3.3抛物线 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.3 抛物线 题型1：抛物线定义的应用 【例1.1.】 若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则（    ） A．准线方程为 B．焦点的坐标为 C．点的坐标为 D．的长为3 【例1.4.】 （多选）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ） A．焦点 B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【例1.5.】 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（    ） A． B．1 C． D． 题型2：求抛物线的标准方程 【例2.1.】 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例2.5.】 平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2.6.】 抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是 题型3：抛物线的焦点弦 【例3.1.】 已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值等于 . 【例3.2.】 已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【例3.3.】 （多选）设抛物线的焦点为F直线过F且与C交于两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为 ． 【例3.5.】 （多选）已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 【例3.6.】 （多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．四边形的面积的最小值为64 D．四边形的周长的最大值为 【例3.7.】 已知抛物线的焦点为F，准线为为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线交于点M． （1）若直线m的斜率为，求的值； （2）设的中点为N，若四点共圆，求直线m的方程． 【例3.8.】 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2． (1)求C的方程； (2)延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是，，，若，求的值． 题型4：直线与抛物线的相交问题 · 直线与抛物线的位置关系 【例4.1.】 已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4.2.】 已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． · 弦长问题 【例4.4.】 设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 【例4.5.】 已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ． 【例4.6.】 已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【例4.7.】 如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． · 中点弦问题 【例4.8.】 已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例4.9.】 已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.10.】 已知抛物线与双曲线． (1)双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点位于直线上，求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，且是中点，求直线的斜率． · 切线问题 【例4.11.】 已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率. （1）求抛物线C的方程及准线方程； （2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【例4.12.】 已知直线过抛物线的焦点． (1)求抛物线C的方程； (2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标． 【例4.13.】 (多选)已知抛物线，其焦点为F，动点P在上，过P作的切线交另一抛物线于点Q（异于点P），则下列有关说法正确的是（ ） A．点Q的轨迹是椭圆的一部分 B．当点P运动时，线段PQ长度无最大值 C．点Q恒在以FP为直径的圆外 D．存在点P，使得以PQ为直径的圆经过抛物线的焦点 题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题 · 求抛物线上一点到定点的最值 【例5.1.】 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （多选）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 · 求抛物线上一点到定直线的最值 【例5.4.】 已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【例5.5.】 抛物线上的点到直线的最小距离为 . 【例5.6.】 已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 题型6：抛物线在实际问题中的应用 【例6.1.】 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【例6.2.】 已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 【例6.4.】 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗体和碗盖的厚度忽略不计） ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.3 抛物线 题型1：抛物线定义的应用 【例1.1.】 若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 【例1.2.】 已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程 【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为：， 所以焦点到准线的距离为：， 所以焦点坐标为：. 故选：C. 【例1.3.】 （多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则（    ） A．准线方程为 B．焦点的坐标为 C．点的坐标为 D．的长为3 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线方程即可得焦点和准线方程，即可判断AB；根据题意可得直线的方程为，可求点的坐标，即可判断C；根据抛物线的定义判断D 【详解】因为抛物线方程为， 可知焦点的坐标为，准线方程为，A错误，B正确. 又因为直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，，即， 因为为垂足，则，解得， 所以点的坐标为，C正确. 根据抛物线的定义可知，故D错误. 故选：BC. 【例1.4.】 （多选）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ） A．