圆锥曲线中的定值问题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十五节 专题:圆锥曲线中的定值问题 259 学科网（北京）股份有限公司 ▍练题型 距离为定值问题 1 【1】已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率为,过的直线与椭圆交于,两点,且的周长为8. （1）求椭圆的方程; （2）若一条直线与椭圆分别交于,两点,且,试问点到直线的距离是否为定值,证明你的结论. 【2】在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,当在圆上运动时,线段上有一点,使得, （1）求的轨迹的方程; （2）若直线与椭圆相交于,两点,且以为直径的圆经过原点,求证:点到直线的距离为定值. ▍练题型 向量关系为定值问题 2 【3】设抛物线,为的焦点,过的直线与交于两点. （1）设的斜率为,求的值; （2）求证:为定值. 【4】已知双曲线,点坐标为,过的直线交双曲线于点. （1）若直线又过的左焦点,求的值; （2）若点的坐标为,求证:为定值. 【5】已知椭圆E:（）的焦点为,,且点在E上. （1）求E的方程; （2）已知过定点的动直线l交E于A,B两点,线段的中点为N,若为定值,试求m的值. 【6】已知椭圆:（）上的点到的两焦点的距离之和为6,的离心率为. （1）求的标准方程; （2）设坐标原点为,点在上,点满足,且直线,的斜率之积为,证明:为定值. ▍练题型 斜率关系为定值问题 3 【7】已知椭圆经过点,离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q. （1）求椭圆C的方程; （2）试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论. 【8】已知椭圆:（）的左右焦点分别为,焦距为2,且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴,与椭圆有两个不同的交点,,线段的中点为. （1）点在椭圆上,求的取值范围; （2）证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值; 【9】椭圆:过点,离心率为,其左、右焦点分别为,,且过焦点的直线交椭圆于,. （1）求椭圆的方程; （2）若点的坐标为,设直线与直线的斜率分别为,,试证明:. 【10】在平面直角坐标系中,椭圆与双曲线有相同的焦点,点是椭圆上一点,且的面积等于. （1）求椭圆的方程; （2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线,若两条切线都存在斜率,求证:两切线斜率之积为定值. 【11】已知椭圆的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程; （2）已知点,在椭圆上,点、是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由. 【12】如图所示,椭圆的离心率为,其右准线方程为,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点A、B作斜率分别为、,直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M,N（其中M在x轴上方,N在x轴下方）. （1）求椭圆C的方程; （2）若直线MN恒过椭圆的左焦点,求证:为定值. ▍练题型 角度关系为定值问题 4 【13】已知椭圆中心为原点,离心率,焦点. （1）求椭圆的标准方程; （2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在点,使得当变动时,总有？说明理由. 【14】已知双曲线的方程. （1）求点到双曲线C上点的距离的最小值; （2）已知圆的切线（直线的斜率存在）与双曲线C交于A,B两点,那么∠AOB是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由. ▍练题型 面积关系为定值问题 5 【15】已知椭圆:离心率为,点在椭圆上,点坐标,直线:交椭圆于、两点,且. （1）求椭圆的方程; （2）求的面积. 【16】已知椭圆.离心率为,点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程; （2）若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于,试探求的面积是否为定值,并说明理由. 【17】已知椭圆:的离心率为,点在椭圆上,为坐标原点. （1）求椭圆的方程; （2）已知点为椭圆上的三点,若四边形为平行四边形,证明:四边形的面积为定值,并求该定值. 【18】已知椭圆的左焦点F在直线上,且. （1）求椭圆的方程; （2）直线与椭圆交于A、C两点,线段的中点为M,射线与椭圆交于点P,点O为的重心,探求面积S是否为定值,若是,则求出这个值;若不是,则求S的取值范围. ▍练题型 线段关系为定值问题 6 【19】如图,过抛物线的焦点F任作直线l,与抛物线交于A,B两点,AB与x轴不垂直,且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点. （1）若求AB所在的直线方程; （2）求证:为定值. 【20】已知椭圆E:过点,离心率为. （1）求椭圆方程; （2）已知不过原点的直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为,直线分别与轴相交于点,求的值. 