上海市建平中学2025-2026学年高三上学期9月练习数学试卷

建平中学高三数学练习试卷 2025.09 一.填空题 1.已知全集U=(0,+0),A=[2,+0),则A=」 2.若a=(0,2),6=(3,5),则a.6= 3.设i为虚数单位，若z=1-3i,则z+3= 4.已知等比数列{an}的首项a,与公比q相等，若a3=16,则a。= 5.函数y=sinx在x=T处的切线斜率为 6.设实数a>0,圆C:x2+y2-4x+y=0的面积为12π，则a= 7.未来工作室加工50000个零件.若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000 个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、 0.75,从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 8.在(x-1)”的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数= 9.在正七棱锥P-ABCDEFG中，直线I过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点.当 1与直线PA所成角为最小值时，则满足条件的I的条数为 10.设f(x)=log.(bx+2)(a>0且a≠1，b≠0).若对任意x>0,f(4x-l)=f(x-1)+3 均成立，则当f(x)>3时，x的取值范围为 11.如图，ABCD是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边 均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池：早先花圃的AC对角 已建有一径水泥步道AEGCHF.已知花圃长、宽AB、AD分别 为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘EG、FH 各与两汪喷泉池边缘相切.今欲在花圃的BD对角仿照现存步 道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米 (精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损) 12.已知首项a=2,对任意正整数n,存在不超过n的正整数i,使得an1=a,a,存在 {an}满足2-2≤a,+42+…+ao≤2*，则满足要求的正整数k的个数为 二.单选题 13.设a∈R,则下列选项中正确的是() A.a+2≥22 B.(←a}2+(2 a c.-4-22-25 D.(←a+(3s-22 a a 14.有5张相同的卡片，分别标有数字1、2、3、4、5，从中有放回地随机取两次，每次取 1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，A,表示事件“第一次取出的卡 片上的数字为奇数”，A,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，A,表示事件“两 次取出的卡片上的数字之和为7”，则() A.A与A为对立事件 B.A与A,为相互独立事件 C.A,与A为相互独立事件 D.A,与A为互斥事件 15.设f(x)=sinx,f2(x)=cos(x+p).若对任意t∈R,均存在i∈{L,2},使得函数 y=(x)在，1+]是单调函数，则p的取值可能是() A.4红 3π 7 B. C.2r D. 7 16在平面直角坐标系0中，记R=)后+若=小，Q=《号若-时 设点A,∈P,点Bn∈O,给出如下结论： ①任意，b>0,存在A、4…、A,…,对任意正整数n,OA·OAn为大于零的常数. ②任意a,b>0,存在B、B、B。,对任意正整数n,OB。·OBn为大于零的常数. 下列选项中，判断正确的是() A.命题①成立，命题②成立 B.命题①成立，命题②不成立 C.命题①不成立，命题②成立 D.命题①不成立，命题②不成立 三.解答题 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M是棱AB的中点， PM⊥平面ABCD. (1)求证：PB⊥BC: (2)若PC=2CD,求直线PA与平面PBD所成角的大小. 18.设a≥0，a、beR.己知函数f=-2ar-3的定文域为D,且D=[b.b+川. ax-1 (1)若函数y=f(x)是偶函数，求a、b的值： (2)设b=1,若对任意的x∈D,均有f(x)≥0，求a的取值范围. 19.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了 部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60, 60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第一组的频数的平方为第 二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题. 4频率组距 0.040---- a 0.016- 0.008…-十- O5060708090100成绩（分） (1)若根据这次成绩，学校准备淘汰70%的同学，仅保留30%的同学进入下一轮竞赛， 请问晋级分数线划为多少合理？（四舍五入精确到1分） (2)从样本数据在80≤x<90,90≤x≤100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽 取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率： (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数：x、x2、x3、、x。,己知这 10个分数的平均数x=90.方差s2=25,若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8 个分数的平均数与方差. 20.在平面直角坐标系x0中，已知椭圆r:云+号=1的左右焦点分别为F、B, 43 A是第一象限Γ上一点，直线AF与y轴交于点P,设点Q的坐标为(O,). (1)求椭圆「的离心率： (2)设t>0.若点Q在直线AF,上，且△APQ与△POF的面积相等，求F到直线AF 的距离： (3)设直线AE与「的另一个交点为B.若使得(F,A+E,B)⊥(QP+QE,)的直线AE恰 有2条，求1的取值范围。 21.对于定义域为R的函数y=f(x),存在导函数y=f'(x).设a∈R,定义 T。={xlf(x)-f(a)≥f"(a)x-a}. (1)设f(x)=x2,求T: (2)设f(x)=x-x,若函数y=f(x)在x=x处的切线经过(-1,0)(x。>-1),求x的 值并求出集合T: (3)若T。=(-0,0U{I且0∈T,求T. 参考答案 一.填空题 1.(0,2) 2.10 3.5 4.256 5月 6.4V2 7.0.89 8.6 9.6 10.(L,+00) 11.429.82 12.2 二.选择题 13.B 14.B 15.D 16.B 三.解答题 17.()见解析：(2)arcsin759 69 【解析】(I)PM⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PM⊥BC: 因为底面ABCD是正方形，故AB⊥BC 而ABOPM=M,AB,PMC平面PAB,故BC⊥平面PAB. 又因为PBc平面PAB,因此PB⊥BC (2)思路一：取CD的中点H,连接MH,由(1)中结论易知PM、AB、MH两两垂直. 以M为原点，以MA、MH、MP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设BC=CD=2a,则PC=4a,根据PB⊥BC,可知PB=2N3a,BM=a; 易知PM⊥AB,故PM=V1a,即P(0,0,V11a),A(a,0,0),B(-a,0,0),D(a,2a,0) 则PA=(a,0,-ia),PB=(-a,0,-a),PD=(a,2a,-1a) 设平面BD的一个法向量为m=(x,y,z), PB.m=-ar-√11az=0 则 PD.m=ax+2ay-1laz =0 取=，则m=(,-,-) 设直线PA与平面PBD所成角为B, 可知sin0 Hcos上卡1Pi.mL。 11√759 PA V69 69 综上所述：直线PA与平面PBD的所成角为aresin759 69 思路二：设BC=CD=2a,则PC=4a,根据PB⊥BC,可PB23B型2 而PM⊥AB,M是棱AB中点，故PA=PB=23a,进而PM=√PA-AM2=√11a 由于BC⊥平面PAB,BC/IAD,故AD⊥平面PAB,又PAC平面PAB,故AD⊥PA. 在Rt△PAD中，可知PD=√PA2+AD2=4a, 又BD=2√2a,在APBD中由余弦定理知cosS∠PBD=PB+BD-PD= 2PB·BD 2W6 故APBD的面积为PB-PDsin∠PBD-x25ax22a×-24 =23a 2 设A平面PBD的距离为d,根据'，-ABD='APsD, 可知d= SAMB·PM ×2a×2a×V11a 2 SAPBD 23a √23 设直线PA与平面PBD所成角为B,可知sinO= dV759 PA 69 综上所述：直线PA与平面PBD的所成角为arcsin√75 69 18.(1)a0, ( 11 42 【解析】(1)思路一：由函数y=f(x)是偶函数，a20,可知-b=b+1,解得b= 1 -a-3 1 +a-3 同时」 则4 4 解得a=0, 201 一， 20~1 此时f(x)=-x2+3,对任意x∈D,显然有f(x)=f(-x). 综上所述：a=0,b=一2 1 思路二：由函数y=fx)是偶函数，a≥0，可知-b=b+1,解得b=- 2 且对任意x∈D,有f)=-,即-2ar-3-2+2ax-3 ax-1 -ax-1 化简得2ax2-10ar=0恒成立，所以a=0. 综上所述a=06-片 (2)根据ax-1≠0，a≥0，且D=[L,2],则0≤a<或a>1. 