焦点 B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦半径公式求出点坐标，即可判断C，求出的中点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，故A正确，B错误； 因为为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确； 不妨取，则的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与轴相切，故D错误. 故选：AC 【例1.5.】 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】根据题设知且，再利用抛物线定义及A在C上求出坐标，应用两点距离公式，即可得结果. 【详解】由题设知：，而，则， 又AB的中垂线经过点F，则， 不妨设且，则，可得，故， 所以， 综上. 故选：B 题型2：求抛物线的标准方程 【例2.1.】 已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】利用准线的性质求出，再求出标准方程即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 【例2.2.】 （多选）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第四象限，所以抛物线有开口向右或开口向下两种情况， 若抛物线开口向右，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向下，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以D正确. 故选：AD 【例2.3.】 已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【例2.4.】 点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 【例2.5.】 平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或. 故选：D. 【例2.6.】 抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 【例2.7.】 已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程 【解析】根据列式化简，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 又，所以， 整理得. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 求轨迹方程的一般步骤： （1）设所求轨迹上任意一点的坐标为； （2）根据题中条件列出等量关系； （3）化简整理，即可得出所求轨迹方程. 题型3：抛物线的焦点弦 【例3.1.】 已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值等于 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解 【分析】过点作垂直于准线于点，根据已知条件可得，可得，设准线与轴相交于点，根据，即可求得的值. 【详解】抛物线：的焦点为坐标为，准线为 过点作垂直于准线于点， 由抛物线的定义知， 因为，所以， 所以，可得， 设准线与轴相交于点，则，， 在中，，所以， 所以的值等于． 故答案为：． 【例3.2.】 已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 【例3.3.】 （多选）设抛物线的焦点为F直线过F且与C交于两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线相交求直线方程 【解析】先由抛物线方程得到焦点坐标，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出，即可得出结果. 【详解】由抛物线可得，其焦点为， 由题意，设直线的方程为，，， 由消去得， 则，， 根据抛物线的定义可得，，， 因为，所以，则，解得或（根据抛物的方程，负值舍去）；所以， 所以，解得， 即直线的方程为. 故选：CD. 【例3.4.】 已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题 【分析】由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得、，结合抛物线的定义写出、，根据垂直关系即可求. 【详解】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程， ∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：， ，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：， ∵，有， ∴. 故答案为：. 【例3.5.】 （多选）已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】由，以及抛物线方程求得,，再由斜率公式判断A；表示出直线的方程，联立抛物线求得，，即可求出判断B；由抛物线的定义求出，即可判断C；由，求得为钝角，可判断D． 【详解】对于A，易得，，由， 则的横坐标为， 代入抛物线可得，即，，则直线的斜率为，故A错误； 对于B：由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，，则，则，代入抛物线得， 解得，则，， 故，故B错误； 对于C,，故C正确； ，，，则为钝角，故D正确． 故选：CD．    【例3.6.】 （多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．四边形的面积的最小值为64 D．四边形的周长的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】根据直线和抛物线的位置关系结合韦达定理，结合向量数量积可得，得，判断A，结合向量坐标运算可判断B，根据弦长公式结合抛物线焦半径性质判断C选项．根据基本不等式判断D选项. 【详解】对A，由题意得，准线方程为， 设直线，与联立得， 设,，,，故， 则，所以，解得， 故准线方程为，A正确； 对B，由A选项可知，， 因为，所以，代入，得，即， 因为点在第一象限，所以，解得， 故直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得B正确； 对D，抛物线的焦点的坐标为，．且四边形为矩形， 因为，， 所以，由， 即，当且仅当时，等号成立， 所以四边形周长的最大值为，故D正确； 对C，由A选项，得，， 则，同理得， ， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时，故C错误． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 【例3.7.】 已知抛物线的焦点为F，准线为为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线交于点M． （1）若直线m的斜率为，求的值； （2）设的中点为N，若四点共圆，求直线m的方程． 【答案】（1）或；（2）． 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由抛物线的定义建立方程即可. （2）设直线m的方程为，用表示坐标，再结合条件得到，建立关于的方程即可获解. 【详解】（1）设，当时，设，则， 直线m的斜率为直线m的倾斜角为， 由抛物线的定义，有， ，解得：， 若时，同理可得：， 或． （2）设直线m的方程为，代入，得． 设，则． 由， 得， 所以． 因为直线m的斜率为，所以直线n的斜率为， 则直线n的方程为． 由解得． 若四点共圆，再结合，得， 则，解得， 所以直线m的方程为． 