【21】已知椭圆E:的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程; （2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:. 【22】已知椭圆的离心率,为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程; （2）已知为椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆（异于椭圆顶点）于、两点,试判断是否为定值？若是,求出该定值;若不是,说明理由. ▍练题型 系数关系为定值问题 7 【23】已知椭圆C:（）的离心率为,短轴一个端点到右焦点F的距离为. （1）求椭圆C的标准方程; （2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点,交y轴于P点,设,,试判断是否为定值？请说明理由. 【24】已知直线与圆相切,动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和. （1）求动点的轨迹的方程; （2）过点的直线交轨迹于不同两点、,交轴于点,已知,,试问是否等于定值,并说明理由. 【25】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点,直线的倾斜角为60°,原点到直线的距离是. （1）求的方程; （2）过上任一点作直线,分别交于,（异于的两点）,且,,探究是否为定值？若是,求出定值;若不是,请说明理由. 【26】已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B,且直线PA交轴于M,直线PB交轴于N. （1）求抛物线C的方程; （2）求直线的斜率的取值范围; （3）设O为原点,,求证: 为定值. $第十五节专题：圆锥曲线中的定值问题 重点题型专练 【1】(1)号+号=1：(2)为定值，证明见解析。 43 解析：(1)由题意，aMW的周长为8，可得4a=8,解得a=2, 由锅圆离心率一客宁解程=3 所以椭圆c的方程二+二1. 431 (2)由题意，当直线AB的斜率不存在时， 此时不妨设A(o),8(x) 又A,B两点在椭圆C上至+三=1,6=号， 43 “点0到直线48的距离d=片= _22面 7 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=G+m [y=+m 设A6,),(),联立方程{+立= 43 消去y得(3+42）x2+8x+4m2-12=0. 由已知△>0，x,+x2= 344,5=4m2 8km 3+4k2 由0A上OB,则OA.O丽=x,+,=0,即x,+(+m(6,+m)=0, 整理得：（化2+1xx2+m(,+x,)+m2=0 (仁+是理证m0,整理得7=1代+.满足 4>0. ·点O到直线A8的距离d: 2工为定值 +:√7 7 综上可知，点0到直线A8的距离d=2为定值 7 【2】（)于+=1：2)证明见解折 x。=x 解析：(1)设M(x,y),P(。),由题意可得，x,2+2=3, 3 则 儿优，代入+=3，整军得号+y1 即所求以的锁迹的方程为号+，广1： (2)设直线AB的方程为y=么+m,A(),B(必)， 因为以AB为直径的圆经过原点0，所以∠408=子，则 OA.OB=xx+y=0 即，+(a+m(a,+m）)=0,即1+k2）+m(+x)+m=0: 产仔+户1消去)得+6+则3，整理特 「y=a+m 联立x2 (1+32）x2+6mx+3m2-3=0 +x=- 6.771 则 1+3k2 △=36k2m2-121+32）m2-1)>0,即m2<1+3张2 32-3 5+,=1+3 所以+）3m-3 -km.6km +m=0,整理得4m-3-3 -=0,则 1+32 1+32 1+3k2 m2=3+3 ,满足m2<1+3张2 又点O到直线A8的距离为+交 m2 3+32 3-V3 V1+k2 40+k2)V4=2 为定值 【3】(1)5:(2)证明见解析. 解析：(1)依题意得F(10), 所以直线1的方程为y=2(x-1). 设直线1与抛物线的交点为A(:),B(x·), 82410 所以x1+x2=3,x2=1. 所以A=AF+BF=x,+x,+p=3+2=5. (2)证明：设直线1的方程为x=+1, 直线1与抛物线的交点为A(:),B(:), 由程广-的40， 所以片+=4靴，=-4. 因为OA.O丽=()（片）=x5+%=(+1(,+1)+ =2%2+(y,+另)+1+32=42+42+1-4=-3. 所以OA·OB为定值. 【4】(1)8:(2)证明见解析 解折：1)由双曲线c-号1可得a1,6-5,所以 c=√a2+b2=1+2=√5， 所以F(√5,0)，设A(),B() 5w=5-。=1,所以直线的方程为y=x+厅， 0-(5) 由名我之得30 所以x+x2=25,=-5, l+可++可矿+=2k+5s+5列 =2x,+5(s+x)+3=2×5+5x25+38. (2)由题意知直线1的斜率存在，不妨设直线1：y=:+5 化：聘-水+w肠+50 所以 25k =++5:6+小2 -电+己。证总总所以孤西装为能做 4"2-221616 16 Γ2 解折：1)由题意可知2如-中+子4，a=2,前：1 六62=2-e2=3,椭圆8的方程为三+之。 (2)①若直线1的斜率不存在，易得O4.O8-OM.OW=-3, ②若直线！的斜率存在，设其方程为y=+m,A(,B(), [y=kx+m (4k2+3x2+8mx+4m2-12=0, -8m 4m2-12 且+=4+3，，=42+3 OA.0B-OMNym. 