11.2整式的乘法 同步课堂2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

11.2整式的乘法 讲解目录 【知识点1】多项式乘多项式 1 【知识点2】单项式乘单项式 2 【知识点3】单项式乘多项式 2 【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 3 【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 3 【题型3】利用运算法则求未知字母的值 3 【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 4 【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 5 【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 6 【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 6 【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 7 【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 7 【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 8 【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 8 【题型12】利用运算法则求未知字母的值 9 【题型13】有关单项式乘法的混合运算 9 知识讲解 【知识点1】多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 1.（2025春•贵阳期末）长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a-b,则长方形面积为（　　） A．2a2+ab-b2 B．2a2+ab C．4a2+4ab+b2 D．2a2+5ab+2b2 【知识点2】单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1.（2025•宝安区模拟）下列运算正确的是（　　） A．3a3•3a=6a4 B．（a+b）2=a2+b2 C．（-2a）2=-4a2 D．（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3 2.（2025春•包河区期末）下列计算正确的是（　　） A．a2•a2=2a2 B．（a3）2=a5 C．（-2a）2•a=4a3 D．a6÷a2=a3 【知识点3】单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 1.（2025春•镇江月考）若关于x,y的多项式（-mx+3）x-x2（3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．-1 D．-5 2.（2025春•新郑市月考）一个长方体箱子的长、宽、高分别为2x+2，x,2x,则这个箱子的体积为（　　） A．4x2+4x B．4x3+4x2 C．4x3+4x D．4x2+4 题型专练 【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 【典型例题】计算：a(a+2)﹣2a＝(　　) A.2 B.a2 C.a2+2a D.a2﹣2a 【举一反三1】计算：2m2n(m﹣3mn2)＝(　　) A.2m3n﹣6m3n3 B.2m3n﹣3m3n3 C.2mn2﹣6m3n3 D.2m2n+6m3n3 【举一反三2】计算：x(2﹣y)＝　         ． 【举一反三3】计算：　         ． 【举一反三4】计算：(﹣4x)•(2x2+3x﹣1)． 【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 【典型例题】(﹣2xmyn)•(﹣0.5x2yn)的结果是(　　) A.x2m+1y2n﹣2 B. C. D. 【举一反三1】计算：(　　) A.3x4y5 B.﹣3x4y5 C.3x3y6 D.﹣3x3y6 【举一反三2】计算：　         ． 【举一反三3】计算：﹣2x2yz•(xy2z)•(9xyz2)． 【题型3】利用运算法则求未知字母的值 【典型例题】若单项式﹣8xa﹣1y和的积为﹣2x5y6，则(ab)9÷(ab)4÷(ab)3的值为(　　) A.﹣25 B.25 C.﹣625 D.625 【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝　  　． 【举一反三3】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为　  　． 【举一反三4】若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值． 【举一反三5】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值． 【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】已知一个长方体盒子的长为x+3，宽为2x，高为x，则这个长方体盒子的表面积为(　　) A.10x2+18x B.12x2+6x C.6x2+6x D.5x2+9x 【举一反三3】一个长方形的边长分别为(x2y+y2)与4xy，则这个长方形的面积为　           ． 【举一反三4】学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为______米； (2)用含的代数式来表示实验田的面积； (3)当时，实验田面积为多少平方米？ 【举一反三5】如图，墨墨的爸爸将一块长分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．    (1)用含a，b的整式表示盒子的外表面的面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需多少元． 【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 【典型例题】在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为(   )    A. B. C. D. 【举一反三2】光的速度约为3×105 km/s，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球．若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离是　     km． 【举一反三3】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做         次运算．(用科学记数法表示) 【举一反三4】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)      【举一反三5】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？    【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 【典型例题】计算(x﹣3)(x+2)的结果为(　　) A.x2﹣6 B.x2﹣x+6 C.x2﹣x﹣6 D.x2+x﹣6 【举一反三1】下列计算正确的是(　　) A.(3ab3)(﹣2ab)＝﹣6a2b3 B.(m﹣2)(m+5)＝m2﹣7m﹣10 C.(y+4)(y﹣3)＝y2+7y﹣12 D.(x+3)(x+4)＝x2+7x+12 【举一反三2】计算：            ． 【举一反三3】计算：(x﹣5y)(2x+y)＝　            ． 【举一反三4】计算：(2m+1)(3m﹣5)． 【举一反三5】计算：(2a﹣5b)•(3a2﹣2ab)． 【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 【典型例题】若(x﹣1)(x+2)＝x2+ax+b，则a，b的值是(　　) A.a＝1，b＝2 B.a＝﹣1，b＝2 C.a＝1，b＝﹣2 D.a＝﹣1，b＝﹣2 【举一反三1】若多项式乘法(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为(　　) A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 【举一反三2】若(x+3)(x+n)＝x2+mx+6，(m，n均为实数)，则(　　) A.m＝1，n＝2 B.m＝1，n＝﹣2 C.m＝5，n＝﹣2 D.m＝5，n＝2 【举一反三3】要使(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝　  　． 【举一反三4】若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为　   . 【举一反三5】若多项式x+3p与的积中不含x项与x2项． (1)求p，q的值； (2)求式子p99q100的值． 【举一反三6】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． (1)求a，b的值； (2)请计算这道题的正确结果. 【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 【典型例题】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是(　　) A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2 【举一反三2】化简代数式结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝　      ． 【举一反三4】化简：(x﹣y)(x+3y)﹣x(x+2y)． 【举一反三5】计算：(y﹣2)(y2+2y+4)﹣(y2+1)(y﹣1)． 【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 【典型例题】已知ab2＝﹣1，则﹣ab(a2b5﹣ab3﹣b)的值等于(　　) A.﹣1 B.0 C.1 D.无法确定 【举一反三1】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　) A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98 【举一反三2】若a2b＝2，则代数式2ab(a﹣2)+4ab＝　    　． 【举一反三3】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？ 【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 【典型例题】当x2+x＝5时，(1﹣x)(2+x)的值是(　　) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 【举一反三1】已知a2﹣3a+1＝0，则(a+1)(a﹣4)的值为(　　) A.不确定 B.5 C.﹣3 D.﹣5 【举一反三2】已知，则的值为      ． 【举一反三3】若，则的值为      ． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中a为最大的负整数． 【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 【典型例题】设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三1】如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示(a＞1)，则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是(　　) A.S甲＝S乙 B.S甲＞S乙 C.S甲＜S乙 D.无法确定 【举一反三2】如果长方形的长为4a2﹣2a+1，宽为2a+1，那么长方形的面积为　    　． 【举一反三3】如图：已知长方形纸片ABCD长为3a+1，宽为b+3，裁去一个长为2a+1，宽为b+1的长方形AEFG，则剩余部分面积为　            ． 【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？ 【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b． (1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示) (2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生． 【题型12】利用运算法则求未知字母的值 【典型例题】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是(　　) A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2 【举一反三1】要使x(x+2a)+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为(　　) A.a＝﹣2，b＝﹣4 B.a＝2，b＝4 C.a＝2，b＝﹣4 D.a＝﹣2，b＝4 【举一反三2】如果(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项，那么a的值为　  　． 【举一反三3】对于任意的x、y，若存在a、b使得8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立，则a+b＝　  　． 【举一反三4】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3)•(﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值． 【题型13】有关单项式乘法的混合运算 【典型例题】计算(﹣ab)3(﹣3b)2的结果是(　　) A.﹣9a3b6 B.9a3b2 C.9a3b6 D.﹣9a3b5 【举一反三1】计算(2.5×103)3×(﹣0.8×102)2的结果是(　　) A.6×1013 B.﹣6×1013 C.2×1013 D.1014 【举一反三2】计算：(﹣2x)3(﹣xy2)＝　       ． 【举一反三3】计算的结果等于　    ． 【举一反三4】计算：(﹣3a2b)2•(﹣a2c3)3． 【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3•(﹣b3)2+(﹣3ab2)3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2整式的乘法 讲解目录 【知识点1】多项式乘多项式 1 【知识点2】单项式乘单项式 2 【知识点3】单项式乘多项式 3 【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 4 【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 5 【题型3】利用运算法则求未知字母的值 6 【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 7 【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 10 【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 12 【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 13 【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 16 【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 17 【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 18 【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 20 【题型12】利用运算法则求未知字母的值 23 【题型13】有关单项式乘法的混合运算 24 知识讲解 【知识点1】多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 1.（2025春•贵阳期末）长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a-b,则长方形面积为（　　） A．2a2+ab-b2 B．2a2+ab C．4a2+4ab+b2 D．2a2+5ab+2b2 【答案】D 【分析】根据题意求出长方形另一边长，根据多项式与多项式相乘的法则计算即可． 【解答】解：长方形另一边长为2a+b-（a-b）=a+2b, 则长方形面积为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2， 故选：D． 【知识点2】单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1.（2025•宝安区模拟）下列运算正确的是（　　） A．3a3•3a=6a4 B．（a+b）2=a2+b2 C．（-2a）2=-4a2 D．（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、多项式除以单项式法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、3a3•3a=9a4，故此选项不符合题意； B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项不符合题意； C、（-2a）2=4a2，故此选项不符合题意； D、（10a2b-6ab）÷2ab=5a-3，故此选项不符合题意； 故选：D． 2.（2025春•包河区期末）下列计算正确的是（　　） A．a2•a2=2a2 B．（a3）2=a5 C．（-2a）2•a=4a3 D．a6÷a2=a3 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式乘单项式法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减分别计算判断即可． 【解答】解：A、a2•a2=a4，故此选项不符合题意； B、（a3）2=a6，故此选项不符合题意； C、（-2a）2•a=4a2•a=4a3，故此选项符合题意； D、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意； 故选：C． 【知识点3】单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 1.（2025春•镇江月考）若关于x,y的多项式（-mx+3）x-x2（3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．-1 D．-5 【答案】D 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值． 【解答】解：原式=-mx2+3x-3x3-5x2 =-（5+m）x2+3x-3x3， 由条件可知-（5+m）=0， ∴m=-5， 故选：D． 2.（2025春•新郑市月考）一个长方体箱子的长、宽、高分别为2x+2，x,2x,则这个箱子的体积为（　　） A．4x2+4x B．4x3+4x2 C．4x3+4x D．4x2+4 【答案】B 【分析】先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【解答】解：列出乘法式子可得： x•（2x+2）•2x =4x3+4x2， 故选：B． 题型专练 【题型1】利用单项式乘多项式法则进行计算 【典型例题】计算：a(a+2)﹣2a＝(　　) A.2 B.a2 C.a2+2a D.a2﹣2a 【答案】B 【解析】原式＝a2+2a﹣2a＝a2． 故选：B． 【举一反三1】计算：2m2n(m﹣3mn2)＝(　　) A.2m3n﹣6m3n3 B.2m3n﹣3m3n3 C.2mn2﹣6m3n3 D.2m2n+6m3n3 【答案】A 【解析】2m2n(m﹣3mn2) ＝2m2n⋅m﹣2m2n⋅3mn2 ＝2m3n﹣6m3n3， 故选：A． 【举一反三2】计算：x(2﹣y)＝　         ． 【答案】2x﹣xy 【解析】x(2﹣y)＝2x﹣xy， 故答案为：2x﹣xy． 【举一反三3】计算：　         ． 【答案】﹣3x3﹣x2+3x 【解析】原式＝﹣3x3﹣x2+3x． 故答案为：﹣3x3﹣x2+3x． 【举一反三4】计算：(﹣4x)•(2x2+3x﹣1)． 【答案】解：(﹣4x)•(2x2+3x﹣1) ＝(﹣4x)•2x2+(﹣4x)•3x﹣(﹣4x)•1 ＝﹣8x3﹣12x2+4x． 【题型2】利用单项式乘单项式的法则进行计算 【典型例题】(﹣2xmyn)•(﹣0.5x2yn)的结果是(　　) A.x2m+1y2n﹣2 B. C. D. 【答案】D 【解析】(﹣2xmyn)•(﹣0.5x2yn) ＝﹣2×(﹣0.5) ． 故选：D． 【举一反三1】计算：(　　) A.3x4y5 B.﹣3x4y5 C.3x3y6 D.﹣3x3y6 【答案】B 【解析】＝6×()x1+3y2+3＝﹣3x4y5． 故选：B． 【举一反三2】计算：　         ． 【答案】﹣x3y3 【解析】(﹣3x2y)•(xy2)＝﹣x3y3， 故答案为：﹣x3y3． 【举一反三3】计算：﹣2x2yz•(xy2z)•(9xyz2)． 【答案】解：原式＝29x2+1+1y1+2+1z1+1+2＝3x4y4z4． 【题型3】利用运算法则求未知字母的值 【典型例题】若单项式﹣8xa﹣1y和的积为﹣2x5y6，则(ab)9÷(ab)4÷(ab)3的值为(　　) A.﹣25 B.25 C.﹣625 D.625 【答案】D 【解析】∵﹣8xa﹣1y×()＝﹣2xayb+1＝﹣2x5y6， ∴a＝5，b+1＝6，解得b＝5， ∴(ab)9÷(ab)4÷(ab)3＝(ab)9﹣4﹣3＝(ab)2＝(5×5)2＝625． 故选：D． 【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵(6am+1bn+1)•(﹣4a2m﹣1b2n﹣1)＝﹣24a3mb3n， 且单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项， ∴，解得， ∴mn＝12＝1， 故选：A． 【举一反三2】已知单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma5yn，则m+n＝　  　． 【答案】-2 【解析】∵单项式2a3y2与﹣4a2y4的积为ma3yn， ∴2a3y2×(﹣4a2y4)＝﹣8a5y6， ∴m＝﹣8，n＝6， ∴m+n＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【举一反三3】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为　  　． 【答案】﹣1 【解析】∵﹣xmy2⋅(3x3y2m+n)＝﹣3x3+my2m+n+2，且与2x5y3是同类项， ∴， 解得：， ∴m+n＝2+(﹣3)＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【举一反三4】若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值． 【答案】解：﹣2x2m﹣1•yn﹣4•7x1﹣nym﹣1＝﹣14x2m﹣nym+n﹣5， ∴﹣14x2m﹣nym+n﹣5与x7y3是同类项． ∴， 解得：m＝5，n＝3． 【举一反三5】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值． 【答案】解：∵3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4， ∴3×3x×2x﹣2×3x×2x＝63x+4， ∴3×6x﹣2×6x＝63x+4， ∴6x＝63x+4， ∴x＝3x+4， ∴x＝﹣2． 【题型4】单项式乘多项式的实际应用问题 【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，长方形的另一边长为：， 所以长方形的面积为：，故A正确． 故选：A． 【举一反三1】一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵长方形的长为，宽比长的一半多1， ∴长方形的长为， ∴长方形的面积为， 故选：C． 【举一反三2】已知一个长方体盒子的长为x+3，宽为2x，高为x，则这个长方体盒子的表面积为(　　) A.10x2+18x B.12x2+6x C.6x2+6x D.5x2+9x 【答案】A 【解析】长方体盒子的表面积为＝2(x+3)•2x+2(x+3)•x+2•2x•x ＝4x(x+3)+2x(x+3)+4x2 ＝4x2+12x+2x2+6x+4x2 ＝10x2+18x， 故选：A． 【举一反三3】一个长方形的边长分别为(x2y+y2)与4xy，则这个长方形的面积为　           ． 【答案】2x3y2+4xy3 【解析】该长方形的面积为：4xy(x2y+y2)＝2x3y2+4xy3， 故答案为：2x3y2+4xy3． 【举一反三4】学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为______米； (2)用含的代数式来表示实验田的面积； (3)当时，实验田面积为多少平方米？ 【答案】解：(1)米， 故答案为：； (2)，， 平方米； (3)当时，(平方米)． 【举一反三5】如图，墨墨的爸爸将一块长分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．    (1)用含a，b的整式表示盒子的外表面的面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需多少元． 【答案】解：(1)由题意得： ， ∴盒子的外表面的面积为； (2)当，时， 盒子的外表面的面积 ， (平方分米)， ∴(元)， ∴喷漆共需元． 【题型5】单项式乘单项式的实际应用问题 【典型例题】在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】纸盒的底面积为, 高为， 故容积为 故选A 【举一反三1】一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为(   )    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】． 故选A． 【举一反三2】光的速度约为3×105 km/s，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球．若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离是　     km． 【答案】3.6×1013 【解析】依题意，这颗恒星到地球的距离为 4×(3×107)×(3×105)＝(4×3×3)×(107×105)＝3.6×1013 km． 【举一反三3】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做         次运算．(用科学记数法表示) 【答案】2.4×1014 【解析】4×108×6×105 ＝24×1013 ＝2.4×1014． 故答案为：2.4×1014． 【举一反三4】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)      【答案】解：根据题意，得 ． 答：每块大理石的体积为． 【举一反三5】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？    【答案】解：小明的设计方案符合要求．理由如下： 由题意可得：阴影部分的面积为： ． ∵，而 ， 故小明的设计方案符合要求． 【题型6】利用多项式乘多项式法则进行计算 【典型例题】计算(x﹣3)(x+2)的结果为(　　) A.x2﹣6 B.x2﹣x+6 C.x2﹣x﹣6 D.x2+x﹣6 【答案】C 【解析】(x﹣3)(x+2)＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6， 故选：C． 【举一反三1】下列计算正确的是(　　) A.(3ab3)(﹣2ab)＝﹣6a2b3 B.(m﹣2)(m+5)＝m2﹣7m﹣10 C.(y+4)(y﹣3)＝y2+7y﹣12 D.(x+3)(x+4)＝x2+7x+12 【答案】D 【解析】A：原式＝﹣6a2b4，故A不符合题意； B：原式＝m2﹣2m+5m﹣10＝m2+3m﹣10，故B不符合题意； C：原式＝y2﹣3y+4y﹣12＝y2+y﹣12，故C不符合题意； D：原式＝x2+4x+3x+12＝x2+7x+12，故D符合题意； 故选：D． 【举一反三2】计算：            ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 【举一反三3】计算：(x﹣5y)(2x+y)＝　            ． 【答案】2x2﹣9xy﹣5y2 【解析】(x﹣5y)(2x+y) ＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2 ＝2x2﹣9xy﹣5y2． 故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2． 【举一反三4】计算：(2m+1)(3m﹣5)． 【答案】解：原式＝6m2﹣10m+3m﹣5＝6m2﹣7m﹣5． 【举一反三5】计算：(2a﹣5b)•(3a2﹣2ab)． 【答案】解：(2a﹣5b)⋅(3a2﹣2ab) ＝6a3﹣4a2b﹣15a2b+10ab2 ＝6a3﹣19a2b+10ab2． 【题型7】利用多项式乘多项式求待定字母的值 【典型例题】若(x﹣1)(x+2)＝x2+ax+b，则a，b的值是(　　) A.a＝1，b＝2 B.a＝﹣1，b＝2 C.a＝1，b＝﹣2 D.a＝﹣1，b＝﹣2 【答案】C 【解析】(x﹣1)(x+2)＝x2+x﹣2＝x2+ax+b， ∴a＝1，b＝﹣2， 故选：C． 【举一反三1】若多项式乘法(x+2y)(2x﹣ky﹣1)的结果中不含xy项，则k的值为(　　) A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2 【答案】A 【解析】(x+2y)(2x﹣ky﹣1) ＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y ＝2x2+(4﹣k)xy﹣x﹣2ky2﹣2y， ∵结果中不含xy项， ∴4﹣k＝0， 解得，k＝4， 故选：A． 【举一反三2】若(x+3)(x+n)＝x2+mx+6，(m，n均为实数)，则(　　) A.m＝1，n＝2 B.m＝1，n＝﹣2 C.m＝5，n＝﹣2 D.m＝5，n＝2 【答案】D 【解析】∵(x+3)(x+n)＝x2+(3+n)x+3n， ∴x2+(3+n)x+3n＝x2+mx+6， ∴3+n＝m，3n＝6， ∴n＝2，m＝5， 故选：D． 【举一反三3】要使(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝　  　． 【答案】11 【解析】(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b) ＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b ＝2x4﹣(2a+1)x3+(a+b+12)x2﹣(ab+6)x+6b． ∵(x2﹣ax+6)(2x2﹣x+b)展开式中不含x2项和x3项， ∴﹣(2a+1)＝0，且a+b+12＝0， ∴a，b ∴a﹣b) ＝11． 故答案为：11． 【举一反三4】若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为　   . 【答案】-2 【解析】(x+m)(x+2)＝x2+2x+mx+2m＝x2+(2+m)x+2m， ∵结果中不含x的一次项， ∴2+m＝0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【举一反三5】若多项式x+3p与的积中不含x项与x2项． (1)求p，q的值； (2)求式子p99q100的值． 【答案】解：(1)(x+3p)(x2﹣xq) ＝x3﹣x2qx+3px2﹣3px+pq ＝x3+(3p﹣1)x2+(q﹣3p)x+pq， ∵不含x项与x2项， ∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0， ∴p，q＝3； (2)当p，q＝3时， 原式＝()99×3100 ＝()99×399×3 ＝(3)99×3 ＝199×3 ＝1×3 ＝3． 【举一反三6】甲、乙两人共同计算一道整式：(x+a)(2x+b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． (1)求a，b的值； (2)请计算这道题的正确结果. 【答案】解：(1)甲抄错了a的符号的计算结果为： (x﹣a)(2x+b)＝2x2+(﹣2a+b)x﹣ab＝2x2﹣7x+3， 故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为： (x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab＝x2+2x﹣3． 故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3， ∴， 解， (2)正确的计算结果：(x+3)(2x﹣1)＝2x2+5x﹣3． 【题型8】与多项式乘多项式有关的混合运算 【典型例题】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得： ， 故选：C． 【举一反三1】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是(　　) A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2 【答案】A 【解析】原式＝2x2﹣4x+x﹣2﹣2x2+3x＝﹣2， 故选：A． 【举一反三2】化简代数式结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ， 故选：A. 【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝　      ． 【答案】4x﹣3 【解析】(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3， 故答案为：4x﹣3． 【举一反三4】化简：(x﹣y)(x+3y)﹣x(x+2y)． 【答案】解：原式＝x2+3xy﹣xy﹣3y2﹣x2﹣2xy＝﹣3y2． 【举一反三5】计算：(y﹣2)(y2+2y+4)﹣(y2+1)(y﹣1)． 【答案】解：原式＝y3+2y2+4y﹣2y2﹣4y﹣8﹣y3+y2﹣y+1 ＝y3﹣y3+2y2﹣2y2+y2+4y﹣4y﹣y+1﹣8 ＝y2﹣y﹣7． 【题型9】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 【典型例题】已知ab2＝﹣1，则﹣ab(a2b5﹣ab3﹣b)的值等于(　　) A.﹣1 B.0 C.1 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵ab2＝﹣1， ∴原式＝﹣a3b6+a2b4+ab2＝﹣(ab2)3+(ab2)2+ab2＝1+1﹣1＝1， 故选：C． 【举一反三1】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　) A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98 【答案】A 【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4) ＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2) ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98． 故选：A． 【举一反三2】若a2b＝2，则代数式2ab(a﹣2)+4ab＝　    　． 【答案】4 【解析】2ab(a﹣2)+4ab＝2a2b﹣4ab+4ab＝2a2b， 当a2b＝2时，原式＝2×2＝4， 故答案为：4． 【举一反三3】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？ 【答案】解：小刚说的对，理由： a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab＝a2+a2+ab﹣2a2﹣ab＝0， 由于结果与a，b的值无关，因此小刚说得对． 【题型10】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 【典型例题】当x2+x＝5时，(1﹣x)(2+x)的值是(　　) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 【答案】B 【解析】∵x2+x＝5， ∴(1﹣x)(2+x) ＝2+x﹣2x﹣x2 ＝2﹣x﹣x2 ＝2﹣(x2+x) ＝2﹣5 ＝﹣3， ∴(1﹣x)(2+x)的值是﹣3． 故选：B． 【举一反三1】已知a2﹣3a+1＝0，则(a+1)(a﹣4)的值为(　　) A.不确定 B.5 C.﹣3 D.﹣5 【答案】D 【解析】∵a2﹣3a+1＝0， ∴a2﹣3a＝﹣1， ∴(a+1)(a﹣4) ＝a2﹣4a+a﹣4 ＝a2﹣3a﹣4 ＝﹣1﹣4 ＝﹣5， 故选：D． 【举一反三2】已知，则的值为      ． 【答案】2024 【解析】∵， ∴ ． 故答案为：2024． 【举一反三3】若，则的值为      ． 【答案】10 【解析】∵， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中a为最大的负整数． 【答案】解： ， ∵a为最大的负整数， ∴， ∴原式． 【题型11】多项式乘多项式的实际应用问题 【典型例题】设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】∵(3a+b)(2a+2b)＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2， ∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张． 故选：C． 【举一反三1】如图，甲、乙两个长方形，它们的长和宽如图所示(a＞1)，则两个长方形面积S甲与S乙的大小关系是(　　) A.S甲＝S乙 B.S甲＞S乙 C.S甲＜S乙 D.无法确定 【答案】B 【解析】S甲＝(2a+1)(a+7)＝2a2+14a+a+7＝2a2+15a+7， S乙＝(2a+4)(a+3)＝2a2+6a+4a+12＝2a2+10a+12， 则S甲﹣S乙＝2a2+15a+7﹣(2a2+10a+12) ＝2a2+15a+7﹣2a2﹣10a﹣12 ＝5a﹣5 ＝5(a﹣1)， ∵a＞1， ∴a﹣1＞0， ∴5(a﹣1)＞0， ∴S甲＞S乙． 故选：B． 【举一反三2】如果长方形的长为4a2﹣2a+1，宽为2a+1，那么长方形的面积为　    　． 【答案】8a3+1 【解析】由题意得，长方形的面积为： (4a2﹣2a+1)(2a+1)＝4a2(2a+1)﹣2a(2a+1)+(2a+1)＝8a3+1， 故答案为：8a3+1． 【举一反三3】如图：已知长方形纸片ABCD长为3a+1，宽为b+3，裁去一个长为2a+1，宽为b+1的长方形AEFG，则剩余部分面积为　            ． 【答案】ab+7a+2 【解析】根据题意，得(3a+1)(b+3)﹣(2a+1)(b+1) ＝(3ab+9a+b+3)﹣(2ab+2a+b+1) ＝ab+7a+2， 故答案为：ab+7a+2． 【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？ 【答案】解：由题意得： (2a+8)(a+6)﹣2a•a＝2a2+12a+8a+48﹣2a2＝20a+48(平方米)． 答：这个鱼塘面积增加了(20a+48)平方米. 【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b． (1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示) (2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生． 【答案】解：(1)(3a+b)(2a+2b)﹣[2(a+b)]2 ＝6a2+8ab+2b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2 ＝2a2﹣2b2， 答：八年级比七年级多(2a2﹣2b2)名学生； (2)当a＝10，b＝2时，原式＝2×102﹣2×22＝200﹣8＝192． 答：八年级比七年级多192名学生． 【题型12】利用运算法则求未知字母的值 【典型例题】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是(　　) A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2 【答案】C 【解析】∵x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立， ∴x3+(a+3)x﹣2b＝x3+5x+4， ∴， 解得． 故选：C． 【举一反三1】要使x(x+2a)+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为(　　) A.a＝﹣2，b＝﹣4 B.a＝2，b＝4 C.a＝2，b＝﹣4 D.a＝﹣2，b＝4 【答案】C 【解析】已知等式整理得：x2+2ax+2x﹣2b＝x2+6x+8， 即x2+(2a+2)x﹣2b＝x2+6x+8， ∴2a+2＝6，﹣2b＝8， 解得：a＝2，b＝﹣4． 故选：C． 【举一反三2】如果(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项，那么a的值为　  　． 【答案】1 【解析】(x2﹣a)x+x＝x3﹣ax+x＝x3﹣(a﹣1)x， ∵(x2﹣a)x+x的展开式中只含有x3这一项， ∴a﹣1＝0， 解得：a＝1． 故答案为：1． 【举一反三3】对于任意的x、y，若存在a、b使得8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立，则a+b＝　  　． 【答案】14 【解析】∵8x+y(a﹣2b)＝ax﹣2b(x﹣2y)恒成立， ∴8x+y(a﹣2b)＝(a﹣2b)x+4by， ∴， 解得， a+b＝12+2＝14． 故答案为：14． 【举一反三4】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3)•(﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值． 【答案】解：(5﹣3x+mx2﹣6x3)•(﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1) ＝﹣10x2+6x3﹣2mx4+12x5+3x4﹣nx2+x ＝12x5+(3﹣2m)x4+6x3+(﹣10﹣n)x2+x， 由结果中不含x4和x2项，得到3﹣2m＝0，﹣10﹣n＝0， 解得：m＝1.5，n＝﹣10． 【题型13】有关单项式乘法的混合运算 【典型例题】计算(﹣ab)3(﹣3b)2的结果是(　　) A.﹣9a3b6 B.9a3b2 C.9a3b6 D.﹣9a3b5 【答案】D 【解析】原式＝﹣a3b3•9b2＝﹣9a3b5． 故选：D． 【举一反三1】计算(2.5×103)3×(﹣0.8×102)2的结果是(　　) A.6×1013 B.﹣6×1013 C.2×1013 D.1014 【答案】D 【解析】原式＝15.625×109×6.4×104＝10×1013＝1014． 故选：D． 【举一反三2】计算：(﹣2x)3(﹣xy2)＝　       ． 【答案】8x4y2 【解析】(﹣2x)3(﹣xy2)＝(﹣8x3)•(﹣xy2)＝8x4y2． 故答案为：8x4y2． 【举一反三3】计算的结果等于　    ． 【答案】12a3b 【解析】 ＝12a3b． 故答案为：12a3b． 【举一反三4】计算：(﹣3a2b)2•(﹣a2c3)3． 【答案】解：(﹣3a2b)2⋅(﹣a2c3)3 ＝9a4b2•(﹣a6c9) ＝﹣9a4b2•a6c9 ＝﹣(9×1)•(a4•a6)•b2•c9 ＝﹣9a10b2c9． 【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3•(﹣b3)2+(﹣3ab2)3． 【答案】解：﹣(﹣2a)3•(﹣b3)2+(﹣3ab2)3＝8a3b6﹣27a3b6＝﹣19a3b6． 学科网（北京）股份有限公司 $