上海市某校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

26届交大附中高三第一学期开学数学试卷2025.9 上海市交大附中高三数学测试卷 2025.9 一、填空题 1.已知集合A={x-2<x<2},B={-2,01,2},则4nB= 2.函数∫(r)=1og,(x-3x+2)的单调递增区间为 3.已知函数y=(冈在x=6处的导数了(3，)=-1，则m色+2A- 小0 △x 4.已知a∈2，-人号山2,3，若幂函数)=x”为奇函数，且在(0，+∞)上递减，则a= =0,则实数a的取值范围是 6.已知sima= 则cos2a= 7.在△ABC中，AC=7,BC=4,点D满足AD=2DB,CD=V9,则BD=一 8.直线3x+2y-4=0的倾斜角为 9.若(3x-√展开式系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为 10.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的 概率是一· L已5、B是双战r等千-10>0,6>0的左右点，1是r的一条新运线，以5为网心的丽 与1相切于P.若双曲线「的离心率为5，则sin∠PFF=」 12.己知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4},值域A={5,6,7},则函数y=f(x)为增函数的概率是 二、单选题 13.在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个项点，M,N,为所在棱的中点，则在这四个正方体 中，直线AB与平面NQ不平行的是() B M D B 14.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛， 决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所 在列选手的概率 丙 丁 甲 0.3 03 0.8 0.7 0.6 0.4 丙 07 0.4 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ) A.0.21 B.0.15 C.0.105 D.0.045 15.已知两个等差数列{a}与{bJ的前n项和分别为An和Bn,且 刀+3，则使料子为整数的正整 4_7n+45 b. 数n的个数是 A.2 B.3 c.5 D.4 [og,(1-x)x<1 16.已知f(x)= 任-2+2之1则方程+2=aaeR的头数个五不可能为( A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 三、解答题 17.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为DC的中点，沿E将云AED甜折数堂面 角D-AE-B为直二面角. (1)求证：AD⊥BE: (2)求DE与平面ABCE所成角的大小： (3)求二面角D-EC-B的正切值 18.如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间1的函数表达式为y=Asin(+p)+b, p∈[-不，π]，己知摩天轮的半径为50m,其中心点0距地面60m,摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀 速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处 (1)根据条件具体写出y(m)关于1(mn)的函数表达式： (2)在摩天轮转动一图内，点P有多长时间距离地面超过85m? 19.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包 降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完。 (1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N) 的函数解析式： (2)蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表： 日需求量n 28 29 30 31 32 33 频数 3 6 6 7 假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差： (3)蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10 天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？ 并给出理由， 0已知a数C答-@>06>0)过点4，且离心*为月 (1)求C的方程： (2)设斜率为k的直线1与C交于点M,N,若坐标原点O到I的距离为1，求∠MON的值： (3)若P,Q是C上异于点A的两点，且AP,AQ的斜率之和为1，证明：直线PQ过定点 2孔.已知椭圆G:之+式 +3=1(@b>0)的上焦点为F(O,),左顶点为A,P1,产+力>0)是抛物线 G:式+A上一点，直线1与地物线G相切于点P。 (1)若椭圆C的离心率为5，求椭圆C的方程： (2)设b=2,直线/与椭圆C,相交于M,N两点，且线段N,P中点的横坐标相等，求h的最小值： (3)设1=4，抛物线C,的准线与椭圆C相交于y轴右侧的点Q；若1同时也是椭圆C在点Q处的切线， 求a的所有可能值 参考答案 一、填空题 1因为A={x-2<x<2,B={-2,0,1,2} 所以A∩B={0,1}. 故答案为：{0,1} 2.函数的定义域为x2-3x+2>0, 即为{x|x>2或x<1}, 令1=x2-3x+2, 则原函数为y=g', 因为y=1og!'在(0，+0)单调递减。 1=x2-3x+2在(-0,1)单调递减，在(2，+o)单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为(-”，). 故答案为：（-o,1) 3.lim f+2-/-2m+2-f.26)=-2. △r 2△x 故答案为：-2 4因为器函数)=P在0，+网)上进减，所以口=-2，-山-号 又幂函数f(x)=x“为奇函数，所以&=-1. 故答案为：-1 5.由题意9二k1,所以3a2+2a-1>0, 2a 所以a>亏或a<-1. 故答案为：a>二或a<-1 3 6a-手则a1-2a1-2=1-器- … 故答案为： > 25 7.设BD=x,则AD=2x, 在△ADC中，由余弦定理可知：cos∠4DC=4r+19-49 22x19 在aBDC中，由余弦定理可知：cos∠BDC=r+19-16 2x√19 因为∠ADC+∠BDC=π， 所以cos∠ADC+cos∠BDC=0=4r+19-49+2+19-16 0→x=2, 2.2x.192.x.19 x=-2含去， 故答案为：2 8由直线3x+2y-4=0化为斜截式可得：y一2x+2, 所以该直线的斜率为k=一2 3 3 设直线3x+2y-4=0的倾斜角为a,则k=tana=- 21 即a=π-arctan。, 2 3 故答案为：元一arctan乞 9.由题意，(3-1)”=32，解得n=5, 则（3r-F的展开式的通项为：工=Cg6xr-Fy=-y3.Cx宁，=0，L2,5 使5--3，解特r=4 则展开式中含x项的系数为(-1).3.C=15. 故答案为：15. 10.根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件的总数为C。=252, 又由这5个数的中位数是5的基本事件为CC:=60, 所以这5个不同的数的中位数为5的概率为 605 25221 故答案为：2 L设双面线r苦卡-10>06>0角一条新延线：0. be 则F(c,0)到直线：br-ay=0的距离为- =b, bi+a 因为以F为圆心的圆与1相切于点P,PF⊥1，所以PF=b, 又因为双曲线r的离心率为5，所以=5，则c=5a,b=√2a, 2a6 在Rt△PFO中，cos∠PF,E=2= c3a 3 在aPR,R,cos∠Ps5-6.+4e-PF-14-PR 3 4bc 4W6a2 解得：PF2=6a2, 由余弦定理可得：cos∠PF5=PE+462-82巨 2P℉·2c 3 所以sa∠PFR--o☑Pr5-号 故答案为： 1 12.若函数y=f(x)的定义域为{L,2,3,4},值域为{5,6,7}， 则不同的函数的个数为CD=36, 其中增函数共有3个： (1)f()=f(2)=5,f3)=6,f(4)=7: (2)f)=5,f(2)=f3)=6,f(4)=7: (3)f)=5,f(2)=6,f(3)=f(4)=7: 故所求概半为362 31 故答柴为：立 二、单选题 13.A选项： 如图所示，出中位线性质可知AB/OQ,且OQ∩平面NQ=Q,则AB与平面NQ不平行，A选项满 足题意： B选项：由正方体结构特征，易得ABMQ,结合线面平行的判定定理，知B不满足题意： C选项，由正方体结构特征，易得ABMQ,结合线面平行的判定定理，知C不满足题意： D选项，由正方体结构特征，易得ABNQ,结合线面平行的判定定理，知D不满足题意 故选：A 14.分析表中数据，可得： 甲、乙比赛甲获胜的概幸是0.3： 丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5： 甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3 根据相互独立事件的概率乘法公式，甲得冠军、丙得亚军的概率为：0.3×0.5×0.3=0.045 故选：D 15.数列{a}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足 4_7n+45 ,则 Bn+好 (a1+a2n-） 20= 2 4ml_14+38_72n+2+24=7+24=7+12 b2b n(+bim) B21 2n+2 2n+2 2n+2n+1 2 所以验证知，当=1,2,3,5,11时， 马为整数.故选C. [og;(1-x)x<1 16.因为f(x)= -(x-22+2x≥1 当x21时∫(x)=-(x-2)+2,则f(x)在[1,2]上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 又f()=f3)=1,f(2)=2,f2+2)=0, 当x<0时f(x)=log,(1-x= [-log,(1-x),0<x<1 1og,(1-x),x≤0 所以∫(x)在(0,1)上单调递增，在(-0,0]上单调递减， 且f(o)=0, )2.-24刘-2.f}-1.4-1 log;(1-x)x<1 作出∫(x)= 的图象，如图所示： -(x-2)}'+2 令g(x)=x+-2,由对勾函数的性质可知g(x)在(0,1)，（-1,0)上单调递减， 在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，且g(1)=0,g(-1)=-4,则g(x)的图象如下所示： 0当a>2时，令x+-2=6<-24或3头<x+-2=公 25 则关于x的方程x+上-2=x有两个实数解，关于x的方程x+】-2=名的方程也有两个实数解。 1° 即此时对应x的个数为4，（以下处理方法类似）： ②当0=2时，令r+上-2=-24或r+1-2=24或x+」-2=2，此时对应x的个数为6： 25 ③当1<a<2时， 令-24<r+-2=5<4或<x+-2=元< 或1<x+2-=%<2政2<+-2气<3. 24 此时对应x的个数为8： ④当a=1时，x+上-2=4或x+-2=或x+上-2=1或x+上-2=3，此时对应x的个数为7： 5 ®当0<a<1时，4<x+-2=<0或0<x+-2=:<号或3<r+-2=6<2+反，此时对 4 r 应x的个数为4： ©当0=0时，x+1-2=0或x+上-2=2+5，此时对应x的个数为3： ⑦当a<0时，x+-2=x。>2+V反，此时对应x的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个 故选：A 三、解答题 17.(1)在矩形ABCD中，因为AB=4,BC=2,E为DC中点 故可得AD=DE=2,在R1△ADE中，由勾股定理可得：AE=√AD+DE=2V反： 同理，在RIABCE中，可得：EB=2√互， 故在△AEB中，满足AE+BE=AB=16,故可得：BE⊥AE: 又二面角D-AE-B为直二面角，且面ADEO面AEB=AE, 又BEC面AEB,AE⊥BE,故可得BE⊥面AED: 又ADC面AED,故可得BE⊥AD (2)取AE中点为M,连接DM,如下图所示： 0