【例3.8.】 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2． (1)求C的方程； (2)延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据是等腰直角三角形可判断，由此可推断出，代入抛物线方程即可解出方程． （2）设出A、B、M三点坐标，分别用三点坐标表示出线MF，MA，MB的斜率，再将抛物线方程和直线AB的方程联立，利用韦达定理代入化简式子，即可求出的值. 【详解】（1）当是等腰直角三角形时，，点，，，抛物线方程为． （2）解析1：抛物线方程为，准线方程为， 焦点，设，，， ①当直线AB的斜率不存在时，，， ，，，，即， ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：， 联立方程，消去y得：， ，于是， ，，， ． ，所以． 解析2：由（1）知，设直线AB的方程：代入得：， 设，，所以，， 设，则，，． ，， ， ．所以． 题型4：直线与抛物线的相交问题 · 直线与抛物线的位置关系 【例4.1.】 已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 【例4.2.】 已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线的斜率，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】联立直线与抛物线方程，利用直线与抛物线有两个不同的交点可得结果. 【详解】由直线过点可得直线的方程为， 由得， ∵直线与抛物线相交于不同的两点， ∴，即，解得且． ∴斜率的取值范围是． 故选：A. 【例4.3.】 已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【详解】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． · 弦长问题 【例4.4.】 设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】直线方程联立抛物线方程消去，利用弦长公式即可得解. 【详解】由得，即． 设，因为，所以， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）． 故答案为：2 【例4.5.】 已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据弦长公式求出，再根据点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【详解】设，， 由得，， 所以，， 所以， 因为点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 【例4.6.】 已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【答案】(1) (2)① ；② 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）通过代入四个给定点，验证满足抛物线方程的点，确定参数的值； （2）①利用抛物线的准线方程，结合圆的切线性质，建立方程求解半径； ②通过参数方程设点，结合中点坐标公式和抛物线方程，解方程确定点M、N的坐标，最终计算距离. 【详解】（1）因为中的， 所以点不可能在上， 点关于轴对称，要么都在上，要么都不在上， 因为只经过四个点中的一点，所以都不在上， 所以点在上，将其坐标代入，得， 所以的方程为 （2）（i）由题可知，O，E，D，F四点共圆，该圆是以OD为直径的圆， 又，所以该圆的方程为，．． 与圆的方程相减，得直线EF即的准线的方程为， 解得． （ii）由（i）可知． 设． 因为点G，H在上，所以， 将代入，可得， 同理有， 所以是方程的两个根， 所以， 所以 . 【例4.7.】 如图，已知抛物线的标准方程为，其中为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，为抛物线上任意一点（原点除外），直线过焦点交抛物线于点，直线过点交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点．    (1)若弦的长度为，求的面积； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）根据条件得抛物线的方程为，设出直线方程，联立直线与抛物方程得，结合条件，利用弦长公式，即可求解； （2）设，根据条件，利用抛物线的性质及弦长公式，求得，，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以，所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，， 由，得，则， 所以，解得， 则的面积为. （2）因为在抛物线上，可以设，根据第（1）问可知两点的纵坐标之积为定值为， 所以，由（1）知，其中当时，， 可得， 当时，，满足，所以， 设直线的方程为，，， 由，得，所以， 又，所以，代入，得到，所以， 又过点，设直线的方程为， 由，得，则， 所以，代入，得，则， 所以， 易知直线斜率存在，且，所以． 所以， 所以有， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为． · 中点弦问题 【例4.8.】 已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的中点弦 【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解. 【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以， 设，可得，且， 两式相减，可得， 可得，所以直线的方程为， 即. 故选：A． 【例4.9.】 已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线的中点弦 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 【例4.10.】 已知抛物线与双曲线． (1)双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点位于直线上，求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，且是中点，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）求出抛物线焦点，再根据双曲线中关系即可得到方程组，解出即可； （2）设，再利用中点坐标公式，联立解出坐标，最后求出斜率即可. 【详解】（1）依题意得抛物线焦点为． 直线中令，则． ，解得， 双曲线的标准方程为． （2）设， 为中点，， 解得或， 当时，， ， 当时，， ， 综上，直线的斜率为． · 切线问题 【例4.11.】 已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率. （1）求抛物线C的方程及准线方程； （2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【答案】（1）抛物线方程为，其准线方程为；（2）最小值为. 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）求出直线斜率可得即可写出抛物线方程及准线方程； （2）利用切线求出直线的方程，联立抛物线方程，求出弦长，再有点到直线的距离即可求出三角形面积，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，，即，可知抛物线方程为，其准线方程为. （2），则切线：，即； 同理：. 分别代入点可得，对比可知直线的方程为：.(即切点弦方程) 联解，可知， 点到直线的距离为， 因此，， 而，故. 当且仅当，即时，的最小值为. 【例4.12.】 已知直线过抛物线的焦点． (1)求抛物线C的方程； (2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线的切线方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）求出焦点坐标为，从而得到，求出抛物线方程； （2）设出，过点A的抛物线的切线方程设为，与抛物线方程联立，根据得到，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为，求出，表达出，，列出方程，求出，得到点A的坐标. 【详解】（1）中令得：， 故焦点坐标为，故，解得：，故抛物线方程为； （2）抛物线准线方程为：， 设，过点A的抛物线的切线方程设为， 联立得：， 由，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为， 故， 令中，令得：， 不妨设，故， 则， 解得：，故点A的坐标为或. 【点睛】已知抛物线方程，点为抛物线上一点，则过点的抛物线切线方程为， 若点在抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点弦方程为. 【例4.13.】 （多选）已知抛物线，其焦点为F，动点P在上，过P作的切线交另一抛物线于点Q（异于点P），则下列有关说法正确的是（ ） A．点Q的轨迹是椭圆的一部分 B．当点P运动时，线段PQ长度无最大值 C．点Q恒在以FP为直径的圆外 D．存在点P，使得以PQ为直径的圆经过抛物线的焦点 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】对A，根据抛物线切线方程结论即可判断；对B，得到即可判断；对C，转化为证明恒成立即可；对D，转化为求解即可. 【详解】对A，，设，易得过点的切线的斜率为， 点代入得，故过点作的切线方程为，即， 代入整理得，则是其中一个根， 设的横坐标为，由韦达定理知，代入切线方程得， 此时，当，即点在轴上时，过点切线方程为， 代入得，不满足的方程， 综上点的轨迹不是椭圆的一部分，故A错误； 对B，由A知，当时，，则， 当时，点，，无最大值， 综上所述，线段的长度无最大值，故B正确； 对C，其描述等价于，当时，， 当时，，同理，时有， 当时，，， 此时，综上恒有，C正确； 对D，知抛物线焦点，时，， 选项描述等价于，代入知， 整理得，令，则， 则，设其两根分别为， 根据韦达定理知，则，不合题意，故不成立， 当时，，， 综上所述，恒不成立，故D错误. 故选：BC. 题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题 · 求抛物线上一点到定点的最值 【例5.1.】 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 【例5.2.】 已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】设点P的坐标为，则，求其最小值即可. 【详解】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 【例5.3.】 （多选）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A；根据三角形三边关系，判断B；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C；根据直线与圆相切的定义，判断D. 【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A正确； ，当点在线段的延长线上时等号成立，所以的最大值为，B错误； 如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5，C正确； 设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，D正确， 故选：ACD. · 求抛物线上一点到定直线的最值 【例5.4.】 已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】 根据抛物线的定义，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点，直线为抛物线的准线， 则抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值， 如下图，，当共线且时最小， 即距离和的最小值为F到直线的距离， 故选：A 【例5.5.】 抛物线上的点到直线的最小距离为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】设点，根据点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知，抛物线，直线， 设上的点， 所以到直线的距离为 ， 当时，即时，， 故答案为： 【例5.6.】 已知是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，（为坐标原点）三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定直线 【分析】（1）由于点在中垂线上，所以，从而，求出后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示，结合点在抛物线上可得的轨迹，从而可求的最小值． 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为，所以，则， 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则， ， 整理得， 又，代入得，故， 所以总在定直线上，又, 而过且与该直线垂直的直线为， 由可得两条直线的交点为， 而，故交点在抛物线内部， 故的最小值为到直线的距离， 即的最小值为. 题型6：抛物线在实际问题中的应用 【例6.1.】 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 【例6.2.】 已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】设，则，由题意表示出则，代入解方程即可得出答案. 【详解】利用对称性建系易知，可设，则， 则由， 而， 所以. 故选：A． 【例6.3.】 如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 【答案】(1)， (2)架子所用钢筋总长度为 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求实际问题中的抛物线方程、抛物线的应用 【分析】 （1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置. （2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度. 【详解】（1） 如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是. （2） 因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为. 【例6.4.】 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗体和碗盖的厚度忽略不计） ． 【答案】7cm 【难度】0.65 【知识点】抛物线的应用 【分析】建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为，将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示． 设碗体的抛物线方程为， 将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为， 代入到，得，解得． 故答案为: ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $