3.3 第1,2课时 一元一次方程的应用 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

例2 某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10 min，用时1.5h完成了比赛，求补给站与起点的距离. 解：设补给站与起点的距离为 x km. 由题知， 解方程，得 答：补给站与起点的距离为6 km. x = 6 . 直接设法 起点 补给站 终点 过程展示PPT 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例2 某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10 min，用时1.5h完成了比赛，求补给站与起点的距离. 解：设从起点到补给站用时 x h. 由题知， 解方程，得 答：补给站与起点的距离为6 km. t = 0.6 . 间接设法 0.6×10 = 6 (km) . 起点 补给站 终点 过程展示PPT 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习1 如图所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的. 若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm. 甲的容积为多少？ 同步练习P80 第7题 甲 乙 解：设乙中的水位高度为 x cm， 直接设法和间接设法 则甲中的水位高度为 (x+8) cm， 整个过程中，水的体积不变. 解方程，得 甲的容积 (cm3) 答：甲的容积为 3200 cm3 . 过程展示PPT 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 3.3 一元一次方程的应用(第1课时) 沪科版初中数学 淮北市第五中学 张倩 Add Your Company Slogan 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 学习目标 一元一次方程的应用 1. 能用一元一次方程解决某些实际问题.（重点） 2. 掌握实际问题中的基本数量关系，在此基础上，寻找具体问题中的等量关系，构造方程模型解题. 3. 分析问题中的数量关系，建立方程.（难点） 4. 通过列方程解决实际问题，培养学生应用数学的能力，体会数学与实际生活的联系. 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 一元一次方程的应用 我们学习解方程的目的是为了应用！ 请同学们思考： 我们学习解方程的目的是什么？ 引入 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 知识框架 一元一次方程应用的基本类型： 形积问题 数字问题 工程问题 行程问题 利润问题 劳力调配问题 储蓄问题 比例分配问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 一元一次方程应用1 ——形、积问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 常用几何图形的计算公式 长方形的周长 = 长方形的面积 = 三角形的面积 = 圆的周长= 圆的面积= 长方体的体积 = 圆柱体的体积 = 长 × 宽 （这里r为底面圆的半径，h为圆柱体的高） (长＋宽)×2 × 底 × 高 长×宽×高 底面积×高 （其中r为圆的半径） ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 - 形、积问题 例1 如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽为5 cm的长方形纸条. 如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少？ 分析：两次剪下的长方形纸条面积正好相等. 解：设正方形的边长是 x cm. 由题知， 解方程，得 答：原正方形的边长为20 cm. 注：解方程时最后x结果不用加单位，在其他或答的时候加单位. 5 4 （单位：cm） 4x =5(x – 4) . x = 20 . 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程应用2 ——行程问题 一元一次方程的应用 - 行程问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 行程问题 行程问题中的三个基本量： = 路程 时间 速度 × 路程 时间 速度 = ÷ 速度 路程 时间 = ÷ 基本关系： 时间、速度、路程 变形关系： 一元一次方程的应用 - 行程问题 ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例2 某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10 min，用时1.5h完成了比赛，求补给站与起点的距离. 解：设补给站与起点的距离为 x km. 由题知， 解方程，得 答：补给站与起点的距离为6 km. x = 6 . 直接设法 起点 补给站 终点 一元一次方程的应用 - 行程问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例2 某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10 min，用时1.5h完成了比赛，求补给站与起点的距离. 解：设从起点到补给站用时 x h. 由题知， 解方程，得 答：补给站与起点的距离为6 km. t = 0.6 . 间接设法 0.6×10 = 6 (km) . 起点 补给站 终点 一元一次方程的应用 - 行程问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 - 形、积问题 练习1 如图所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的. 若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm. 甲的容积为多少？ 同步练习P80 第7题 甲 乙 解：设乙中的水位高度为 x cm， 直接设法和间接设法 则甲中的水位高度为 (x+8) cm， 整个过程中，水的体积不变. 解方程，得 甲的容积 (cm3) 答：甲的容积为 3200 cm3 . 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 - 形、积问题 O200 x 300 90 300 练习2 如图，用直径为200 mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300 mm、300 mm 和 90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时 π 取3.14，结果精确到1 mm). 解：圆柱体体积=长方体体积 设应截取 x mm长的圆柱体钢， 由题知， 解方程，得 答：应截取258 mm长的圆柱体钢. 注：解方程时最后x结果不用加单位，在其他或答的时候加单位. 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况： 形积变化中的等量关系 （1）形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积 ； （2）形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长； （3）形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系. 一元一次方程的应用 - 形、积问题 ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 加油！同学们！ 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 3.3 一元一次方程的应用(第2课时) 沪科版初中数学 淮北市第五中学 张倩 Add Your Company Slogan 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 学习目标 一元一次方程的应用 1. 通过例题的示范和引导，掌握分析“利率”“银行存、贷款”“商品打折”“商品利润”等问题中数量关系的方法，会列方程解决这类问题. 2. 依据实际问题中的基本数量关系分析、解决问题.（重点） 3. 对各种具体问题中数量关系的本质的提炼，以及对分析问题、解决问题的一般性策略的探讨.（难点） 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 一元一次方程应用3 ——储蓄问题 一元一次方程的应用 - 储蓄问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫本金， 银行付给顾客的酬金叫利息， 存入银行的时间叫期数， 每个期数内的利息与本金的比叫利率， 根据利率的定义，每个期数内， （2）利息＝本金×利率×期数， 本金与利息的和叫本息和， （3）本息和＝本金＋利息， 月利率一般用千分之几表示. 一元一次方程的应用 - 储蓄问题 ★ ★ ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 - 储蓄问题 例3 王大伯两年前把一笔钱作为2年定期存款存入银行，年利率为2.25%.到期后得到本息和共104 500元(不计复利). 王大伯当时存入银行多少钱？ 2年的利息= 解：设王大伯当时存入银行 x 元， 由题知， x+2×2.25％ x=104 500 解方程，得 答：王大伯当时存入银行100 000元. x = 100 000 . 2×2.25％ x 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 一元一次方程的应用 一元一次方程应用4 ——利润问题 只有错买的 没有错卖的 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 ④ 利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词表示所得利润． 与打折有关的概念 ① 进价：也叫成本价，是指购进商品的价格． ② 标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格． ③ 售价：消费者最终取得商品的价格，或说是商家卖出商品的价格，也叫成交价． ⑤ 利润率：利润占进价的百分比． 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 ⑥ 打折：出售商品时，将标价乘以十分之几或百分之几十卖出，即为打几折卖出． 打几折，就是百分之几十或十分之几． 如：打8折就是以原价的80%卖出，即为原价×80%或原价× . 与打折有关的概念 ★ 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 利润问题中的关系式 ① 售价＝标价×折扣； 售价＝成本＋利润 ＝成本×(1＋利润率)． ② 利润(一件利润)＝实际售价－进价(或成本)． ③ 利润＝成本价×利润率； ★ 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例4 某商店将一种书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元. 这种书包每个进价是多少？ 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 解：设这种书包每个进价为 x 元， 则这种书包的标价为 打9折后的实际售价为 由题知， 0.9(1+30％) x－x = 8.50 解方程，得 x = 50 答：这种书包每个进价为 50 元. (1+30％) x 元， (1+30％) x 元， 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例4 某商店将一种书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元. 这种书包每个进价是多少？如果按6折出售，商场还盈利吗？为什么？ 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 打6折后的实际售价为 由题知， 0.6(1+30％) x－x < 0 答：如果按6折出售，商场不盈利 . = 0.78 x－x = －0.22 x (1+30％) x 元， 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 1） 打折：出售商品时，将标价乘以十分之几或百分之几十卖出，即为打几折卖出． 打几折，就是百分之几十或十分之几． 如：打8折就是以原价的80%卖出，即为原价×80%或原价× . 课堂小结 一元一次方程的应用 - 打折、利润问题 2） 利润(一件利润)＝实际售价－进价． 3）利息＝本金×利率×期数， 4）本息和＝本金＋利息， 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 加油！同学们！ 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! $