24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”核心内容，通过动手折叠圆形纸片探究圆的对称性，经合作作图与证明导出垂径定理，构建从直观操作到逻辑推理的学习支架，衔接圆的对称性与定理应用。 其亮点在于以折叠实验培养几何直观（数学眼光），通过严谨证明发展推理能力（数学思维），结合水管截面、赵州桥等实例强化模型意识（数学语言）。采用分层作业与实际问题小结，助力学生掌握“半径、弦长、弦心距”关系，为教师提供结构化素材，提升教学效率与学生应用能力。

24.1.2 垂直于弦的直径 1 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 动手探究 · O 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 2 结论 圆是轴对称图形，任何一条直径所在 直线都是圆的对称轴. 动手探究 我们发现在折叠过程中对折后的两部分能够重合，因此我们得到结论:圆是轴对称图形，它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是它的对称轴，即圆有无数条对称轴.需要提醒同学们注意：因为直径是弦，是线段，不是直线，所以不能说“圆的对称轴是它的直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 那么你能证明圆是轴对称图形吗？ 3 探究一：折一折 同学们，拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，会发现了什么呢？ 知识点 1：垂径定理及其推论 ● O 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 合作探究 同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并写出已知和证明： ① 任意作出一条直径 CD； ② 在⊙O 上任意选点 C，D 以外的点 A. · O A A′ C D M 圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称点也在圆上. 如何证明圆是轴对称图形？ ③ 过点 A 作 AA'⊥CD，交⊙O 于点 A'，垂足为 M，连接 OA，OA'. 实际问题 几何问题 · O A A′ C D M 证明：在△OAA′ 中， ∵ OA = OA′， ∴△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′⊥CD， ∴ AM = MA′， 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 合作证明 已知：如图，CD 是⊙O 上的直径， CD⊥AA′； 求证：CD 是 AA′ 的垂直平分线. 获得新知： 垂直于弦的直径平分弦， 且平分弦所对的两条弧． 垂 径 定理： · O A B C D E ∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC. ⌒ ⌒ AD=BD， 数学符号语言： 垂直 直径 半径 过圆心的直线 垂径定理基本图形的变形： 下列图形可以使用垂径定理吗？为什么？ CD是直径 CD⊥AB AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD 运用新知 O E 如图，在 中 ,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求 的半径. 一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 运用新知 O 重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形， 结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题 圆中有关弦、半径的计算问题 通常利用垂径定理来解决。 练习巩固 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P.若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为______． 如图所示，在半径为10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于点C，则OC= ______. 11 练习巩固 如图所示，⊙O的直径AB=50，弦CD⊥AB于点P，OP=7，那么弦CD的长为________． 12 课堂小结 由于地震，我们居民小区的圆柱形供水管道受到了严重损坏，现在工人师傅正在尝试更换管子，他测算出管子有积水部分的最高水深为3cm，水面的宽度为6cm，要用多大的供水管材来替换呢？ · O A D E C B 过圆心O作半径 CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径过点O作OC⊥AB于D，交○O于C，连接OB，OC⊥AB。 BD＝½AB＝½×6＝8 由题意可知，CD=3cm •设半径为xcm，则OD=(x-3)cm 在Rt△ABOD中， 由勾股定理得：OD²+BD²=OB² （×-3）²+3²=x² 求得：x=3cm 直径3×2=6cm 答：需要直径是6cm的水管来替换。 13 课堂小结 一、圆是轴对称图形 二、垂径定理 1、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧。 14 课堂小结： 一：你学习了关于圆的哪些数学知识？ 二：你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？ 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理： 2.圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形解决. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 1.圆的轴对称性： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.推论： D · O A B C E 1.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连接半径等重要的辅助线. 3.半径、弦长、弦心距、弓形高中，知二求二. 分层作业： 必做题：1、如图，CD是ʘO的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。 2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 选做题：1、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油 以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm,求 油的最大深度. 2、ʘO的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16， CD=12，则AB、CD间距离是多少？ A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 指弦中点到弦所对的弧中点的距离 练一练 2. 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗? 解：过 O 作 OD⊥AB 于 D 交圆上于点 E. 由题意，得 DE = 2 cm，AB = 8 cm. ∵ OD⊥AB，∴ AD = DB = 4 cm. 设圆形水管半径为 r cm. 在 Rt△ODA 中，42 + (r - 2)2 = r2，即 r = 5 cm. 故应该用半径为 5 cm 的圆柱形水管替换. 新知应用 思考1 在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？ 大家可以结合刚才的题目，总结一下，在应用垂径定理的过程中，常作的辅助线是什么？ 21 归纳1 在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形. 新知应用 归纳：1.在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.实际上，只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.有时需要再连上半径，这样，就可以把垂径定理和勾股定理结合起来应用. 22 思考2 如果我们设圆的半径为 ，圆心到弦的 距离为 ，弦长为 ，你能找到它们三者之间 的关系吗？ 新知应用 思考2, 如果我们设圆的半径为 r，圆心到弦的距离为d ，弦长为a，你能找到它们三者之间的关系吗？ 之间的关系式:r方=d的平方+弦长a一半的平方. 23 归纳2 圆的半径 ，圆心到弦的距离 ，弦长 之间的关系式为 . 新知应用 我们看到，圆的半径，圆心到弦的距离 ，弦长的一半恰好构成一个直角三角形，它们三者之间的关系式r方=d的平方+弦长a一半的平方. 24 $