的三边长， ∴这个三角形是等边三角形． 故选：B． 2.（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【答案】D 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解． 【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形． 故选：D． 【知识点5】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2021春•张店区期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（　　） A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135° 【答案】D 【分析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=BP=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠BOQ=∠BQP=60°， ∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°， 即∠APC≠135°， ∴选项A、B、C正确，选项D错误． 故选：D． 2.（2011秋•罗平县期末）设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM=BN=CP，则△MNP是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又由AM=BN=CP，利用SAS的判定方法即可判定△AMP≌△BNM≌△CPN，则可得PM=MN=NP，证得△MNP是等边三角形． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°， ∵AM=BN=CP， ∴BM=CN=AP， 在△AMP，△BNM和△CPN中， ， ∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS）， ∴PM=MN=NP， ∴△MNP是等边三角形． 故选：A． 【知识点6】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2023秋•海曙区校级期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=30°，∠B=60° B．AB=AC=2，BC=4 C．∠A=50°，∠B=80° D．AB=3、BC=7，周长为13 【答案】C 【分析】求出∠C，即可判断A；根据三角形的三边关系定理即可判断B；求出∠C即可判断C；求出AC，根据三角形三边关系定理即可判断D． 【解答】解：A、∵∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 即∠A≠∠B≠∠C， ∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误； B、∵AB=AC=2，BC=2， ∴2+2=4， 即三条线段不能组成三角形，故本选项错误； C、∵∠A=50°，∠B=80°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=50°， 即∠A=∠C， ∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； D、∵AB=3，BC=7，周长是13， ∴AC=13-3-7=3， ∵3+3＜7， ∴三条线段不能组成三角形，故本选项错误； 故选：C． 【知识点7】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春•长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，故A符合题意； B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是△ABC的中线，故B不符合题意； C、由图可知：AD不是△ABC的中线，故C不符合题意； D、由图可知：AD是∠BAC的平分线，所以AD不是△ABC的中线，故D不符合题意； 故选：A． 2.（2025春•绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AC的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠CEA=∠CEA，得到CE=AC，即可求解． 【解答】解：由作图可知，AE平分∠CAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，BC=AB=3，∠B=90°， 在Rt△ABC中，AC=3， ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠CEA=∠DAE， ∴∠CEA=∠DAE=∠CAE， ∴， 故选：B． 题型专练 【题型1】利用等边对等角求角度 【典型例题】如图，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B. 【举一反三1】如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， ， 根据折叠的性质知：， ， 在中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【举一反三2】将一张圆形纸片(圆心为点沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为    ． 【答案】 【解析】由题知，， 由翻折知，， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三3】如图，已知，，，，求的度数为      °． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， 故答案为：． 【举一反三4】已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍多，求这个等腰三角形的底角的度数． 【答案】解　设另一个角的度数为，则原来那个角的度数为， 分两种情况： 当是顶角，是底角时， ， 解得：， ， 底角的度数为； 当是底角，是顶角时， ， 解得：， 底角的度数为； 综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为或． 【举一反三5】如图，在中，，是边上一点，，，，求的度数． 【答案】解　∵， ∴设， ， ∵， ∴， 在中，， ， ． 【题型2】等边三角形中的三线合一 【典型例题】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是等边三角形, 两条中线，交于点M 平分 故选：C． 【举一反三1】如图，是等边三角形，为中线，为上一点，连接，有，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵为等边三角形， ∴． ∵是等边三角形的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三2】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵在等边中，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴． 故选：D． 【举一反三3】如图，等边三角形的两条中线，交于点M，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是等边三角形, 两条中线，交于点M 平分 故选：C． 【举一反三4】如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵在等边中，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴． 故选：D． 【举一反三5】如图，是等边三角形的高，，则      ． 【答案】 【解析】∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三6】如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则              ． 【答案】9 【解析】∵等边，点为的中点， ∴ 由旋转可得． 故答案为：9． 【举一反三7】如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧交的延长线于，连接，则          ． 【答案】 【解析】是等边三角形， ，， 是的中线， ， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 【举一反三8】如图，BD是等边的边上的高是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则       ．    【答案】 【解析】∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型3】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是(　　　) A.有两个内角是的三角形 B.有两边相等且是轴对称图形的三角形 C.有一个内角是且有两边相等的三角形 D.三边都相等的三角形 【答案】B 【解析】A．有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意； B．