圆锥曲线中的范围与最值问题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆锥曲线中的范围与最值问题，涵盖向量、斜率、线段长度、面积及坐标截距等五大题型，通过由浅入深的习题编排，构建从基础定义到综合应用的知识链条，形成清晰的学习支架。 资料特色鲜明，突出数学核心素养的融合运用，如“抽象能力”体现在将几何条件转化为代数表达，“逻辑推理”贯穿于第16题椭圆面积最大值的求解过程，“模型意识”在第20题抛物线焦点与圆的位置关系中得以体现。每道题目均设置真实情境，引导学生从现实问题出发建立数学模型，既提升思维严谨性，又增强解题迁移力，助力教师精准施教，促进学生深度学习。

第十八节 专题：圆锥曲线中的范围与最值问题 重点题型专练 【④若+号-1：20 解折：1)稀图：兰+云=6>6>0)的焦距是4，所以焦点华标是 (-2,0),(2,0) ∴由题可得，椭圆E过(2，√瓦)点， ∴.2a=0+2+V(2+2y2+2=4V5 a=2W5,b=2 之稀圆：的方程跳苦片1 (2)由题易得，左焦点F(-2,0,右焦点坐标为(2,0)， 若直线1垂直于x轴，则点M(2,√2)，W(2,-V2) .FM,FV=(4,2)(4,-√2)=14. 若直线1不垂直于x轴，可设1的方程为y=(c-2),设点 M(x,ybW(x2,y2为 将直线1的方程代入椭圆E的方程得到(2k2+1)x2-8k2x+8k2-8=0, 则+- 8k2 FM.FW=(+2,y)(2+2,y) =0+k)x52+2(1-k2)3+x2)+41+22) =282-4=14- 18 2k2+1 2k2+1 18 02P+≤18，-45丽.顾<14， :FM,FW的取值范用是[-4,14 【a号+号1a[学 解析：(1)依题意，点P的轨迹E是以F(1,0以，L,0)为焦点，长轴为 2√5的椭圆， 设8若+长1，则a-e-F-F1 雀连日的程为行 -=1 (2)设直线1方程为y=(x十1) 代入B的方程号+号1，整理得+30+6x+业-6=0 设点M(xy),W(), 可得+x2= 2+35=3-6 62 2+3k2 IW+FV,+x,广-4x:=+R 36k4 432-6) V(2+32 2+3张2 4V62+1 2+3 由lao6有5。 解得2≤1. 因为A(√5,0)，B(V5,0) 所以 AM.丽+AwB=,+5y,}(N5-xy+,+5}(5-xy） =6-2xx2-2yy2=6-2x2-2k2(,+1)62+1） =6-(2+22,-226+5,）22=6+2+2 2+3k2 由已知得6+2+是ó+子十兰-6+是+是之 3 9+ 0≤k2≤1， 6号 3 亚后+西西的影做范国足告丹 【3】(1)x=2:(2)(-7,9) 解析：(1)由已知得F(1,0),则PF=3,所以圆F的方程为 (《-1旷+y2=9, 由-+y=9,得+2-8=0， y2=4x 解得：x=2或x=-4,由于x>0,所以x=2 所以，圆F与抛物线交点的横坐标为2： @设装8的中点为，设任小年小小 则。=公十生，元=”，设线段A8的中垂线的方程为 8 2 y=(x-4(e≠0）， 42--1 则直线A8的斜率= 空空方+方元京，%=2必， 44 y。=k(。-4)k≠0)，x。=2, 则直线4相的方程为-。=长-2小，即0-)上2-x 鱼）2-得-，=2王即广+的+必8=0 △=162-32k2+32=-16k2+32>0,0<k2<2, “片+片=-4，y%=8k2-8 a两住浮-小学*1w +n++1-4啡--4+-81e-729 .☑，F的范围是(-7,9). 【4】)9:(2)详见解析：(3)仅+) 解析：(1)由题意(0，)，C(0,-),焦点F5,0, 当直线M过椭圆的右焦点F时，则直线P“的方程为方+子L,即 +1 {-85 联立 连F,则直线8方片1，即+，-5=0， 点M到直线BF的距离为d=7 75,又 V+( 2 7 BF=2. 故w斗4宁99 77 2)设P(%-2),且m≠0，则直线2ad的斜率为=二=-月 0-m 则直线PM的方程为y=-上x-1, y=-1x-1 联立 m 化每4+是0 4) 4+2=1 814-m2】 解得M- m2+4'm2+4 所以应4二121 4-m2 1-2.-3 m2+4 所以名=是=子为定位 (3):P(m,-2),B(0,1),c(0,-1),P8=(←m,3), .PM=- 似西而-6 m2+4 令m2+4=t>4 故丽亚--4广+15-4+36-+方-81-8+7， t t 因为=t-+7在te(,+网)上单调递增。 所以历亚=号+7八4+7，即西亚的取值范棋为仅）。 【s】+1au哈+ 解析：(1)由题设，若（←√5,0，(5,0）， ∴P+P=4习R=25,即动点P的轨迹是以R,R为焦点，长轴 长为4的椭圆， 动点上的锁达c的方程为学1 (2)由题设，设直线AB:y=x+b,A(y,B(), 小名+点=+拉=-1 联立轨迹C可得：1+4k2)x2+8kbx+462-4=0,则 △=16(1+42-b)>0 += 8kb 1+4k2,52 462-0 1+42 %+%=26,+6(6+x),则2北+6，+2业 51,即 2k=b2-1, 1-b2>-4k2,且b2=2k+120, 2-)>0且k2行，可得行<0或>号 【6】D￥+-1：5o.50a)(@-u+) 解析：(1)由题意得2a=4,得a=2, 又点9在+1止 2 3 吾1解得61 椭圆c的方程为+y=1,焦点(5,0,5.， (2)由题意得直线1的斜率存在且不为0， 设1：y=+2,代入+y2=1,整理符+4+16+12=0 A-0-40+41g=166-0,得>号-0 设46小.6小+场7,7品 ∠ACB为钝角，·cos∠A0B<0,则OA.O丽=xx:+2<0, 又yy2=(x+2)(G,+2)=kxx+2(+x)+4, 西+%=(+k）5,+26,+x)+4 =+(4o 1+42 2>4.② 由①②得2>4，解得k<-2或k>2, ∴.k的取值范围是(-n,-2)U(2,+0): nac+o(竖o) 解析：(1)由题意可知：lM=e,又点P是圆上的点，则|PM=25 且PM=|Pg+lM|,则W+leM=22>2,由椭圆的定义可知， 点Q的轨迹是以MW为焦点的椭圆，其中：a=√5，c=1,b=1, 则点Q的轨达方程c子+1： (2)由已知得：直线！的斜率存在，设直线1的方程为：y=(+m,联立 方程 y=kx+m 消y得：(k2+2x2+2mx+m2-2=0,△=82-8m2+16>0,解 得：m2<k2+2, 设46小小.则+==号 所以kw=名少=色+m包，+m1 11方-1名1石，化简得 (m2-k2）_1 (m+k）6 当m=-k时，直线1的方程为：y=a-:恒过(L0),不符合题意： 当州车中时得m是，直线/的方程为：=太片恒过侣0 11 由8+2即o 121 【8】(1) 43 解析：(1)由题意可知：1PQ1+2F=P=r=4, 由FP的中垂线1交耳P于点Q,则Pr=PQ, ∴P+e=4>日=2， 则点Q的轨迹E为以耳，R为焦点，4为长轴长的椭圆， 即2a=4,2c=2,b2=a2-c2=3, 点2的航迹的方程为：+1： (2)设直线：y=G+m,A(玉y,),B(xy2),将y=G+m代入椭圆方 程，消去y得(3+42)x2+8mx+4m2-12=0, 所以△=(8m)2-4(3+4k2）4m2-12）>0,即m2<4k2+3①， 由根与系数关系得+，侧 6m 片+y,=(,+)+2m=3+4 所以线段AB的中点M的坐标为+4F3十) 4km 3m 又线段8的垂直平分线的方程为了~ 3m -14m-1 由点M在直线”上，得3+=3+4E 即4++3=0，所以m=+到@， 由①②得(4+3 <4k2+3, 9k2 4+30,4+3,所号，即<或 5 所以实数衣的取值范围是-”， 【9】(1)y2=4x:(2)①0：②16 解析：(1)设点P,y),则(-L),由QQF=p.F, 得(x+L,0)(2,-y)=(x-1y)(-2,y),化简得曲线C的方程为y2=4x: (2)由于直线AB不能垂直于y轴，且又过x轴上的定点， 设直线AB的方程为x=m+10m≠0)，则M-1,-2 m 设4》，)，联立方程组长=网+1， y2=4x, 消去x得)户-4心-4=0,4=(4m+16>0,枚8=4m y2=-4 由a=4,恋=4丽，得+1.男+之=40--》 (+1+}0--) 利用对应的纵坐标相等，得方+二=-4，为+之=-名，整理得 3=1-2,=1-2 所似4+4-是产品冬0 m yy m-4 ②因为-+1++1元+ ,所以有 a:西=6+，+0+0，+己0，+ m m =体+1+写++w,+4+6+)三 m' m y+y2=4m, 由上可知： yy2=-4. 因此有5=空2=1+5=，++2=4m+2 16 所以网西产4加48后标+8=6，当且仅当音时 取等号，即当m=1时取等号 因此M园≥☑迈=16 【u01号+12 3 2a=2V2 [a=√2 解析：(1)由题意可得{b=c ,解得b=1,所以椭圆E的方程为 a2=b2+c2 c=1 *1 (2)椭圆E左焦点为(-1,0) 设过椭圆E左焦点的直线为x=y-1(m存在且不为0)， 乏+少=1，则(m2+22-2娜-1=0，设M5）.x(6), x=y-1 则A=++8时+8>0，且男+ -1 -2 所以N的中点为 m） m2+2m2+2 m -2） 因此线段0的垂直平分线为ym+2-mm十2令x=0,则 2的纵坐标为平2，因为与》轴交于负半轴所以m>0,又因为点Q 的级坐标的大做是宁所以平即1加2。 而M=V+mV,+y'-4yy: -4m+2 =V1+ 8mm2+8 (m2+2 m2+2 当m=1时，balL.=5 3 【】(1)=t5(2)[4,64) 解析：(1)因为OC⊥D,且圆O的半径为2，所以点O到直线1的距 离d=2sim=V5 4 55,解得北= 所以 2 少=a+V5 (2)设A()、B(x),由 (4+2）x2+25a-1=0, △=(25+44+2）=16k2+16>0,所以 -2W3k -1 x+5=4+E =4+E 所以A=+Fk,-x=+F.V,+x-4x =V1+k2 -25eP 441+2） 4+2 4+2 4+2 设圆心O到直线1的距离为d= Vh+k2 所2w--2 1+4k2 所以AcD=4 40+）1+4:16+4） 64+4 240 4+21+2 4+2 t+44,则0<+4子所以hl=64-20 1.1 P+4e[4,64). 所以AcD的取值范围为[4,4). 【12】)+y=1:(2)@2] 解析：(1)由已知，有b=1. 又8asa-ob=E1 2 ∴.a-c=√2-1 ,a2=b2+c2 a=V2,c=1. ∴椭圆c的方程为号+y1 (2)①当k=0时，点P即为坐标原点O,点Q即为点F,则 PO =1,FO=2 ∴lPel-I=2. ②当k≠0时，直线1的方程为y=k(c+1).则直线m的方程为 y=k-,即x+-1=0 设M(sy）,W(s) [y=(+1) 联立方程 侣+1消去y特a+2++2--0时 △=8(k2+1)>0. -422 k 小+=1+20+y=6++2)1+2 ,|PQ|为点P到直线m的距离 -2k2 六1P951+2e+1+2-1 3k2+1 Vk2+1 1+2k2)WF+1 又|FQ|为点耳到直线m的距离 2 2 .IPellRF- 20+32) 1+2k2)22+1) 令1+3=t>1),则=- 3 IPe1150 18趾 18 1+20+2)2t+)+5 2x2452 即k≠0时，0P9川FQk2. 综上，可知|PQQ1的取值范围是(0,2] 【13】(1)2=4y:(2)8E 5 解析：(1)设抛物线C的方程为：=2p(p>0),则号=1，解得：p=2, ∴.抛物线C的方程为x2=4y: (2)由题意知：直线AB斜率存在，可设其方程为：y=+1, 由红1消去y整理得：-4物-4=0 x2=4y 设46小.86，{+5 2=-4 k-x=V6,+x)-4x2=42+1 由受解得点刘的损华标为：55 y=x-2 4 8 同理可得点N的横坐标为：”4-玉， 邱w-小588 4-x14-x2 =8√2 -2 82P+1 x,-4+x)+164-3 令4北-3=0)，则k=+3 当>0酰aaw5厚1>2 5 综上所述当=否，即E=音时的最个佰是 5 2 3 2W52w5 解析：(1)依题意，4(-a,0),A(a,0),则3 3 2,解得a2=3, 1+a1-a3 又+年=1，于是得6=2， 所以椭假C的方程为号+ =1 (2)由(1)可得F(L0),显然直线1不垂直于y轴，设其方程为x=y+1 设点M(xy,W(xy), 由，+2=1消去》并整理得2m+3y+-40 x=y+1 -4m -4 则+为2m+3“2+3 于是得 h=+m2.VG+y2-4y,=+m2. 4 =45.m+1 2m2+3' 显然点P的坐标(y) 有：%学3写，+1写写 2m2 3 2 而直线PO方程为：y-yp=-m(x-x), 则P=+m2-x小+m.4m+9 2m2+3 Pg互4m+5m+1+ 网12√m+112 12V √m2+13 当组仅当行，即m行时取“ 所以 MN 的得最小值正 3 解折：》：园e兰+长-60证吾9相西的 2’2 为2， 「23 4a+46=1 2c=2,解得a2=2,b2=1, a1=b2+c2 六精圆c的方程为后+户-1 (2)由题意，设直线AB的方程为y=G+m(亿≠0)，A(s),B(s2y,), 由片整理化简可得+2沙F+4r+2m-20 y=kx+m .4>0,即2k2+1>m2①， 4km 2m2-2 且+61+2证，=1+2亚 2km 二线段A8中点的横坐标61+2亚，纵坐标儿=，+m1+2亚， 将，儿代入直线1方程)=可得，m中@， 2 由02可得，：<号 又k≠0， 1+2 到+F6+广-4=+2品0+28m, m 且原点O到直线AB的距离d= V22+1 8a=h啡= oa9- 2m-m 2 “当m=1时，S4的最大，且最大为臣，此时k=± 2 2 故当北=士5时，的最大值为5 2 【u6】a苦r12)=+2碳-+23 4 解折：1)设稀圆方程为子+卡1，由已知得=1，三-后 a3 又c=6+c,a=3,6=1,即椭圆方程为号+广=1 (2)当直线1的斜率不存在时，显然不成立.可设直线1方程 为：y=a+2, +=消去y整理得，1+322+12+9=0 y=+2 又△=02)2-4×9×0+3k2)=2-1=0得，k=±1， ,直线1方程为：y=x+2或y=-x+2. (3)设M(),N(s), 由(2)40，得1或1，+=部，= 品aw=saw-a小o业.I-.-xd 12}-4 又压-x=1+3 9 1+3=6×, k2-1 9k4+6k2+1 1 6 3 V9e-)+6+24 Γ2， 2-1 又0w99 当k=t ,8,的最大值为3y5 3 【11)菩+号1：2)最大值为3 解析：(1)设点P(c,y) 当x≥6时，P到直线x=6的距离显然小于PF,故不满足题意： 故1x-6=2Vx-)2+y2+2（x<6),即4-x=2W(x-1)2+y2 整用，即兰号 放曲线©的能为子号-1： (2)由题意可知直线1的斜率不为0， 则可设直线1的方程为x=y+1,B(x,),D(sy） 「x=my+1 联立仁+二=1整理得(3+4少+6m-9=0,△>0显然成立 43 6m 9 所以+= 3m2+4,y= 3m2+4 【6m2 3612Vm2+1 所以，+-%+4+m+4 3m2+4 故8+8p44.4k- 3m2+4 设t=Vm2+1,t21,则m2=2-1, 12t12 则8+8严1+ 因为21，所以3+之4（当且仅当=1时，等号成立）， 故9+8=2 53 即S+S2的最大值为3 t 【1w若+51e5 解折：1由题意可得后a+2女=6，解得：a2,6l 所以b=Va2-c2=V3, 所以辅圆日的标准方程为宁+号1， (2)由题意知直线AC的斜率存在且不为0 设直线AC的方程为y=+m(k0),A(),C(), 把y=么+m与号+二=1联立，整理得 43 (3+42)）x2+8mx+4m2-12=0, 由△=6422-4(3+42）4m2-12>0,得m2<4k2+3, 8km 且x+x2= _4m2-12 3+4,=3+4产 所以飞+长+12=立+立+12=(，+m)+西色+m)+12西 不1x, 2 2+2+m+=0, 所以(+12，+m6+5)上2+124r-2）8 3+42 3+40, 整理得：2m2=k+6· 设O为坐标原点，易知四边形ACBD的面积 8=48oe=2,-x26+广-5】 2 64m-46m-123+4】-85x m2B+42-m2) (3+4k2)月 3+42 m2+3+4k2-m2 ≤8V3× -=4V5 3+4k2 当且仅当m2=3+4k2-m2,即2m2=3+4k2时取等号. 将2m2=3+4k2与2m2=k+6联立， 可得 2或 4均满足m<4+3. k=1 3 =-4 所以四边形ACBD面积的最大值为4√5， 解析：(1)设A,B坐标为(G,y)(),由题知直线倾斜角不可能为0， 设直线！方程为：网1，联立得 y2-4y-4=0,△=16m2+16>0, 由韦达定理得 片+32=4m (%为=-4 丽丽=瑞+落 16-4-3. ∴.向量QA,OB的数量积为-3. ②)由①相””历=丽3 代入3+男=4m (-4得 0-=4m0-对=16m-24m2 -y=-4“-=-4 - “(=A+方2在[9a可为增函数 9 16 me 16 225] 4m2e42257 5m[[台 1在，维上裁距古的影高假为[子引后引 【20】(1)y2=4x:(2)存在满足题意正数m,且3-2√2≤m≤3+2√2 解析：(1)设M,Ws2y), 由10得，y广-2m-2p=0,则%+，=2p,由题意 ly'=2px 2p=2×2,p=2, 所以抛物线方程为y2=4x: (2)假设存在满足题意的点P(m,0),显然直线的斜率存在，设直线方程 为y=(G-m), m得=y-m=0,无=0时直线与抛物线没有两个 点， 由△=2m+1,因为m>0,△>0恒成立， 设A(出)B6),则 n y2=-4m 焦点F在以AB为直径的圆内，则函·FB<0,F(L,O), 网丽=6，-1y)区-1y)=G-1,-1)+, -6*1+-产21+ =m2-6m+1-合<0， m2-6m+1<恒成立，因为2>0，所以m2-6m+1≤0，又m>0 所以3-22≤m≤3+2V5. 所以存在满足题意正数m,且3-2√互≤m≤3+2√2 【2】(1)号+y-1.(2)存在，见解析 帮折：保：06华兰-相力程可化为三+子1，与 3 y=x+2联立， 消去y化简得4x2+12x+12-362=0, 又由△=14462-16×12-362)20，解得b2≥1， 此时E+E=2W36≥2W3,当且仅当b=1时，E+E取最小值 25,所以椭圆方程为亏+广1. ②)设直线1的方程为y=+t,代入+少=1，消去y整理得 (1+32)x2+6+32-3=0 ,直线与椭圆交与不同的两点， .△=(6ty2-12(t2-11+32）>0 即2<1+32，设A(x,),B(s2少2】 6kt 32-3 5+=1+30,不1+ -3t 、t 则AB中点O1+3亚1+3亚 t 所以当上*0时，出3汇-1 1+32 化简得1+32=-2t,代入2<1+32得-2<t<0: 又-21431所以1故-2 当k=0时，-1<t<1, 踪上，k*0时，-2<t<2:k=0时，-1<t<1 【22】(1)x2=4y:(2)当0<m<4时，点E纵坐标的最小值为m 16 当m≥4时，点：级坐标的最小值为宁-1 解析：(1)当A,B两点纵坐标相同时，A,B的纵坐标均为 2 由抛物线的定义知AE=2p 因为AB=4,所以p=2, 所以抛物线C的方程为x2=4y。 (2)由题意知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=a+b 联立化消去7并整理得他-想=0， △=16.2+16b=16(k2+b>0 设P(6),(2,则x+x,=4,=4b, |Pg=+FV压，+x-4x:=+k62+16=m, m 所以b= 61+9“,符合4>0， 所以乃+=（石+x2)+2b=4k2+2b m 80+22 所以点三的牧袋标：=学网00+小1 m2 m m 令t=+121,则z=1Q+t-1. m2 当罕1时，即0<m<4时，函数：=G+t-1在[L+网)上单调递增 所议当1，即g-0味(g 当子1，即≥4时函数：石+41在：一受时取得最水小 值，=空-1， 综上所述：当0<m<4时，点E纵坐标的最小值为？：当m≥4时，点 16 E纵坐标的最小值为？-1， 第十八节 专题:圆锥曲线中的范围与最值问题 296 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 向量关系的取值范围 1 【1】已知椭圆的焦距为4,过焦点且垂直于轴的弦长为. （1）求椭圆的方程; （2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点,设椭圆的左焦点为,求的取值范围. 【2】已知是平面上的动点, 且点与、的距离之和为.点的轨迹为曲线. （1）求动点的轨迹的方程; （2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点, 曲线与轴的交点为,当时,求的取值范围. 【3】已知抛物线及点. （1）以抛物线焦点为圆心,为半径作圆,求圆与抛物线交点的横坐标; （2）、是抛物线上不同的两点,且直线与轴不垂直,弦的垂直平分线恰好经过点,求的范围. 【4】如图,已如椭圆:的右焦点为,点,分别是椭圆的上､下顶点,点是直线:上的一个动点（与轴交点除外）,直线交椭圆于另一点. （1）若直线过椭圆的右焦点,求的面积; （2）记直线,的斜率分别为,,求证:为定值. （3）求的取值范围. ▍练题型 斜率关系的取值范围 2 【5】已知双曲线的两个焦点分别为,,动点满足. （1）求动点的轨迹的方程; （2）若轨迹上存在两点,满足（,分别为直线,的斜率）,求直线的斜率的取值范围. 【6】已知椭圆的方程为,左、右焦点分别是,,若椭圆上的点到,的距离和等于. （1）写出椭圆的方程和焦点坐标; （2）直线过定点,且与椭圆交于不同的两点,,若为钝角（为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围. 【7】已知圆,点,P是圆M上一动点,若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q. （1）求点Q的轨迹方程C; （2）若直线l与曲线C交于A,B两点,,直线DA与直线DB的斜率之积为,求直线l斜率的取值范围. 【8】已知圆,,是圆上的一个动点,的中垂线交于点. （1）求点的轨迹的方程; （2）若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围. ▍练题型 线段长度的取值范围 3 【9】如图,已知,直线,是平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且. （1）求动点P的轨迹C的方程; （2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M; ①已知,求的值; ②求的最小值. 【10】已知椭圆的长轴长是,以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点. （1）求椭圆E的方程; （2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线,交椭圆于M,N两点,线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q,若点Q的纵坐标的最大值是,求的最小值; 【11】平面直角坐标系中,直线与椭圆相交于、两点,与圆相交于、两点. （1）若,求实数的值; （2）求的取值范围. 【12】已知椭圆:的左右焦点分别为,左顶点为,离心率为,上顶点,的面积为 （1）求椭圆的方程; （2）设直线:与椭圆相交于不同的两点,是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点,求的取值范围. 【13】已知抛物线的顶点为,焦点. （1）求抛物线的方程; （2）过作直线交抛物线于两点.若直线、分别交直线:于、两点,求的最小值. 【14】已知椭圆C:过点,为椭圆的左右顶点,且直线的斜率的乘积为. （1）求椭圆C的方程; （2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M,N两 点,线段MN的垂直平分线交直线于点P,交直线于点Q,求的最小值. ▍练题型 面积关系的取值范围 4 【15】已知椭圆过点,椭圆的焦距为2. （1）求椭圆的方程; （2）设直线过点,且斜率为,若椭圆上存在两点关于直线对称,为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值. 【16】已知椭圆焦点在轴上,下顶点为,且离心率.直线经过点. （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线与椭圆相切,求直线的方程; （3）若直线与椭圆相交于不同的两点､,求面积的最大值. 【17】在平面直角坐标系中,已知,动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程; （2）已知,过点的动直线与曲线交于,两点,记和的面积分别为和,求的最大值. 【18】已知椭圆:（）的离心率为,且其长轴长与焦距之和为,直线,与椭圆分别交于点,,,,且. （1）求椭圆的标准方程; （2）求四边形面积的最大值. ▍练题型 坐标或截距的取值范围 5 【19】已知抛物线,点是的焦点,为坐标原点,过点的直线与相交于两点. （1）求向量与的数量积; （2）设,若,求在轴上截距的取值范围. 【20】已知抛物线,直线交抛物线C于M、N两点,且线段中点的纵坐标为2. （1）求抛物线C的方程; （2）是否存在正数m,对于过点,且与抛物线C有两个交点A,B,都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 【21】椭圆两焦点分别为、,且离心率; （1）设E是直线与椭圆的一个交点,求取最小值时椭圆的方程; （2）已知,是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A、B,使得点N在线段AB的垂直平分线上,若存在,求出直线l在y轴上截距的范围;若不存在,说明理由. 【22】已知抛物线:的焦点为,过的直线与抛物线交于,两点,当,两点的纵坐标相同时,. （1）求抛物线的方程; （2）若,为上两个动点,,为的中点,求点纵坐标的最小值. $