陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题

液西省西安市西北工业头学财属中学 2025-2026高三上学期一模数学试题 题号 二 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 章1.若复数z满足z=1-i,则z以=() 2 A.2 B.√2 C.1 D. 2 2 章2.已知a=(2,1),=(m,-1),若d∥(d-,则实数m=( ) A.-2 B.3 C.6 D.-1 章3.已知集合A={2-x≤0，B={是≥1，则AnB=() A.(0,1] B.(0,1 C.[0,1] D.[1,0) 拿4.设Sn是等差数列{a}的前n项和，若S,=28,S1=88,则{an}的公差d=() A.1 B.2 C.3 D.4 章5.设抛物线y=6x的焦点为F,准线为1，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线， 垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°，则|PF=() A.3 B.6 C.9 D.12 章6.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为子的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的 球， 则该球的体积V的最大值是() A.2π B答 C.22 3π D￥ 章7.已知函数f(c)=sinwx+coSwx(w>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是() A.w=1 B.f知)的图像关于点（冬，0）对称 C.将函数f()的图像向右平移平个单位长度，得到的函数图像恰好关于原点对称 D.f孔)在区间[一，]上单调递增 ◆8.己知函数f(x)=2acx-b,a≠0。若不等式a≤f(x)≤b的解集为{ca≤x≤2b},则b=( A.2 B.1 C.√2 D.2 得分 评卷人 二。 多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 章9.下列说法正确的是() A.若随机变量X服从正态分布X~N(3,o2),且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=0.2 B.若线性相关系数m越接近1，则两个变量的线性相关性越强 C.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14 D.对具有线性相关关系的变量c,y,其线性回归方程为9=0.3x-m,若样本点的中心为(m, 2.8),则实数m的值是-4 章10.己知，乃分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段 F为直径的圆经过点P,则() A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F为直径的圆的方程为x2+y2=1 C.点P的横坐标为±1 D.△PE的面积为√2 章11.己知f(x)满足对任意x,y∈R,f(y)+f(x)=f(xy),且当0<x<1时，f(x)>0,下列说法正 确的是() A.f0)+f1)=0 B.f(x)为偶函数 C.当lx>1时，fx)<0 D.f(x)在(1，+∞)上单调递减 得分 评卷人 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 章12(2红+品展开式中常数项是 章13.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必 须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答） 章l4.设函数f(x)=(e-m)ln(x十n),若f(x)≥0，则m十n的最大值为 得分 评卷人 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 章15.(13分)已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA;C=c0sx-B。 2 (I)求B: (I)若sinC=号sinA,点B到直线AC的距离为5，求△ABC的周长。 章16.（15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC,D为BC的中点，平面PAD⊥平面PBC。 (I)证明：AB=AC; (II)若AB⊥AC,AB=2,PA=PD=1,求平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值。 D 7.（15分)已知椭圆E十三1(>b>0,F为®的石焦点，P为®上的动点，当直线 x轴垂直时，Pp列=之，R是直线y=2上一动点，PR的最小值为1 (I)求E的方程： (IⅡ)过R作E的两条切线分别交x轴于M,N两点，求△RMN面积的取值范围。 章18.(17分)已知函数fx)=(1nw-2)x2-mx(x>0),g(x)为f(x)的导函数。 (I)当m=0时，求曲线g(c)在(1,9(1)处的切线方程： (IⅡ)若f(x)的两个极值点分别为四和x2,且m<x2 ①求实数m的取值范围； ②证明：2-c1<m+2e。 章19.(17分)甲参加一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难 度系数较高的B类问题)供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题，甲遇到每类问题 的概率均之。甲遇到A类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分：甲遇到B 类问题时回答正确的概率为士，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题 相互独立。 (I)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望： (Ⅱ)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为P(n)。 ①i证明：{Pn+1-受Pnm}为等比数列： ②求P(n)的最大值以及对应n的值。 参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 B B B D D A ABD ACD ACD 1. 答案：B 解析：先化简2,2=1-i-1:动-i+足=1三-1-i。 i:(-) -2 1 根据复数模长公式z以=√a2+b(a为实部，b为虚部)，可得|z=√-1)2+(-1严=√2。 2.答案：A 解析：计算d-6=(2-m,2)。 因为d∥(a-b),根据向量平行性质：若d=(c,),=(x2,2),则x1=x21,代入得2×2=1× (2-m),即4=2-m,解得m=-2。 3.答案：A 解析：解集合A:x2-x≤0，即x(x-1)≤0，解得0≤x≤1，所以A=[0,1]。 前朱合占≥1.移项得台-1≥0审。≥0，等价于0司0，部对0<云1，所似公 =(0,1]。则A∩B=(0,1]。 4.答案：B 解析：等差数列前n项和公式为S。=a,+nn,-d。 2 已知5=7a+76d=7a+2d=2为①： S=1a1+11X10d=11a,+55d=88②。 2 用②-①消去a:(11a+55d)-(7a+21d)=88-28, 即4a1+34d=60,再结合①，由①得a1=4-3d,代入4a1+34d=60: 44-3d)+34d=60,16-12d+34d=60,22d=44,解得d=2。 5.答案：B 解析：抛物线y=6x的焦点F(号，0)，准线e=-是。 设PW(6>0,则Q-号h。 直线QP的斜率ko=0一0=功 -33 -39 2—2 因为直线QF倾斜角为120，所以ke=tanl20°=V3,即9=-3，解得功=3W5。 将功=3V5代入抛物线方程，得3vP=6,27=6mm=号. 根据抛物线定义，P=西+号=号+号=6。 6.答案：D 解析：圆锥侧面展开图扇形弧长1=号×3=2x,此弧长为圆锥底面周长，所以圆锥底面半径r =资=1。圆能母线长r=-3,圆锥高h=Vm-P=V01=2厄。 当球为圆锥内切球时体积最大，设内切球半径为R,利用相似三角形：。是。=马 2W5-R-3' 3R=2W2-R,4R=2W2,R=2 2 球的体积V=吉R-吉（号P-号 。 7.答案：D 解析：先化简fm),f(x)=sinw十=√2sin(or+空)。 由最小正周期T=2=,得0=2，所以f)=2in(2x+空)。 一选项A:w=2≠1，错误。 -选项B:f)=V2sn(匠+圣)=V2≠0，所以图像不关于（胥，0）对称，错误。 选项C:向右平移T个单位，得y=√2sim[2(m-平)+平]=√2sin(2x-王)，不是奇函数， 图像不关于原点对称，错误。 -选项D:当x∈[-号，]时，2m+至∈[0，受]，y=sint在[0，受]上单调递增，所以f()在此 区间单调递增，正确。 8.答案：f)=2axl-b={二2ar(m-b,D<b1 ∫2ac(x-b),x≥b 根据选项可知：只需要考虑b>0, 要使不等式a≤fx)≤b的解集为{xa≤c≤2b}, 当a<0时故÷2。。 ,解得6= 2 当a>0时，无法满足a≤f(x)≤b的解集为{xa≤x≤2b},故舍去， 故选：A 9.答案：ABD 解析： 一选项A:因为随机变量X服从正态分布X~N(3,o2),正态曲线关于直线x=3对称，所以P(X ≤3)=0.5。又P(X≤4)=0.7，则P(3<X≤4)=P(X≤4)-P(X≤3)=0.7-0.5=0.2，A正确。 一选项B:线性相关系数r越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越 弱，B正确。 一选项C:数据共有10个，10×60%=6，所以第60百分位数是第6项和第7项数据的平均数， 即416=15，C错误。 2 一选项D:因为样本点的中心（m,2.8)在回归直线9=0.3x-m上，所以2.8=0.3m-m,即2.8 =-0.7m,解得m=-4,D正确。 10.答案：ACD 解析： 一双曲线C-=1,其标准形式为兰-兰=1，则a=1,b=1,渐近线方程为y=士号0= 11 士x,A正确。 一双曲线中c=√a2+b2=√2，所以F(0,√2)，(0，-√2)，以线段F为直径的圆的圆心为(0， 0),半径为c=√2，方程为x2+y2=2,B错误。 一不妨取渐近线y=x,设P(x,x),因为以线段乃为直径的圆经过点P,所以P五·P乃=0。 P=(-x,W2-x),P=（-x,-√2-x),则(-x)(-x)+(W2-x)(-√2-x)=0,即x2-(√2)2+ x2=0,2x2-2=0,解得c=±1，C正确。 -由C知P(1,1)或P(-1,-1),R网=2W2,点P到y轴的距离为1，则△PR乃的面积为号× 2W2×1=√2，D正确。 11.答案：ACD 解析： -选项A:令x=y=0,则0×f(0)+0×f0)=f(0),即f(0)=0:令x=y=1,则1×f(1)+1× f1)=f(1),即2f(1)=f1),解得f1)=0,所以f0)+f1)=0,A正确。 -选项B:令y=-1,则f-1)+(-1)f(x)=f-x):令x=1,y=-1,则1×f(-1)+(-1)f1)= f-1),因为f1)=0,所以f(-1)-0=f-1),恒成立。再令x=-1,y=1,则-1×f1)+1×f(-1)= f-1),即0+f-1)=f(-1),恒成立。假设fx)是偶函数，即f(-x)=f(x),由f(-1)+(-1)f(x)= f(-x),若f(-1)≠0，则f-x)与f(x)线性相关，不一定相等，所以f(x)不一定是偶函数，B错误。 -选项C:令y=士（红≠0，则对（日）+士f)=f)=0,即对（士）=f。当1d>1时， 0<|<1,若x>1,则0<<1，由0<t<1时f)>0,所以f)>0.则对（号）>0又时) =f,所以-f>0,因为x>1,所以-f()>0,即f<0,所以f<0:若<-1，则 0<是<1(m为负，是为负，0<1|<1)，f)>0,则f()<0,又)=-士f),所以 -f)<0,因为x<-1,所以-f)>0,即f)<0,所以)<0，故当a>1时，对a)<0,C 正确。 一选项D:任取1，+0，且<，令=g=产，则会)+受-fa因 为1<<，所以0<号<1，f号)>0，则f分)>0，所以f(,）-受f()>0,即f)> 号f.又a>fi,即fa>f）,令glg)=f但(e>1,则ga>a,所以ge 01 m 在(1，+0)上单调递减。由C知当r>1时，f<0,g四)=f四<0，且g)单调递减，对g)求 m fx+△c)f() 导（导数定义），ga)=四+△ △x 心一，因为g(x)单调递减，所以g(x)≤0，又x>1,f(c)< 0,可推出f'(x)<0(过程略)，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，D正确。 12.答案：240 解析： 根据二项式定理，(a十b)”展开式的通项公式为T+1=Ca”-b。 对于2x+是，其通项为T=C2m0(是”=Cr*=C2r。 要求常数项，即令6-3r=0,解得r=2。 6: 将父=2代入通项，可得常数项为C22三262×2=9××16=15×16=240 -2×1 13.答案：144 解析： 上午要播出某电视剧和某专题报道，还需从剩下的6一2=4个节目中选1个，有C1种选法。 上午3个节目全排列，有A种排法；下午3个节目全排列，有A种排法。 根据分步乘法计数原理，不同播出方案的种数为C×A号×A=4×6×6=144。 14.答案：2 解析： 要使f(x)=(e-m)ln(x+n)≥0恒成立，需分情况讨论： -当ln(x+n)>0,即x+n>l,x>1-n时，e-m≥0，即m≤e对x>1-n恒成立，所以 m≤el-n。 -当ln(c+n)=0,即x+n=1,x=1-n时，fx)=0,恒成立。 -当ln(x+n)<0,即0<x+n<1,-n<c<1-n时，e-m≤0，即m≥e"对-n<x<1 -n恒成立，所以m≥e1-"。 综上，m=el-",则m十n=el-n十n。 令g(n)=el-m+n,对g(n)求导，g(n)=-e-n+1。 令g(n)=0,即-e1-n+1=0,解得n=1。 当n<1时，g(n)<0,g(n)单调递减：当n>1时，g(n)>0,g(n)单调递增。 所以g(n)在n=1时取得最小值，g(1)=e+1=2,即m+n的最大值为2。 15.(1B= (2)14. 【分析】(1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解 (2)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解 【详解】1)在△ABC中，ainAC=sinT2B-cos号，cos(x-B)=-cosB, 2 则cos6+c0s号-2os号+cos号-1-0.而0<号<受ms号>0， 解得cas号=方则号=号，所以B= 3 由正孩定理得后--号不纺设e=5mm>01,期a=3m, 由余弦定理得62=a2+c2-2 DaccosB=-9m2+25m2+2×3m×5m×号=49m2,解得b=7m, 由Se-合acn5-号×bxV3,得合x3mx5m×9-号x7mx5,解得m-告， 所以a+b+c=15m=14,即△ABC的周长为14， 16.(1)证明见解析 2)3 【分析】(1)由面面垂直的性质，可证BC⊥平面PAD,再由线面垂直的性质，可证BC⊥AD,根 据三线合一可知△ABC为等腰三角形，即可证明； (2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 PBA与平面PAC的法向量，利用向量法即可求出平面PBA与平面PAC的夹角的余弦值 【详解】(I)因为D为BC的中点，PB=PC,所以BC⊥PD 因为平面PAD⊥平面PBC,平面PAD∩平面PBC=PD,BCC平面PBC, 所以BC⊥平面PAD. 又因为ADC平面PAD,所以BC⊥AD, 因为D为BC的中点，所以AB=AC. (2)如图，以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，过点A垂直平面ABC为z轴，建 立空间直角坐标系A一cyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0) 取AD的中点O,连接PO.因为PA=PD,所以PO⊥AD 由(1)BC⊥平面PAD,BCC平面ABC,所以平面PAD⊥平面ABC. 因为平面PAD∩平面ABC=AD,POC平面PAD,PO⊥AD, 所以P01平面ABC,所以P号号，2)， 所以币-（合2号），=200，aC=0,20 设平面PBA的一个法向量为元=(，，z), 所以店·亚-0即含a+宁h+号=0，可取石-02.-1. 1 17·AB=0'2m=0 同理，可得平面PAC的一个法向量为7=（√2,0，-1）， 设平面PBA与平面PAC的夹角为6，则 7·n2_ 1 @=cosm=子 所以平面PBA与平面PAC的夹角为号 17(1号+=1 25+j 【分析】(1)由题得关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程： (2)设出直线RM,RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解 即可 【详解)(1)设点F(c,0)(c>0),当直线PF与x轴垂直时，PA=5 2 所以设点P(e要)则等+亭-1，因为PR的最小值为2-=1： 1 所以b=1,又由a2=b2+c2,可解得a=√2，°c=1, 故E的方程为号+矿=1. (2)如图， 设点M(m,0),N(n,0),R(t,2),注意到RM,RN斜率不为0， 设M=”y+mN=分， 2y+n, 联立} 号+=1 =m+m} ,得[8+(t-m2]y2+4(t-m)my+4(m2-2)=0, 因为RM与E相切，所以△=[4(t-m)m]2-4[8+(t-m)]·4(m2-2)=0, 于是16(t-m)2m2-16[8+(t-m](m2-2)=0, 化简得3m2+2tm-t-8=0,又RN与E相切，同理有3n2+2tn-t2-8=0, m,°九是一元三次方程3a2+2ta-一8=0的两根，则m+n=艺，。mn=-卡十 3 所以MN=m=州=Vm+n-mn-V号了-4x)-+ 3 3 又P≥0，所以SARv= N-2=+6≥w0+6=4w6 3 3 3 所以△RMN面积的取值范围为 18.(1)x+y+2=0 (2)(i)(-2we,0):()证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义结合题意求解即可： (2)(i)由题意得c,x2是方程2clnx-3c-m=0的两个正根，进一步转化为h(x)=x(2lnc-3) 与y=m有两个不同的交点，然后利用导数求出h(x)的单调区间和极值分析求解即可：()由(i)可 知m=h(x2),由h(x)=0得x=ee,则可得<2<eWe,令p(x2)=h(x2)+2e-x2,利用导数求 出其单调区间和最值，从而可证得结论 【详解】(1)当m=0时，f(x)=(1nx-2)x2,则g(x)=f'(x)=2xlnx-3x, g(1)=-3,求导得g(x)=2lnc-1,则g(1)=-1, 所以曲线g(c)在(1,9(1)处的切线方程为c+y+2=0: (2)(i)g(x)=f'(x)=2xlnc-3c-m,且定义域x∈(0，+∞). 因为若f代x)有两个极值点，所以c,c2是方程2xlnx一3c-m=0的两个正根， 2xlnc-3x=m,x(21nx-3)=m 令h(x)=c(2lnx-3),则h'(x)=2lnx-1, 所以，当h'(x)>0时，x>√e:当h'(x)<0时，0<x<√e, 因此，当x∈(0，√)时，h(x)单调递减：当x∈（√E,+∞）时，h(x)单调递增， 所以当c=√时，h(x)有最小值h(√)=-2W, 当2nc-3=0时，x=e2, 又因为当0<x<e时，2lnx-3<0,当x>e时，2lnx-3>0, 所以当0<c<e时，h(x)<0,当x>e时，h()>0,