第17节 专题：过定点与定直线问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十七节 专题：圆锥曲线中过定点定直线问题 重点题型专练 【1】(1)y2=12x(2)H(60),证明见解析 解析：(1)因为已知动圆M与直线x=-2相切，且与圆(6-3)2+y2=1外 切，所以动圆M的圆心到点(3,0)的距离与动圆M的圆心到直线 x=-3的距离相等。 ∴动圆M的圆心的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线。 .曲线C的方程y2=12x (2),直线1与曲线C相交于A,B两点，∴，直线1的斜率不为0. 设A(),B(乃)，直线1的方程为x=少+m 由化消去，得产-1-m0. ,△=144+48m>0,即3+m>0. =,密 OA.OB=-36,.x52+y2=-36 .m2-12m+36=0. .m=6,满足t+m>0. 直线1的方程为y+6=x .直线1过定点H(6,0) 【2】(1)y2=4x ②)过定点？ 解折：()由已知侣)，直线4的方程为7=号 2 y2=2px 联立直线与抛物线 =号消y可得，+公=0，所以 2 x+x。=3p,因为AB卡x4+x。+P=4p=8,所以2p=4, 即抛物线的方程为y2=4x, 2)将收)代入-4可符仔-》 不妨设直线W的方程为x=y+t(m≠0)，M(x,),V(x2,y2) [y2=4x 联立长=m心+：消x得>心=0， 则有片+y2=4my2=-4t,△=162+16t 由题意 4 4 16 4 6*)=-2 x:-4 化简可得，t=}-m, 此时直线y的方程为=n(-)+:,所以直线MN过定点(？ 【3】(1)y2=8x(2)证明见解析，恒过定点(（L,0) 解析：(1)因为△OFA的外接圆与抛物线的准线相切， 所以△OFA的外接圆的圆心到准线的距离等于半径， 因为外接圆的周长为6π，所以圆的半径为3， 又圆心在OF的垂直平分线上，P=号 号+号号3，解得：P=4 所以抛物线C的方程为y2=8x (2)设MW的方程为y=G+b,M(s,),V(2y2), 由”8x6得22+(2-8)x+62=0,4=64-326>0,则他<2 所以5+5=8，华空 B2 22 风购2480=∠A80.所以+比。0 即气也+也=0，化简得2+c+60+)+25=0, x+1x2+1 所拟空++始50，所以6= 所以W的方程为y=(x-1),恒过定点(（L,0). 【4】(1)x2=4y(2)证明见解析 解析：(1)设A(s,y)(22), =号-彻+号0男+邦 [x'=2py 4=为+y2+p=4p=8,p=2,x2=4y: (2)由题得4，斜率一定存在，设 :y=+(m≠0)M(y）N(x,'y). 则OM.0N=0.xx4+yy4=0, 「x2=4y y=k+m →x2-4x-4m=0,x+x4=4,xx4=-4m, x,+yy,=x4+(,+m)(a,+m）=(k2+1,+m(+x)+m2=0 .m2-4m=0,m≠0，.m=4,.1y=+4,恒过点(04) 【6】号+号1：2)定点（仁-.证明见解折 解析：(1)由椭圆定义知，c=√2，a=2, 所以b2=a2-c2=2, 所拟相丽©的标准方程为子+片1： (2)直线1恒过定点(2，-4)，理由如下： 若直线l斜率不存在，则ka+k=0,不合题意. 故可设直线l方程：y=G+m,M(1),V(2y), [y=+m 联立方程组仁+二1代入消元并整理 4+2 得：（2k2+1x2+4mx+2m2-4=0, 4km 2m2-4 则4+5=2严+1,4=22+1 +k=+ 一22，将直线方程代入) 整理得： (,+m),-2)+(临，+m)6-21 (,-2)s2-2) 即26,5(m-2s+」4m。上 x-2(5+x2)+4 2 -2(2k+m）_1 韦达定理代入上式化简得：2+m 因为1不过S点，所以2k+m≠0， 所以2k+m+4=0,即m=-2k-4 所以直线1方程为y=6-2-4,即y+4=(-2), 所以直线1过定点(2,4). 【6】)苦+户1：2)存在，直线过定点〔0》 解析：(1)设椭圆C的焦距为2c,有2c=22,1<c,所以，椭圆的焦 点在x轴上， 得c=反，有。-1=2，得a=6,故椭园c的标准方程为号+y=1: y=k+m 2)由方程组 即+k+2+m2-1=0. a=4-4-=4-m+>0，即02-m+10 设A、B两点的坐标分别为()、(2y), 则5+5=-66m 3(m2-1 1+3论2，x53= 1+32 2m 男+为，=(6+)+2m=1+3欢 2=(a,+m)x,+m)=x,+m(s+x)+m2 143中证+m=张 32(m2-16k2m2 1+3k2 :以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q(0,1),.AQ⊥BQ,即 4.08=0, 即@4@丽=xx+(-1)y-1)=x西，+%-(+)+1 3m-4m3-2”+上54m-2m-20, 1+3k2 1+3k2 化简符2m-m-1=0,m=1或网=分 当m=1时，直线：y=a+1过定点Q(0,1),与已知矛盾 当m=时，满足3P-m+1>0,此时直线1为y=么-过定点 〔0司引直线过定点〔- 1 【7】(1Dy=81 ；(2)见解析 2 8 解析：(1)由条件可知直线1的斜率存在，则 可设直线1的方程为y=(x-4),则P(0,4) 由丽=2，有以-4)=（4-y 所以x=-2 8k ,解得=5，此 8 6 3 在椭圆E内部，所以满足直线！与椭圆相交 故所求直线1方程为y=怎+或y=怎-点 8 2 8 2 (也可联立直线！与椭圆方程，由△>0验证) (2)设A(),B2),则C(-), 直线BC的方程为，+y2x+(-x2)y-(y+xy)=0 由+得0+3r+4x+4-6=0, x2+3y2=6 由△=(242)2-41+3248k2-6)>0, 解每P<兮 +x2二一1+3252-486 1+302 当y=0时， x=出+丛=6+4)+色，+④_2西+46+x」 y+2 (,+x+8) (,+x2+8) 1+3k _2482-6)-96=-3 242 8 2 (1+3+8 故省线恒过定点()】 【8】(1) 苦+片1（2)证明见解析，定点坐标为0) 解折：(1)设椭圆C的标准方程为手+若-e>60。 由已知得 c=5,2a=+=WE-E+1+VN5+j+1=4 所我a=,=-心-2所以椭圆C的标准方程为子+号1。 (2)当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=a+1(便≠0) 任号1特++-20， 由42 y=+1 △=16k2+8(22+1>0 设A(),B(2y),D(-x22),则 x1+,=202+1 2 x2=2k2+x 特殊地当A的坐标为位0)时，：号 所拟如=青=子男号 2 4 即可号司引所以点日关于7轴的对将点为作 ,则直线AD的方 程为y=-x+2. 当直线1的斜率不存在时，直线AD的方程为x=0 如果存在定点2满足条件，则为两直线交点Q(02), =2--1-1-t-1,=当2=-t+ -x2 X: 又因为-。=2让-(+)=2北-5+5=2k-2=0 XX2 所以k=kb,即A,D,2三点共线，故直线AD恒过定点，定点坐标为 (02) 【91a学产1,2：a)直线恒过点侣 ,理由见解答 解析：(1)如图，设圆E的圆心为(x,),半径为r, 由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则IEM=r+3,|EWr-1, 所以|EM1-|EN=4dMN=2√5， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以M,N为焦点、实轴长为4的双曲线 的右支， 又M(-√5,0)，W(5,0) 所以动圆的圆心B的轨迹方程为二-=1，：≥2)， 4 即曲线c的方程为手-少=1，（≥2）。 (2)设直线I的方程为x=w+t, x=my+t 联立 行-=1≥2)消去x得m-奶2+2咖+-4=0 由题意直线与曲线有两个交点，则m2-4≠0， 设A(,),B(2,2),其中x≥2，x2≥2， 由帏达旋定理得：+场器吉 又点P(2,0),所以PA=(x-2,,PB=(x2-2,y,) 因为☑PB=0,所以(-2(x-2)+y2=0 则(y+t-2)(y2+t-2)+y2=(m2+1)y,+(t-2m)0y,+y2)+t-2)2 _m+r-4)-2mt-2m)+t-2ym-④-0， m2-4 即-16+20=0，解得-号e=2舍去)， 当t=10 直线的方程为+号，片 .10 故直线‘恒过点（侣） 【10】(1)35(2)证明见解折 4 解析：(1)由双曲线2：r2-y2=1经过点A(8,√7)，B(4,-), 则有64m-7m=1 16m-a=1,解得m=8 n=1 即双曲线的标准方程为 7gy-1,则a=2E,6=1e=3, 所以高心率后是9，夜B的商心李为返 a224 4 (2)由(1)知2的右焦点为(3,0)，直线1：y=(x-3), 设M(x1,y),W(x2,y2,由点N关于x轴的对称点为点P,则P(2,-) -1-+45-7-8=0 y=k(x-3) 联立x2 由题可知1-8影2≠0，即≠ 且△=4824+41-82)(722+8=320+k2）>0, 48k2 x+x,=8k- 则 x2 则直线2M的直线方程为y-X=+2(-), 由对称性可知，直线PM若过定点，则必在x轴上 令y=0,得 x=男5+5=达+秘 %+y2 片+乃2 (年-3小+6，（压，-326-3北+ k(x-3)+k(x2-3 k(x,+x2)-6 当k0,且护号时。 2.72+8-348 8k2-1 2-1_1442+16-144k2_8 4822 8k216 48k2-(48k2-6)3' 所以直线W过定点（可】 【11】(1)号二1(2)证明见解析 32 解析：(1)因为虚轴长为2b=2√2，所以b=√2 将3-习的坐标代入方程苦后-1，得名1，解得。= 故C的方程为￡-y 321. (2)设A(x1y),B(x2,y2),直线AP的斜率为k,直线BP的斜率为k. 当直线！的斜率不存在时，设：x=t,联立 x=t 一X t-3 t-3 一3 t=3(舍去)， 所以直线1的斜率存在，设直线！的方程为y=+m, 代入C的方程得(2-32)x2-6kmx-3m2-6=0, 则+华 6km 由k,=+26+2习_色+m+2临，+m+2） (-3(2-3xx2-3(x1+x2)+9 x+6m+2s+)+6m+2=1 2-3+x2)+9 3 可得（-号》++2+6+m++1=0, 即(-副++业+0+410， 化简得3m2+6k+8)m-(9k2-4)=0,即(3m-3张+2m+3张+2)=0， 所以m=号或m=--2 当m=-3-2时，直线1的方程为y=-3-2,直线1过点P(3,-2), 与条件矛盾，舍去： 当网一时直线的方程为=么+女子直线！过定点〔1引 3 【12】(1)广-二=16>0)：(2)证明见解析，定点的坐标为4,0) 3 「PE=r 解析：(1)设动圆的圆心P(红，)，半径为r,则由题意可得 P=r+2 即|P-P=2 因为引=4>2，所以点P的轨迹是以耳，耳为焦点的双曲线的右支， 且a=1,c=2, 所以曲线c的方程为-号-1收>0，. 3 (2证明：当直线的斜幸不存在时，0，八R肥-)，，直线 FM:3x+y-3=0经过点A,0). 当直线的斜率存在时，设直线：y=(x-2),E(,,F(2), 直线D+切，当宁时 3y x1+1 y=k(x-2) 行联立3得8-+4-e+)0 42 3护*0，+三 下面证明直线a4经过点e0),即证e=e,5十一 -3y=2 把片=(-2)，乃=(x-2)代入整理得4x2-5(+x2)+4=0 即4)4业440 42 k2-3 所以直线FM经过点(L,0). 【13】（1)号+产1（2)证明见解析，y= 解析：(1)设焦距为2c,依题意，{a2 解得=V2 2a+2c=2万+2， c=1 又a2=b2+c2,所以b2=a2-c2=1, 所以c的方程为号+y-1. (2)设A(),B(x,), [x2 因为之+少=1，所以3对+4m+2m-2=0 (y=x+m △=16nr2-4×3×(2m2-2>0,解得m2<3, 所以+与=号 3 设Q(x,),由00=OA+O8,有(，)=(，+xy+), 即=+5 Uy=+2 因为5+5，=，所以+，=5+5+2m=2四 3 3 故{ ,于是有y=2 1 3 所以点Q在定省线y宁 【14】(1)证明见解析(2)证明见解析 解析：(1)设Mxy),N(2,y2).则PS+五+五 22 白贷两式海代--0甲 xi-xi a 所以kaa=名+出.B-y=片-芝」 xX2-x2 ar=d-1=1 「2b=4, a=2√2， 兰，解得=2所以椭圆c的方程为号+二-1. c=2. 84 a2=b2+c2, 将直线的方程y=G+4代入椭圆C的方程x2+2y2=8,化简整理得 (22+1x2+166+24=0.① 由△=32(2-3小>0，解得k2> 2 由韦达定理符+引② 设M(x,+4),V(x2,62+4) 则直线MB的方程为y=色+6x-2,③ 直线M的方程为y=色+2x+2,④ 52 由③④两式解得 ,24k -16k y=2++3) -16k 4+ =1 3x2- 4,22+1 即y。=1,所以直线BM与直线AW的交点G在定直线y=1上. 【s1若+1：e= .(2)点D在定直线y=3上 2 解析：(1)由椭圆的定义知，M+M=25=2√历，故m=2 所以椭圆c的方程为号+y=1,故a=V反，b=Lc=后-5=1， 2 所以椭圆C的离心率为e==一 (2)若直线{的斜率存在，设直线！的方程为：y=6+2 [y=x+2 则联立{x +y=1可得：+2)+86+6=0， [2 则△=6-242P+)=16-24>0,解得：产>号 -82 6 设4,86)，则+=2+，2+1 由页万可得审子 设D(x。y),由AD=tDB可得：(x。-x。-)=t(52-x。y2-% 即无。-于=，-），即。-x=-不。， 12 则，=2五=22+-3 x+西 -8k-2k 2k2+1 因为点0在直线1上所以元=K+=示+？-宁 所以点D在定直线y=上 若直线1的斜率不存在，过P的直线1与椭圆C交于A、B两点， 4（o0-),顶=(0-)=西=0-)，所以t=号 则而=k%-小丽1 3 所以%-1(1-)，解得：X=行，满足点D在定直线y=行上 ￡+亡1(2)点M在定直线x=-4上 【16】(1)4+8 解析：(1)设椭圆E的方程为x2+ny2=1(m>0,n>0) m+6=1,解得 1 =8 故韩圆：的方程为子+首1。 (2)依题可设直线l的方程为x=y-1,P(,),Q(2y,),M(。) [x=y-1 联立方程组任+号=1整理得m+吵-网-6=0， L48 4m 6 则乃+乃= 2m2+1 yy2=2m2+1 M 直线AP的方程为y= 元+2+2列，直线0的方程为y=为 -26-2, y+ 联立方程组 ,得 - y= =2产-4+2少，+4y-4m出，-6y+2 （x1+2y2-(2-2y 3y+乃2 4m 6 由+2m,得2m1,得2=-3，+)小. 所以5=46，±2.-60+）-6，+2%-129，-4-4. 3y+y2 3y,+ 3y+2 故点M在定直线x=-4上 【1】1)云-y-1(2)证明见解析 解析：(1)设A(x。,0),T的半焦距为c(c>0),则x。>c, 因为A4=5,4A=1, 所化解特合 因为A1AFl=4,所以(3+c)(3-c)=4,即9-c2=4,解得c=√5 则6=F-F1,所以r的方程为苦-广1 (2)由(1)知，点A(3,0),设直线MW的方程为x=少+3，t≠0 [x=y+3 少=1可得-2+6+5=0. 由{x2 则2-4≠0，△=(6)y2-20(t2-4)=16t2+80>0 6t 设M(X)(),则%+y=-4,P-4 5 由题可设E(3,m,F(3,-m)(m≠0) 则直线G的方程为)m号-)， 直线烟的方程为7+会骨一列 联立两方程， 6tm 5t t2-4 解得x=手，即直线，的交点恒在直线x=号上 ,（2)证明见解析 解析：1)由双面线C兰茶1的左、右焦点分别为 F1(-c,0),E(c,0), 直线y=3与C的左、右两支分别交于M,两点，且四边形M瓜EN为 矩形， 所以M风⊥FR,且M=3, 「x2y2 x=-c x=-c 由1，解得 b或{b x=-c =-a a ,则=3，又c2=a2+6,Sw=3×2c=12, a 解得c=2,a=1,b=√3， 所以双确线c的方程为-亏-1， 所以E（-2,0),E(2,0),M(-2,3,W(2,3), 所以R的中点为D0》,又RF+3=5 所我知形近风W的外钱园的方程为+气-引兰 (2)由(1)知A(-1,0),B(1,0), 依题意知直线！的斜率不为零，设直线！为 x=m-3,P(x1y)nQ(x2,y2)(y,≠0)， 电2-芳，得3m--18+24=0 x=my-3 当3m2-1≠0且△=324m2-4×243m2-1=36m2+96>0 18m 24 所似为+为m,w,3 所以，+)=m, 直线4的方程为+切，直线吧的防程为7-刂， x2-1 联立两方程可得所以+少产-)， x+15+1.y=（,-2y=y出-2y2 x-I y x:-1 y(my:-4)myy:-4y1 4 所以+1 *奶 4 解得x= },故点R在定直线x=写上 【19】(1①）-号1(2)证明见解析，直线方程为x=分 解析：(1)由题意得4(-a,0),4(a,0）,E(c,0),E(c,0), 因为4，=34，所以c+a=3(e-a,解得c=2a, 因为N是线段MR的中点，所以M=2wOM=2 因为-wC=1,所以hM|-M=20M-wo=2, 由双曲线定义得2a=2,解得a=1,故c=2,b=V2-a=√5， 故双线8的方程为号1： (2)由(1)可得，(2,0)，A(-1,0),4(L,0) 过E作直线1交双曲线于A,B(A,B与顶点不同)， 故直线AB的斜率不为0，设x=2+m,联立x-上=1 得，(3m2-1y2+12m+9=0, -12m 9 设A(x小Bx2.则%+n,3m- 方+1，直线的：之=-1 直线A4:之=+1 x2-1' 联立直线4与A得=+义，又 2-yz1-y-2 x1=2+y1,x2=2+71y1, 故x=二，2++m+-为2yw-男-3 y(2+m心，)-，(2+m)-y-片 y1-3y2 9 12m -6m 2m为-6+2%23十3m☐2外-3咖21 （y1+y2)-42 -12m 3m214y 器锅 故点Q在定直线x=子上 【20】(1)-二=16k≠D(2)证明见解析 3 解析：(1)设点P的坐标为红，y), 由。=3得本六=3，化简整理得亏切， 所以曲线Γ的方程为-上 =1(x≠±1). (2)若直线！的斜率不存在，则直线！与曲线了只有一个交点，不符合题 意， 所以直线1的斜率存在，设为k,则直线！的方程为y-1=区-1)， 设点M(),N(xy),D(,), [y-1=k(x-1 联立方程组 ,整理得 3 （3-k)x2+(22-2)x-(e2-2k+4=0,易知≠3， △=(22-2k)+43-k2)2-2k+4>0,解得k<2 *0 0 ,解得k<-V5或k>5, 综上k<-√5或√5<k<2, 因为CM=V1+2k-=+(s-), 同理由CMI-I DNHMDI-ICN1得(s,-1(s-x)=(-(-x), 化简整理得2x2-(x+x2)=(,+x2-2)x, 似音-学等小 化筒整理得上=二，代入=1=收-， 化简整理得3x-y-3=0,所以点D在定直线3x-y-3=0上. 4 【21】(1)y2=4x,焦点FL,0):(2)证明见解析， 解析：(1)抛物线C:y2=2x的焦点F号，0)，则直线AB:x=号，由 号得非P y2=2px 依题意，AB=2p=4,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点FL,0)。 (2)由抛物线对称性，不妨令点A在x上方，由(1)知，A(L2),B(1-2), 显然直线！不垂直于坐标轴，设其方程为 x=ty+1(≠0)，M(s,Wx2y),y2<0<y, 由化消去得：产斯4=0，显然 △>0，片+y2=4,y2=-4, 直线的斜率为w=二二名2.4 季1+ 男+26-+2 4 方程为y= 直线v的斜率为m=名名2.4 。-1生-1为-2 4 方程为一2-少-2， 4 y=4 (x-1)+2 片+2 由 - ，消去y得：44 男+2另-2-)=4， 整理得 1 x=1-1 工=1-*2光)=1-2+2，-29-4 02-2)-y+2) 2--4 y+2y2-2 =1-2少2%-8=-1 y-片-4 因此点G的横坐标恒为-1，所以点G在定直线x=-1上 【22】(1)y2=12x(2)点E恒在直线y=3x上. 解析：(1)设A(),B(22). 若直线1的倾斜角为135°，则直线1的方程为y=-x+2 联粒化2得-6+2p+4=0, 则△=(4+2p)2-16=4p2+16p>0, 且x+x2=4+2P,2=4, 所以h2[+s广-4]=25F+4p 因为48=4W30,所以p=6,故C的方程为y2=12x (2)存在，定直线为y=3x. 由题意知直线AB的斜率存在， 设直线1的方程为y=G+2(化≠0)，A(x,y,),B(x22). 联立 2=12,得×+(-12x+4=0 y=6+2, 由k≠04=(W-12-1&:>0,得<号且≠0， 12-4k 4 x+x2= 2 ,不=正 不妨设x1<x,E(。),则0<x,<x。<x2, 过点A,E,B向y轴作垂线，垂足分别为点A,耳，B,如图所示， 母贷会岗兰 因为骨得子受 22-0 整理得2x=,(6+),所以6十片3天 2x2 代入直线1的方程得元=品。+？=。 因为。=3x。,所以点E恒在直线y=3x上 A 3 【23】(1)x=2或x-y-1=0:（2)证明见解析 解析：(1)当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为x=2 与抛物线抛物线C:x2=4y有且只有一个公共点P(2,1),符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为y-1=(x-2) 代入抛物线方程化简得：x2-4+8k-4=0, △=(-4)'-4(8k-4)=0,即k=1,直线方程即为x-y-1=0 因此所求直线方程为x=2或x-y-1=0: (2)证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为1：y-n=(-m), 庙-网，消去整理得-4+4m-小0 因为1与抛物线C相切，所以△=（-4k)-4×1×4(-n)=0, 即k2-m+n=0 又因为飞，飞2是方程-+n=0的两根，则有飞+k=,kk2=n 由（亿，-1）(k2-1)=4,可得kk2-(化，+k2)-3=0,即n-m-3=0 从而动点P(m,n)在直线x-y+3=0上 【24】证明见解析 解析：由题意k≠0，设点 直线AB的方程为x=my+1,直线CD的方程为x=,y+1. 由p=2x =+1得广-2my-2=0, :△=4+8>0恒成立，由韦达定理得片+片=2%，=-2， 同理有y+y=2m,4=-2, 经公为+y 22 .le :y=2 同理可得y=2 w,=-2,为-之，同理=2，-号 2 （2)2 y22) 即y=二 x-2-2@ y,+yy男 整理得2+以x 2y; 男+：（%+：乃+yy1 化简得x=-1,即点9在直线x=-1上 第十七节 专题:圆锥曲线中过定点定直线问题 284 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:圆锥曲线过定点问题处理方法 （1）参数无关法 把直线或者曲线方程中的变量,当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时的参数的系数就要全部为零,这样就得到一个关于,的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。我们也可将方程化简为点斜式方程形式,对于点斜式方程,其过定点,其本质也是参数无关法. （2）特殊到一般法 根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关。 （3）假设法 对于复杂的直线方程,我们可以先假设是否过轴或轴的一个定点,若假设过轴一定点,在直线方程中令,观察是否能解出为定值.若假设过轴一定点,在直线方程中令,观察是否能解出为定值.在圆锥曲线过定点的问题中,有相当一部分定点在坐标轴上,所以此方法能在我们凌乱无从下手的时候,给我们一个方向. ▍知识点2:圆锥曲线过定直线问题处理方法 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法有: （1）设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程; （2）待定系数法:设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数; （3）验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证 ▍练题型 抛物线中直线过定点问题 1 【1】已知动圆M与直线相切,且与圆外切,记动圆M的圆心轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程; （2）若直线l与曲线C相交于A,B两点,且（O为坐标原点）,证明直线l经过定点H,并求出H点的坐标. 【2】已知F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点, . （1）求抛物线的方程: （2）已知为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足,试探究直线MN是否过一定点？若是,求出此定点;若不是,说明理由. 【3】已知抛物线:的焦点为, 为抛物线上一点,为坐标原点,的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为. （1）求抛物线的方程; （2）已知点,设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点,,若,证明直线过定点并写出定点坐标. 【4】（2023·全国）已知抛物线,直线与抛物线相交于两点,弦长. （1）求抛物线的方程; （2）直线与抛物线相交于异于坐标原点的两点,若以为直径的圆过坐标原点,求证:直线恒过定点并求出定点. ▍练题型 椭圆中直线过定点问题 2 【5】已知椭圆上任一点到,的距离之和为4. （1）求椭圆的标准方程; （2）已知点,设直线不经过点,与交于,两点,若直线的斜率与直线的斜率之和为,判断直线是否过定点？若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 【6】已知椭圆,焦距为. （1）求椭圆的标准方程; （2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点）,以为直径的圆过椭圆的上顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 【7】已知椭圆,过的直线与椭圆相交于两点,且与轴相交于点. （1）若,求直线的方程; （2）设关于轴的对称点为,证明:直线过轴上的定点. 【8】（2022·全国高三专题练习）椭圆C的焦点为,,且点在椭圆上.过点的动直线l与椭圆相交于A,B两点,点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）. （1）求椭圆C的标准方程; （2）证明:直线恒过定点,并求出定点坐标. ▍练题型 双曲线中直线过定点问题 3 【9】已知圆:的圆心为,圆:的圆心为,一动圆与圆内切,与圆外切,动圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程: （2）已知点,直线不过点并与曲线交于两点,且,直线是否过定点？若过定点,求出定点坐标:若不过定点,请说明理由, 【10】（23-24·陕西延安高二下期末）已知双曲线经过点. （1）求的离心率; （2）设直线经过的右焦点,且与交于不同的两点,点N关于x轴的对称点为点P,证明:直线过定点. 【11】已知双曲线的虚轴长为,点在上.设直线与交于A,B两点（异于点P）,直线AP与BP的斜率之积为. （1）求的方程; （2）证明:直线的斜率存在,且直线过定点. 【12】（23-24·全国高二期末）已知动圆过点,并且与圆:相外切,设动圆的圆心的轨迹为. （1）求曲线的方程; （2）过点的直线与曲线交于两点,设直线:,点,直线交于点,求证:直线经过定点,并求出该定点的坐标. ▍练题型 椭圆中点过定直线问题 4 【13】已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为,点为上一点, 周长为,其中为坐标原点. （1）求的方程; （2）直线与交于两点,设,试证明点在定直线上,并求出定直线方程. 【14】已知椭圆的离心率为,,分别为的上、下顶点,为坐标原点,直线与交于不同的两点,. （1）设点为线段的中点,证明:直线与直线的斜率之积为定值; （2）若,证明:直线与直线的交点在定直线上. 【15】（23-24·北京海淀高三阶段练习）已知椭圆,、为椭圆的焦点,为椭圆上一点,满足,为坐标原点. （1）求椭圆的方程和离心率. （2）设点,过的直线与椭圆交于、两点,满足,点满足满足,求证:点在定直线上. 【16】（2023·四川资阳模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点,坐标轴为对称轴,左、右顶点分别为,,点在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程. （2）过点的直线l与椭圆E交于P,Q两点（异于点A,B）,记直线AP与直线BQ交于点M,试问点M是否在一条定直线上？若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由. ▍练题型 双曲线中点过定直线问题 5 【17】（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为,左､右顶点分别为,在轴上位于右侧有一点,满足. （1）求的方程; （2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点,以为圆心作圆与直线交于两点,证明:直线的交点恒在直线上. 【18】已知双曲线（,）的左、右焦点分别为,,直线与的左、右两支分别交于,两点,四边形为矩形,且面积为. （1）求四边形的外接圆方程; （2）设,为的左、右顶点,直线过点与交于,两点（异于,）,直线与交于点,证明:点在定直线上. 【19】（23-24高三·河北保定·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点,是该双曲线右支上一点,是线段的中点,分别为双曲线的左、右顶点,. （1）求双曲线的方程; （2）过作直线交双曲线于（与顶点不同）,直线交于,求证:点在定直线上,并求直线方程. 【20】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,动点P满足,设点P的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点D,满足.证明:点D在定直线上. ▍练题型 抛物线中点过定直线问题 6 【21】已知抛物线:的焦点为,过点且与轴垂直的直线交于,两点,且. （1）求抛物线的方程,并写出焦点坐标; （2）过焦点的直线与抛物线交于,两点（异于,两点）,且,位于轴同一侧,直线与直线相交于点,证明:点在定直线上. 【22】已知抛物线,过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时,. （1）求的方程; （2）在线段上取异于点的点,且满足,试问是否存在一条定直线,使得点恒在这条定直线上？若存在,求出该直线;若不存在,请说明理由. 【23】已知抛物线的焦点为,设动点的坐标为. （1）若,求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程; （2）设过动点的两条直线均与相切,且的斜率分别为,满足.证明:动点在一条定直线上. 【24】（2024高三·全国·专题练习）如图所示,已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、,直线、交于点.证明:点在定直线上. $