有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意； C．有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D．三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】下列条件不能判定是等边三角形的是(　　) A. B. C.， D. 【答案】D 【解析】A．∵， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴是等边三角形，故B选项不符合题意； C．∵，， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； D．∵∠A+∠B=2∠C，， ∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【举一反三2】在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是(　　) A. B. C.的补角等于的补角 D.边上的高也是边上的中线 【答案】C 【解析】∵， ∴是等腰三角形， 当时，是等边三角形，故A不符合题意， 当时，是等边三角形，故B不符合题意， 当的补角等于的补角时，即，不一定是等边三角形，故C符合题意， 当边上的高也是边上的中线时，得到，是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三3】下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是        (填序号) 【答案】④ 【解析】①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意； ②有两个角等于的三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 不正确，符合题意； 故答案为：④． 【举一反三4】在中，若，请你补充一个条件使得为等边三角形        ． 【答案】，答案不唯一 【解析】根据等边三角形的性质可得： ∵， ∴或都可以使为等边三角形， 故答案为：，答案不唯一． 【举一反三5】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明　∵为的中点， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【举一反三6】如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)解　∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； (2)解　是等边三角形，理由： 由(1)得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型4】用等角对等边求线段的长 【典型例题】如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则(　　)    A.10 B.8 C.7 D.6 【答案】C 【解析】延长，，交于点G，如图所示：    ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三1】将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，， ． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知交于点，且，若，，则的长为      ． 【答案】8 【解析】， ，， ， ， ， ， 故答案为：8． 【举一反三3】如图，，求的长． 【答案】解　∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型5】等角对等边判定等腰三角形 【典型例题】如图，在中，，若三等分，则图中的等腰三角形有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】C 【解析】∵， ∴为等腰三角形，， ∵三等分， ∴， ∴， ∴, ∴为等腰三角形， 再由， 得， ∴为等腰三角形， ∵ ∴， ∴为等腰三角形， 同理为等腰三角形， 故图中有6个等腰三角形， 故选：C． 【举一反三1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； C．如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D．不可以裁成两个等腰三角形，符合题意； 故选D． 【举一反三2】如图，在中，，，分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有        个．    【答案】8 【解析】∵，， ∴， ∵分别平分与， ∴， ∴，， ∴，， 综上：均为等腰三角形，一共8个， 故答案为：8． 【举一反三3】如图，在中，，，，则图中等腰三角形的个数是     ．    【答案】3 【解析】在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，都是等腰三角形，共3个． 故答案为：3． 【举一反三4】在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．      (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； 【答案】证明　(1)是的角平分线， ， ∵， ，， ， ， ∴是等腰三角形； (2)由(1)得，， 过作交延长线于点，    ∵，， ， ，， ， ， 在与中， ， ∴， ， ． 【举一反三5】如图，在等腰中，，为底边延长线上任意一点，过点作，与的延长线交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明　∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型6】用等角对等边证明线段相等 【典型例题】如图，已知，则下列结论错误的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴，，， ∴，故正确； 根据性质，不能确定， 故选：． 【举一反三1】在中，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，，则：， 故选A． 【举一反三2】如图，在中，点分别在边上，与相交于点，下列各个选项所列举的条件中，不能证明的是(　　) A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】A．因为，，为公共角， ∴， ∴，故A选项不符合题意； B．根据，，无法判断和全等，故无法得到和的大小关系，则和的大小无法判断， ∴不能证明，故B选项符合题意； C．∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意； D．∵，，， ∴， ∴， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三3】如图，已知，则下列结论错误的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴，，， ∴，故正确； 根据性质，不能确定， 故选：． 【举一反三4】在中，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，，则：， 故选A． 【举一反三5】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，与相交于点O，，，．求证：． 【答案】证明　∵， ∴， ∵， ∴，     ∴．     ∴． 【举一反三6】如图，在中，，，． 求证：(1) (2)． 【答案】(1)证明　∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明　∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7】等边三角形的性质的综合应用 【典型例题】如图，为等边三角形，且与相交于点，则(　　)． A.等于 B.等于 C.等于 D.大小不确定 【答案】B 【解析】∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【举一反三1】如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 【答案】C 【解析】如图，延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，的周长为12， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【举一反三2】如图等边、，其中，则(　　)． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三3】如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为             ． 【答案】18 【解析】如图，延长至点P，使，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长=. 故答案为：18 【举一反三4】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明　∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； (2)解　∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 【举一反三5】如图，和均为等边三角形，，垂足为点，点分别在的延长线上，连接，使得．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明　和均为等边三角形． ． ∴, 又∵， ，即． 在和中， ． (2)解　∵， ∴． ， ． 为等边三角形，， 点为的中点． ． ． 【题型8】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典型例题】如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是(　　) A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定 【答案】B 【解析】∵正六边形ABCDEF， ∴， △GAF是等边三角形， 故选B 【举一反三1】适合条件的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∴此三角形是等边三角形． 故选：B． 【举一反三2】若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， ∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等， ∴这个三角形是等边三角形． 故选：A． 【举一反三3】命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是    (填“真”或“假”)命题． 【答案】真 【解析】三个角都是的三角形是等边三角形，故该命题是真命题， 故答案为：真． 【举一反三4】在中，如果，，那么的形状为      ． 【答案】等边三角形 【解析】在中，由得， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E． (1)求证：EC⊥BC； (2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明　∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 又∵CE∥AD， ∴EC⊥BC； (2)解　△ACE是等边三角形，理由如下： ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠BAC =60°, ∠EAC =60°, 又∵CE∥AD， ∴∠E=60°, ∴∠EAC =∠E=∠ECA=60°, ∴△ACE是等边三角形. 【题型9】等边三角形判定与性质的综合应用 【典型例题】如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ，即， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为(　　) A.12 B.15 C.18 D. 【答案】B 【解析】如图，把绕点A按逆时针方向旋转，得，则，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为一个平面内的等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ． 故选：B. 【举一反三2】如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将绕点B顺时针旋转得到，连结， 则，，，， 是等边三角形， ∴，， 就是以，，的长度为边长的三角形， ∵， ， ， ， ， ， ， 以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为． 故选：A 【举一反三3】如图，在等边中，点D是边上一点，将绕点B逆时针旋转得到，若，，则的周长为      ． 【答案】 【解析】∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【举一反三4】如图，是等边三角形，D为外一点，且，连接，若，则的长为      ． 【答案】 【解析】在上截取，连接，如图所示， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三5】如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 【答案】解　(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC(S.A.S.)； (2)△DCE是等边三角形；理由如下： ∵△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC， 即△DCE是等腰三角形， ∴△DCE是等边三角形． 【题型10】等边三角形的三个角都等于60° 【典型例题】如图，已知等边三角形，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选C 【举一反三1】如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵是等边三角形， ∴，， ∵将经过旋转到的位置， ∴旋转角为， 故选：D． 【举一反三2】如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为     ． 【答案】 【解析】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，已知，是等边三角形，，求的度数． 【答案】解　是等边三角形， ， ， ， ， ． 【举一反三4】如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】解　(1)∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)∵，， ∴， ， 又∵ ∴． 【题型11】利用等边对等角进行证明 【典型例题】如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点， ， ， 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是(　　) A.③ B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】∵， ∴，，，， 故结论①错误，不符合题意； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论③正确，符合题意； ∵， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∴正确的结论是②③． 故选：C． 【举一反三2】如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 【举一反三3】如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是(　　) A.③ B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】∵， ∴，，，， 故结论①错误，不符合题意； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论③正确，符合题意； ∵， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∴正确的结论是②③． 故选：C． 【举一反三4】如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接. (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 【答案】(1)解　，理由如下： 等腰和等腰中，和是底边， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； (2)解　，理由如下： ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 即． 【举一反三5】如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．求证：． 【答案】证明　， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型12】利用三线合一进行计算 【典型例题】如图，在中，，点D是中点，，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，点D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，，平分．若，，则的周长为(　　) A.11 B.14 C.16 D.18 【答案】D 【解析】∵，平分． ∴， ∴的周长为， 故选：D． 【举一反三2】如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， 则 故答案为：． 【举一反三3】在中，，过点A作于D，若，则      ． 【答案】7 【解析】如图， ，， ， ， ， 故答案为：7． 【举一反三4】如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：． 【答案】解　(1)∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)如图，连接， ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $