第16节专题：圆锥曲线中的存在性问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十六节专题：圆锥曲线中的存在性问题 重点题型专练 【】+12)存在：侣定值为 解析： a 3 (1)由题意知 +是-1→ 2 c的方程为兰+号 a=2 =1 a2=b2+c2 (2)设直线AB的方程为x=四+1，A(:,片)，B(2,2), 3r+4=12→3(m+2四++4=12 「x=y+1 6m 9 即(3m+4少产+6w-9=0,所以为+，=3m+4=“3m+4 假设存在这样的M(,0符合题意，则☑=区-t),M店=（在-ty) ☑.西=(-ts-t)+y,=(,+1-t(y,+1-)+ =(m2+1xy+m1-t)0+y,)+-t) =+20-00-旷 =-9m-9-6m+6m2+3m2-6nmt+3nmY+4-8t+4 3m2+4 -12+-8-5,要使其为定值，则，12-8-5，解 3m2+4 3 4 片存侣可消台框意该定做为侣 得 【2】(1)手+三1(2)在x轴上有在定点M手0，使得际面 32 恒为常数这个常数为号 解析：(1)设椭圆℃的标准方程为三 [2a=2√5 由题意可得， 5,解 a=5,所以6=a-心=2，故椭圆C的 c=1 1 La 3 方程为号+二1： 32 (2)由(1)可知，F(-1,0), 假设在x轴上存在一点M(t,0),使得MP.Mg恒为常数 ①当直线1与x轴不垂直时，设其方程为y=(+山)，设 「y=k(+1) 氏，)，Q还，，联立力程组+三】 可得(2+3k2)x2+62x+3k2-6=0, 32-6 所以+5=2+证，2+3球， 故MPM项=（氏-t0x,-)+yy,=6,-tx,-)+是飞，+16，+） =(2+1)x,x2+(2-0,+x2)+2+2 2+1032-6(2-t)6 +2+=6--6+2 2+3 2+3张2 2+3k (2t-X2+3)-(t+ 2+32 3+t2=t2+2t 3 32+3k2 因为MF.M⊙是与k无关的常数， 则有4+9=0，即1=-手，此时证=号 ②当直线1与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为 识时亦有近西号 3 综上所述，在轴上有在定点M0,使得证而恒为常数这个 常数为号 【】)+长=1：2存在1=号a应o丽+威丽为定值 72 7 解析：(1)由已知得6=4且之+是=1，解得a=20, a+6 之方程为号名1 (2)①当直线1的斜率存在时，设直线1为y=k(x-2)代入G 得：(4+52)x2-20k2x+20k2-80=0 20k2 △>0，+4+50 20k2-80 4+5k2 =华-6+手 tOM.ON+FM.FN =t(y)(2y2)+(s-2,)(2-2,y2) =t(2+yy2)+x2-2(+x2)+4+y2 -64+202-80-220 =t202。+t4+5+44522 4+5k2 4+52+4+-64 4+5k -(44+64)2-(80+64) 52+4 若O哑，O丽+应，丽为定值故+64_8+6，解得t=弓，定值 4 为号 ②当直线：斜率不有街，2 所以 -)丽--，05） oMo丽=4g4,mm=g=月 当=子时，+成丽=-号 7 综上所述，存在常数t=号，使得00丽+丽为定值- 【4】1+号1：(2)存在，点G40). 82 G+6+y互 解析：(1)设点Px,y),则 1x+4 3 故动点P的锁迹口的标准方程为云+片1 (2)设直线1的方程为x=y-4 x=y-4 联立方程组任+二=1得心+4-的+8=0， 8+2 △=642-32(t2+4)=32t2-128=32(2-4)>0,得：t>2或t<-2 8 %+y,F+4,+4 设E(区，0)，F(x,0),定点G存在，其坐标为(。，0) B2,-1),k=-2,w=之1 9-2 用awy+w会+ 令y=0,求出与x轴的交点E,F +小-105+异+小10+2 2+1 B正=(s+2,),BF=(s+2,),GF=(4-,0),GE=(s-x,0) 8丽.GF+G2BF=0即有：(G+2x,-x)+6+25,-x)=0, 即2xx1+2(x+x)-(,+x4+4)x。=0 x=25+26,+) x+x4+4 元=25+26++4)-8-25-8+2 5+x4+4 x3+x4+4 =25+2,+2,+4)-5-4,-16+2 x3+x1+4 =2s+2,+2)-465+5++2 x3+x4+4 =26,+2+2)-2 (3+2)+(x4+2) 2-2.y-2 y+1y2+1 2(,-2)y-2) 出2+丝-2 ,-20,+9+6,-26+92 -2= +1y2+1 2[y,-2%+y)+4] 20%+t-20y+乃)-4 -2 2448 8 -16t2 2=44+8 8t2 -4 *44 -8+32-2=-4即x,=-4 42-16 当直线1与x轴重合时， BE.GF+GE.BF=(-2N2+2)(2√2-x)+(-2V2-x。)(2√2+2)=0， 解得x。=-4.所以存在定点G,G的坐标为(-4,0). 【5】(1)号+二1：(2)存在定值=立 82 e=5 a 2 fa2=8, 解析：(1)由题意知 2云+万=1解得6=2 a2=b2+c2 所以椭圆c的方程是号+号=1 82 (2)由(1)知A(2,),设P(,()将=+m代入 舌+号1，程：4+8贴m+4-8=0 8km 4m2-8 所以+五=中4证，=+4把】 且△=642m2-41+4k2)(4m2-8)>0,解得82+2-m2>0. k,=五-×上=1色+m-1,+m-) x-2x1-2（x-2)(x2-2) 产x2+(m-+x)+(m-1月 2-2(+x2)+4 +-明e6a- (m-1-4k2 8km】 4m2-4+16m+1624 即4-1+n比+=0恒酸立所0解得=-子 4k2-1=0, 所以存在定值上=片，使当加变化时，站=子总成立 【6】(1)x2-上 1:2)存在，4= 3 解新折：1)：C的渐近线为y=,会-5 c=Va2+b2=2,a=l,b=V3, 所以双曲线℃的标准方程x-于1。 (2)由已知，A（1,0),B(1,0),M(,)N(x2,2), 1过点F(2,0)与右支交于两点，则1斜率不为零 设1=+2，由号1，消元得m-护2m+g-0 x=my+2 3m2-1≠0 因为！与双曲线右支交于两点，所以 9 w,3m0 解特meEE 33 △=(12m)}-4×93m2-1)=36m2+1>0, 12m 9 %+3m-,3m 0 ,飞-(s,--(,+-y心2+y 飞(6-1为(+3my,+3列 法罗智哪%=+小， 2 9 ++% 3 3 0+)+3%%+ 存在=使得=北 【1)号+号1：2指在o 解析：(1)由题知，A(-a,0),F(-c,0),B(0,b), 所以|F8=e2+b2=aA=a-c, 由FB=2AF可，得a=2(a-c),则a=2c,① 又mba-e)69,又6r+o,@ 2 由038，解得=26=店c1,所以桶图c的方程为子+号-1 (2)由(1)知，F(-L,0),设P(,0),直线1的方程为x=m-1, 「x=y-1 联立三+二-1得3m+4少-6-9=0,0， 4+3 6m 9 设M6小()，所以+%=3m+4X=3m+4, 又kw=火w= x-f x:+t 所以w+北w=产+名=6-t- x+tx2-t(s,-t52-) 因为(52-)+%(51-t)=,+-(%+”2】 =(m,-+y,(y-)-t(+y) =2myy2-(（1+ty,+2) 18m 6m 6(4+)m m+4++4=3+4 要使kw+km=0,只需(4+t)m=0恒成立，因为m∈R, 所以t=-4,即点P(4,0)满足条件. 【10于号1，@4=3 解折：（因为高心字为片所以e台片又k小3，所以a+6=3, 解得a=2,c1,又=-6，所以8=3.所以方程为于+号 (2)由(1)知F(L,0),A(-2,0),设直线PW的方程为 x=m四+1，PG),) 因为M与P关于原点对称，所以M(-x,) 所以=戈 若存在玉，使得么热恒成立所以产。中。 x2+2 所以(x2+2)=2y,(s-2) 两边同乘得y(x,+2)=yy(玉-2) 又因为P(6,)在椭圆上，所以+兰=1 3 所以=引6-2+山 4 所以32-2+山(6，+2列=，6-2) 4 当≠2时，则2++2= 所以-3x2x1-6(x2+x)-12=42y2,①： 当x=2时，M与A重合， x=y+1 联立方程{x2y2 1消元得(3+4p2+6m-9=0,所以 43 -9 y八，=3m2+4 -6m 3m2+4 8 x2+x,=m(2+)+2 3m+4=m+m(,+3)+1=412 3nm2+4 代入①得-12+36m2 -48 -9 +3m412=43m产4，整理得-108=-362， 解得1=3 【o1a6+若1：a)802 解折：1①)由题盘，铜c子+若1的离心半为 ,可得二=巨 2 即a=ic, 又由点G是椭圆上一点，△GRF的周长为4W3+26,可得 2a+2c=4W3+2W6, 即2√2c+2c=4V5+2W6,解得c=√6，所以a=2W3,b2=a2-c2=6, 所以椭圆的标准方程为舌+二1。 