2 情况1：当0≤a<二时，对任意x∈D,ax-1<0, 2 故要使得/20，只需r-2ar-3<0.即a≥-3，设g国=-3 2x 2xx∈，2]， 厕8')2十6>0故y三8网是2上的严格增函数 。1 1 故只需a≥g2)=4解得a之4’则≤a<金 4 2 情况2：当a>1时，对任意xeD,ax-1>0,故要使得f(x)≥0，只需x2-2ax-320. 即x2-3,设g(x)=2x,x∈021， 2x ◆频率组距 由情况1可知，y=g(x)是[1,2]上的严格增函数， 0.040外----- 只需a≤g)=-l,即a≤-1，与a>1无交集，舍去. 0.016 综上所述，a的取值范围是 4'2 05060708090100成绩（分 19.(1)76分：(2) 8 15 ；(3)平均数89.5，方差21 【解析】(1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以0.162=0.08×10a,解得a=0.032, 又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004,所以a=0.032,b=0.004, 成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48， 落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88， 设第70百分位数为m,则(m-70)×0.04=0.7-0.48,解得m=75.5≈76， 所以晋级分数线划76较为合理. (2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a、b、c、d和A, B则所有的抽样有：2={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,aC,ad,bc,bd,cd,共15 个样本点，A="抽到的两位同学来自不同小组”，则 A={a,b,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd},共8个样本点，所以P0= 15 (3)因为x=90,所以x+x2+.+x0=10×90=900, 所以产-+写++)-0=5，所以听+写++品=81250. 剔除其中的98和86两个分数，设剩余8个数为x,x2,x,, 平均数与标准差分别为x,S。,则剩余8个分数的平均数： 元=+5+5++-900-98-86=89.5 8 8 方差：号-+后+…+)-8952=81250-982-86)-89.52=21. 【解析】(1)根据题意：a=2,b=√3，故c=1. 离心率e=后 (2)由△APQ与△OPF面积相等，可知△AFF,与△OFQ面积相等， 即时F,O%:根据比例可知A是Q5的中点 而F1,0), 故分)在格圆r上，代入解得1一35 2 故直线AE的方程为3V5x+2y-35=0,F(-1,0)因此E到直线AE的距离为 6v5 7 (3)设直线1的表达式为x=my-1,A(x,),B(x2,y2) 13 由于A在第一象限，故m∈ 联立 x=my-1 ,+00 3x2+4y2=12' 得(3m2+4)y2-6my-9=0.故y+y2= 6m 8 3m2+4x+为= 3m2+4 取AB,PE,的中点G,H,即2FG-FA+FB,20丽=QP+O瓦，故只需FGQ丽=0. 代入化简得3m2+6tm+5=0 即f(m)=3m2+6m+5在 上有两个不相等的零点 63 1 21.【答案】(1)T=R:(2)名=2 三=[-l,+oo):(31个号o,0扉9 【解析】(1)对f(x)=x2求导有f"(x)=2x,所以f)=L,f①)=2， 因此T={xfx)-f02f"Ix-)}={xx2-1≥2x-)}, 求解不等式x2-1≥2(x-1)有(x-1)2≥0， 由于该式对于任意x∈R均成立，所以T=R, (2)对fx)=x3-x求导有f(x)=3x2-1, 则在x=x处的切线方程为y=(3x2-1)(x-x)+x3-x, 将点(-1,0)代入方程可得(3x6-1)(-1-x)+x6-x=0, 解得x= 或无=-1，由于%>1，所以%月 因此工=了=)-付x》=x-+2》 将不等式化荷得：2-子+之0，化商得（G+2x-广≥0。 解得x2-1,所以T1=[-1,+oo). (3)先证明：f")=f"(0),设g(x)=f(x)-f"(0)x-f(0), 则{x|g(x)≥0}={x|f(x)-f(0)≥f"(0)x}=T,=(-o,0]U, 所以y=g(x)在(0，+o)上的最大值为g(I), 进而g'四="四-∫'0)=0，因此f)=f'(0). 再证明：f1)-f(0)=f'(0) 根据0∈T和1∈T。,分别推出f(0)-f)≥-f'1)和f(I)-f(0)≥∫'(0)， 由不等式性质可得，f')=f)-f(0)=f'(0),即f(0)=f)-f"). 由于y=f(x)在x=0和x=1处的切线为f(x)=f"(O)x+f(O)和 f(x)=f'I)x-f')+f(I), 所以y=f(x)在x=0和x=1处的切线重合. 因此，T=T。=(-0,0U{.