126 (2)设My),W2y2),且R(0,6) 假设存在这样的点S(0,),使得∠RSM+∠RSV=π， 当直线1的斜率存在时，设1：y=a+6 「y=+6 联立方程组二+三=1整理得（心+2r+126+24=0, 126 -12k 可得5+2+24224=142-96+2)=48(-40>0 24 因为∠RM+∠RV=a,可得e+地=0，即+上=0， 整理得x2-t)+x3-)=x,(,+6-)+x,(,+6-t) +6-+0张头g+6-0路品g0-0 因为k≠0，所以t=2,即点S(0,2): 当斜率不存在是，此时直线！的方程为x=0,直线！过点S(0,2) 综上可得，在y轴上存在定点S(0,2),使得∠RSM+∠RSW=π总成立. 【uo1a)号+=2：2)存在侣) 解析：(1)设M(x,y), 由题意可得如如右2点北到) y2 化简可得聋+少产=)，故曲线c的方程为号+y=≠均 (2)设P6北>0y>0),且千+=1（学到，① y tm∠PaA=2-,m∠BAB= x+2' 因为∠PBA=2∠PAB,所以tamn∠PBA=tam2∠PAB, y y三 即2 22 ,化简可得3x2+4x-y2-4=0,② 1-少 x+2 12 由@②可得，13x2+16x-20=0,解得x号或x-2(舍），此时2 以第一象限内曲线C上存在点侣号使得∠PaA=2P 【1营 -=1:(2)存在，(0,4) 解析：(1)设F(c,0),e,0),由△RPR的垂心为H(6,-2), 得RH⊥PR, 2 所以kgH·ks= 1一=1，则6-c2=2,解得c2=4, -c-66-c 所以a2-b2=4, 由点6)在椭圆c上得+京=1，解得a=86=4 故圆c的方程为专+片1 (2)假设存在定点E满足题意，其坐标为(O,m) 易蜘知直线的方程为y=+1,代入亏+于1 消去y,得(1+22)x2+4-6=0,4=64k2+24>0, 4北 6 设M人则+=1+20= 1+2k2 所以e+e=当-m+当-m_年+1-m+色+1-m X =2k+0-mX2+)=2k+a-m+ X1 X2 4k =+0-=+-=+, 6 3 1+22 由已知得+=20+二”)=0对任意的：恒成立， 3 所以1+一”=0，解得m=4,此时点8的坐标为0,4). 3 所以存在定点E满足题意，其坐标为(0,4). 【12】1)-号=1：(2)存在，=2 3 解析：(1)离心率e=三=2c=2a, a 又6=c2-a2=32双曲线方程c:- a=1. 把点4(2到列代入双曲线方程每，亭是=L解得。1 故双曲线C的方程为：x2-上 (2)由(1)知：双曲线方程c: B(a,0),F(-2a,0) D当直线AF的斜率不存在时，则∠AFB=90F=3a,A=。=3a ∠ABF=45°，此时月=2. ②当直线AF的斜率存在时，设∠AFB=a,∠ABF=B,A(oy),其中 x。<-a,。>0 因为e=2,故c=2a,b=√5a,故渐近线方程为：y=±√5x, 3 2y。 所以tan2B= x。-a -2(。-a) y。 (。-a)- x。-a -2y(x。-a)】 -2(。-a) -旷-如得可 （。-a-3(-a2 -2y。 y。 (。-a)-3i。+ax。+2a .'tand=tan28 又a0eog}a=0 综上：存在常数A=2满足：∠AFB=2∠ABF 【13】)千+号1：(2)存在点z(,o,使得pg,且0st< 43 解析：（1)根据题意，由离心率为片，得 a 2 由当P是C的上顶点时，△Pg的面积为V5,得，2cb=bc=5, a 2 a=2 联立{bc=√3 解得b=5,故椭圆c的标准方程为号+二=1 a2=b2+c2 e=1 43 (2)根据题意，知(1,0)，设直线PF2:y=k(x-) 片+子=1得4+3k-8+4-12=0, y=k(-1) 设P(1),Q(x22),则 8k2 +西+3男+%=6+5)2业= -6元 42+3 设M为2的中点，则M+34+3 4k2-3k 当k=0时，若r=F,易得t=0: 当k0时若p-g,则w10,得w=亡， 。可所花是。 -3k -3k 422 1 即=42+34+ 由4+层4，得0号 综上所述，0≤t<片故存在点r6o),使得-p@,且0st<号 【】a兰+号1：2)存在号0 解析：(1)由题意可知，a=2,且b=c,又因为a2=b2+c2,解得 6=6=5,所以椭圆c的方程为父+二1： 42 (2)因为M是P9的中点，故 AMPo: AM2-MP2=(M+(AM-）=AP.A0, 4 由题意可知，直线P吧的斜率不为0，设PQ:x=m+t(meR,t∈(-2,2) x2y2 与椭圆C的方程联立， 4+之1，消去，整理得 x =my+t (m2+2y2+2ty+2-4=0, m+2,-4 设P6y,）,g+y,=-2t 2+2 因为A(2,0),所以 AP=(氏-2y)=(m,+t-2,y）,40=(,+t-2,), AP.AO=(my,+t-2)(my,+t-2)+yy =(m2+1y%2+m(t-2y+)+t-2月 将天*=器代入试用 2mt APA0--2-2） nm2+2 若对任意m后R,示0为定值，则t=2或t=号 因为e(-2),所以t=号，此时4M-回-更=0 4 【15】(1)c-3)2+y2=1:(2)存在，M(2,0) 解析：(1)抛物线下的焦点为F(2,0),则圆心M为3,0) 故圆M的方程为(c-3)2+y2=1, (2)假设存在定点M(m,0)(m>0)满足题意，设直线：x-m=少， y2=8x 联立-m=消去，得少产--8m=0, 设4小、D6),则+%8影 [Ly:=-8m 1 IMAI IMBI -m+-m)+++1 =+l 以-y,l=V0,+%广-4yV642+32m P+1y2+1y,2+1yy, V2+1.8m 当且仅当64=32m,即m=2时，函+五为定值， 1 1 故存在M(2,0),使得A+M8为定值 【61①兰+号1：e存实数= a 2 解折：1)由题意可得仔2之6=2 a2=b2+c2 解得a2=462=2.e2=2.故椭圆C的标准方程为+上-1： 4 2 (2)如图，由()可知（√2,0￡(V5,0): 当直线！的斜率不存在时， h名1.， 4FBR 当直线！的斜率存在时，设其斜率为， 则直线1的方程为y=(x+V2),A()B(,) y=k(x+V2） 整理得(2k2+1x2+4√2k2x+42-4=0, 4W2k2 4k2-4 则+62,2P+1 从k哥 故+时a-Fr+4-小 由题意可得4=VE++B到=V+:+, 4+外+56+5)产斗 2k2+1 42+4 A+8_22+L2 因为A+=‖aR,所以=AB2产+ 2k2+1 综上，存在实数t=2,使得AF+BF=tAB恒成立， 【1】1)千+号1(2)y=5-165 43 3 21 解析：(1)解：设椭圆E的右焦点F(c,O), 则直线A8的方程：x+上=1，直线CF的方程：三-上=1， a b c b x+义=1 联立a6 p=ag则o-g」 解得 atc 后÷1 a+c'a+c a+c 由1BD=21DA|,则BD=2DA, 、则，2ac2bc)=2(d2，-2+。）,则a=2c, a+c a+c 由|AB=√a2+b2=√万，a2=b2+c2,解得：c=1,a=2,b=V3 ~精圆日的标准方程为子+号1 (2)解：假设存在满足条件的直线MW 由垂心的性质可得BF⊥MW,又飞=-√3从而得到直线I的斜率 k=5,设1的方程为y=5 +m,M(x,),W2,y), =5+m 联立 3 ,整理得：13x2+8V3mx+12(m2-3)=0, =1 由△=85m-4×13×12m3-到>0，解得：-V9< +83m 6=120m2-3) 13 13 由MF⊥BV,则而8N=0,即(1-xx,-y0,-5)=0, 整理得心2-√3%+x2-x,=0, +m为-5+m 将 代入化简每5+5m-X++-5m0. 3. m-g)音m-5m+m-5m=0, .16(2-3)-8(m2-V3m)+13(m2-V5m)=0, 提取公因式(m-√3)，可得[16(m+√3)-8m+13m](m-B)=0, 即(21m+16V3(m-V3)=0,由B(0,√3)，则m≠√3， 解得m=-165,满足-<m<丽 21 3 3 m的值165，直线1的方程y=5-165 21 3x-21 【18】(1)y2=4x:(2)存在满足题意正数m,且3-2√2≤m≤3+2√2 解析：(1)设MyWx2y), 6 得，y2-2py-2p=0,则片+2=2p,由题意 2p=2×2,p=2,所以抛物线方程为y2=4x: (2)假设存在满足题意的点P(m,0),显然直线的斜率存在，设直线方程 为y=(x-m), 由-网 y2=4x 得，》-y-m=0,k=0时直线与抛物线没有两个交 点，由△=2m+1,因为m>0,△>0恒成立， 4 设A6,B,),则书+为= y2=-4m 焦点F在以AB为直径的圆内，则FA,西<0，F(L0), 网.丽=(6，-1(，-1y,)=6-,-)+ =华-6+1+亡对-2+2)1+ =m-6m+1-专<0 m-6m+1<告恒成立，因为>0，所以m-6例+1≤0，又m>0 所以3-2√2≤m≤3+2√5.所以存在满足题意正数m,且 3-2√5≤m≤3+2√5 【19】()号-y=1.(2)存在，直线1为2x+y+3=0或 2x-16y+3=0, 解析：(1)由题设，c=√5，又A(2√2,1)在双曲线上， a2+b2=5 「a2=4 “双鞋线C的方程为子-少1。 (2)由(1)知：B(0,1),设直线1为y=x+),M(,),Wy), 联立双曲线方程可得：1-4k2)x2-12k2x-(9k2+4)=0,由题设 1-42≠0 A>0 12k2 92+4 3k 六+场1护=1-，则另+为=6，++列1 要使△BMW构成以∠MBN为顶角的等腰三角形，则IBMHBNI, 6k2 3 ·W的中点坐标为-420-4， 3k 上.20-82+3-2 6k2 122二，可得k=三或k=-2 1-42 .存在直线！为2x+y+3=0或2x-16y+3=0,使△BW构成以 ∠MBW为顶角的等腰三角形. 【0】(①后+后1@不#在证明见解折 解析：(1)向量a=(x-2,y),b=(x+2y), 园+=V-2'+y2++2+y2=8, 表示到M(x,y)到两个定点(-2,0)和(2,0)的距离之和为定值8，故轨迹 为椭圆. c=2,a=4,故6=25，故轨迹为：+ =1 1612 (2)假设直线存在， 当直线斜率不存在时，O,A,B三点共线，不满足： 「y=G+2 当直线斜率存在时，设直线方程为y=:+2,则x2少2 (6*2=1 故(4k2+3)x2+166-32=0,△=256k2+128(4k2+3)>0恒成立， 16k x+=-42+3 OP=OA+OB,故四边形QAPB为平行四边形 32 西=4+3 四边形QAPB为矩形，故OA⊥OB 即a.0丽=()(s)=x+(6+2(a,+2)=0, 带入化简得到：(1+，+2(+x)+4=0, 即+2(40 整理：12k2+5=0,方程无解，假设不成立，故不存在。 【21】(1)双曲线的渐近线方程为y=±V5x,它们所夹的锐角为牙(2) 存在，k=1或k=士团 9 解析：(1)由题意，令x-上=0一y=士5x,所以双曲线的渐近线方程 3 为y=5x,易得它们所夹的锐角为了 (2右焦点F的坐标为20行0】 设M(y)W(x2),联立 =w+2得(3-少2+36-2-0 o+9-0化简每<日或宁且t± [3k2-1≠0， 3 3k 9 所以片+= -3阿又1P子，所以三角形0N面 积8PF业为1PFy+广-4%33三4 2 2 4 3k2-1432-1 即e三V5 432-18 =1或北=t ,满足题意，所以存在飞=1或 9 :=±写使得82成立 又 【22】(1)x2=2y(≠±2)：(2)存在，=4. 解折：D设小由4(2小，得知品号w x-2 。w器号以 整理得：x2=2y(x≠士2). (2)存在常数=4，使Som=S。a.证明如下： 由题意，直线！的斜率存在，且过点(0,2)， 设直线1的方程为y=在+2，P(x,x),(), 联仁得-站40 由韦达定理得，x,+x,=2k,xx2=4 1s,-x2卡V+x)}'-4x,=V4k2+16=22+4 所以S.oe= 21-62+4 直线OP的方程为y=上x,取y=-1,得x4=-玉 直线00的方程为冬，取)1，得受 X: (6,+2)-x(,+2) 气+2，+2 - k2xx2+2(6,+x)+4 4+4-+4 4 88am子1w-小4 2 .Saoe=4Saca.故存在常数=4，使Saoe=2S2a N M X y=I 等+y-1:(2)存在y=正+西或压压 【23】(1) 301 15 30 15 解析：(1)因为a=2,二=5，且c+6=d,解得b=1, a 2 所以椭圆C的方程为兰+y广=1. 4 (2)由题意可知直线的斜率存在，设直线1：y=:+2k 居+-1消y化简可得6+产+1x+1o-4=0. y=+2k 设A(AyA),B(区Bya) -16k2 16k2-4 故+1+护1+胶 所以y生所以 -8k2 -8k22k 1+41+4 1 1 所以lwy=4花， 1 =-4k 解得心 所以pMf-16,o=4+4 1+4k2 (1+4k2, 由∠MPA=∠OPB,A=B斗，且Se=3S.oa, 即urs∠MPA=3pl∠oPa, 即Mr=3lor, 所pp4,即prf_p 16 162 1 所以中护+1+=16 4(16k2+1 （1+4） 解得k=士正 30 所以直线1的方程为y=压+反或y=正-店 30 15 30 15 【24】(1)3:(2)存在，P(0±22) 解折：0>由已知将50.-引 A(-3.0) 则直线AP的方程为y=气+3)，直线QF的方程为x=1, 联立直线4P和直线QF的方程解料个9) 易知直线F的方程为y=-刂，与椭圆C的方程号+苓1联立 98 消法得7--18=0，则+兰-号又号所 9 所以、 a✉16x是-3. S: 4b小316 (2)假设存在点P(m,n),使得2S,=5S,, 则片+女10 98 由(1D知m-1,直线4P的方程为y=年+)，直线2：的方程为 y=-,联立直线AP,直线Q5的方程解得加(2m+3,2. 因为28=58，且三= S:yx ,M,N分别位于x轴两侧，故可得 w=-.因为P,F,N三点共线，则 PFm,P丽=1-m,-n),m=(-lyw),所以1-m)w=-n(w-, 即0-小6-小解释号 又点在c上故将到小到运 联立①②，解得m=0,n=±22， 所以存在点P0,±25)，使得2码=58. 第十六节 专题:圆锥曲线中的存在性问题 272 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 向量关系 1 【1】已知椭圆C:的离心率为,且是C上一点. （1）求椭圆C的方程; （2）过右焦点作直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在点M,使为定值？若存在,求出点M的坐标及该定值;若不存在,试说明理由. 【2】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴,长轴长为,离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）经过椭圆的左焦点作直线,且直线交椭圆于,两点,问轴上是否存在一点,使得为常数,若存在,求出坐标及该常数,若不存在,说明理由. 【3】已知椭圆过, 两点,直线交椭圆于,两点. （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线过点,是否存在常数,使得为定值,若存在,求的值及定值;若不存在,请说明理由. 【4】已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为. （1）求动点的轨迹的标准方程; （2）过点的直线l交于M,N两点,已知点,直线BM,BN分别交x轴于点E,F.在x轴上是否存在一点G,使？若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由. ▍练题型 斜率关系 2 【5】已知椭圆:（）的离心率为,且过点. （1）求椭圆的方程; （2）直线:与椭圆交于,两点（不同于点）,记直线,的斜率分别为,,试判断是否存在定值,使当变化时总成立？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【6】已知双曲线与有相同的渐近线,点为的右焦点,为的左,右顶点. （1）求双曲线的标准方程; （2）若直线过点交双曲线的右支于两点,设直线斜率分别为,是否存在实数入使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【7】已知椭圆的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若, . （1）求椭圆C的方程; （2）过点F且斜率不为0的直线l交椭圆C于M,N两点,在x轴上是否存在点P,使出？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【8】已知椭圆的离心率为,左顶点为A,右焦点F,.过F且斜率存在的直线交椭圆于P,N两点,P关于原点的对称点为M. （1）求椭圆C的方程; （2）设直线,的斜率分别为,,是否存在常数,使得恒成立？若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由. ▍练题型 角度关系 3 【9】已知椭圆的上、下焦点分别为,离心率为,点是椭圆上一点,的周长为. （1）求椭圆的方程; （2）过点的动直线交于两点,轴上是否存在定点,使得总成立？若存在,求出定点;若不存在,请说明理由. 【10】已知点,,动点满足直线和的斜率之积为,记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由. 【11】已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且的垂心为. （1）求椭圆的方程; （2）过点的直线（斜率为）交椭圆于,两点,在轴上是否存在定点,使得射线平分？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【12】已知双曲线的离心率为,点为上位于第二象限的动点, （1）若点的坐标为,求双曲线的方程; （2）设分别为双曲线的右顶点､左焦点,是否存在常数,使得如果存在,请求出的值;如果不存在,请说明理由. ▍练题型 线段关系 4 【13】已知椭圆C:的左、右焦点分别为,离心率为,P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时,△的面积为. （1）求椭圆C的标准方程; （2）设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q,是否存在点,使得?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由. 【14】已知椭圆的右顶点为,且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点且与轴不重合的直线与椭圆交于,两点. （1）求椭圆的方程; （2）设的中点为,试判断是否存在实数,使得为定值.若存在,求出的值,并求出该定值;若不存在,请说明理由. 【15】已知抛物线的焦点为,半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上,过圆心的动直线与抛物线交于、两点,如图所示. （1）若圆经过抛物线的焦点,且圆心位于焦点的右侧,求圆的方程; （2）是否存在定点,使得为定值,若存在,试求出该定点的坐标,若不存在,则说明理由. 【16】已知是椭圆的左、右焦点,动点在椭圆上,面积最大值为,离心率 （1）求椭圆的标准方程; （2）若过点的直线与椭圆交于两点,问:是否存在实数,使得恒成立.如果存在.求出的值.如果不存在,说明理由. ▍练题型 几何关系 5 【17】已知椭E:的右顶点为A,右焦点为F,上､下顶点分别为B,C,,直线CF交线段AB于点D,且. （1）求椭圆E的标准方程; （2）是否存在直线l,使得l交E于M,N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由. 【18】已知抛物线,直线交抛物线C于M、N两点,且线段中点的纵坐标为2. （1）求抛物线C的方程; （2）是否存在正数m,对于过点,且与抛物线C有两个交点A,B,都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 【19】已知双曲线过点,焦距为,. （1）求双曲线C的方程; （2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M,N两点,使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在,求出所有直线l的方程;若不存在,请说明理由. 【20】设动点的坐标为（、）,向量,,且. （1）求动点的轨迹的方程; （2）过点作直线与曲线交于、两点,若（为坐标原点）,是否存在直线,使得四边形为矩形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由. ▍练题型 面积关系 6 【21】设直线与双曲线交于M,N两个不同的点,F为右焦点. （1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角; （2）当时,设直线与C交于M,N,三角形面积为S,判断:是否存在k使得成立？若存在求出k的值,否则说明理由. 【22】已知点,,直线,交于,且它们的斜率满足:. （1）求点的轨迹的方程; （2）设过点的直线交曲线于,两点,直线与分别交直线于点,,是否存在常数,使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 【23】已知椭圆C:的左顶点为离心率,过点A的直线与椭圆交于点B. （1）求椭圆C的方程; （2）设AB的中点为,射线与椭圆交于点,是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在,求直线的方程,若不存在,请说明理由. 【24】已知椭圆:的左、右顶点分别是,,右焦点为,点是椭圆上一动点（异于,）,点与点关于原点对称,分别连接,并延长交于点,连接并延长交椭圆于点,记的面积与的面积分别为,. （1）当的坐标为时,求的值. （2）是否存在点使得？若存在,求出点的坐标:若不存在,请说明理由. $