2 =+(低+m6,+m)空低，+m+:+加） =2++m+,)+m-受+x)m =++学+)+智受 =-1222+4m2-2.-342+3）+4m2-3 42+3 4k2+3 -344m23 42+3 要使上式为常数必须且只需4m-3=0,即m=±5，此时易知A>0 2 恒成立，且.o西-OM.O=-3,符合愿意综上所述，m=±5 【6】)号+1：2)证期见解折 解析：(1)因为椭圆C:二+是=1（a>b>。)上的点M到C的两焦 点的距离之和为6，所以2a=6,解得a=3, 又c的离心率为25，所以三=25，c=25 3 又c=。2-6,所以6=1，所以c的标准方程为号+=1： (2)法一：设M(,),当直线MW的斜率不存在时，V(,-y), 因为线0，w的*之积为兮所冬子片即对听 又，N在椭圆号+2-1上，所以矿-}，对-分 因为OP=OM+0,所以+o丽=(O-oa+(O+oM月 =O+0M-20w.OM+O+0M+20N.0M =网+)=4+=4侣+-0 当直线MW的斜率存在时，设直线N的方程为y=a+m(m≠0)， y=+m, 联立方程得x +yL消去，得+9)+186m+9m-9=0, △=(18mm)-41+9k2）(9m2-9）=36(9k2-m2+1）>0, 位冰小烟票配 因为直线Q以，QV的斜半之积为号 所以名立=低+m+-k+如飞+)+m =-I X1 X2 2 1 9 -18k2m2 即k2+1+92+m2 9m2-9 g得2m-9g=1,满足△>0。 1+9k2 因为OP=OM+OW 所以MN+OF=(Ow-OM+(Ow+oMj =ON+OM-2ON.OM +ON+OM+2ON.OM =2+网)=25+++对)=4+(+) 49[6+- =4+l16-18m2_29m-9j7 =4+ 16(-18m29m2-9)7 91+9k2 1+9k2 92m2 2m2 =4+16×9=20.综上，2+OP为定值 9 法二：设，小，飞，).因为直线O,Qv的斜幸之积为-号 所以兰么=即华=% 下，Xz 因为M2X.在椭圆c:号+y广产=1上 所以x2+9y=9,x+9=9, 可得x2-9=-9y片①， x-9=-9②， 由①×②得(-9(-9）=81，所以(-9(-9）=x,即 x+x好=9. 由①+②得x-9+x-9=-9y+),得+=1 因为OP=OM+OW, 所以+OP=(Om-oM)+(Ow+O =ON'+OM'-2ON.OM+ON+OM+2ON.OM =d+ =2(x7+y+x+好】 =2×(9+1)=20,因此M矿+O为定值. 【7】1)二+士=1(2)见解析 63 解标：)由超设符子+日=1@且至-，② a 0②得6护3模描留c的方程为兰+号-1 (2)设直线MP的斜率为k则直线MQ的斜率为一k, 记P(y1)、(2,2)· 设直线MP的方程为y+1=k(x十2)，与椭圆C的方程联立，得(1十22) x2+(8,2-4k)x+8k2-8k-4=0, 则一21是该方程的两根则一21=88-4，即1=+4+2 1+22 1+2k2 设直线M0的方程为y十1=一女(x+2),同理得2=4-4+2 1+2k2 因y1+1=k(x1十2)，y2十1=-k(x2十2)， 8k 故o=++》-竖=1 X1X X12 1+2k2 因此直线PQ的斜率为定值， 【8】(1)[0,:(2)证明见解析. 解析：(1)因为焦距2c=2,则c=1,所以左焦点r(1,0),右焦点(10) 2a=eloi-r4(9+-r+(空o25 所a5.所以。产2=1，所以眼方程为号+广=1 设点P(,y）, 则丽丽(-1-x功1-x,y)=2-1+y=x2-1+1-二 22 因为x∈[-√2，V2],所以PF,PF的取值范围为：[0，] (2)设直线1的方程为y=(x-1)(k≠0) +y=1 联立2 消去y得(22+1x2-42x+2k2-2=0 y=k(x-(k≠0) 其中：2k2+1>0,△>0，不妨设A(x,y),B(x2y),M为线段AB的中 的 4k2 则x+5,=22+1 所以x4=古+5=」 22 221=2+ 之安所以宝为定我 【9】1)+y产1：(2)证明见解折。 解标：)精园c:茶+子-e6>0过点1号 ”2 +京10 1 又撒离*为9号 2 21 1 a261 解得61椭圆c的方程为号+y1 .[a2=2 联立①②得 b21 2 a-2 (2)方法一：当直线1斜率不存在时，则k,=-k2,∴，k+k2=0: 当直线1斜率存在时，设直线1：y=(x-1),1与椭圆交点 y=k(在-). A(y),B(2y2）.联立{x2 +y=1 2 消去并整理得(22+1r2-4x+22-2=0.由于4=82+8>0， 42 2k2-2 +2+20+i “飞+=》+少=色-四，-) x1-2x2-2x-2x2-2 26,-3(+x)+4北 (x1-2s2-2) :2点-3北6+5)+4北=4--12+8+化-0,5+k,=0 2k2+1 综上所述，k+k2=0. 方法二：当直线1斜率为0时，飞，=k=0,则飞+北=0： 当直线1斜率不为0时，设直线1：x=y+1设1与椭圆交点 A(),B(2y2), 「x=y+1 业工+y=1消去x并整理得(m+2少+2w-1=0.由于 △=4m2+4(m2+2)>0， %+%锅 -1 :北+店，=戈+为= y x1-2x2-2my1-1my-1 -2n -2m 2yy,-+=m2+2m+2=0 (my,-1my,-1）(y-1,-1 +飞=0，综上所述，k+k2=0 【101《)号+号1：(2)证明见解折 解析：(1)由题得双曲线的焦点为(0,1)，F,(0,-1),设椭圆方程为 由嗯得宁明IP号4-25P呢P82-. 由余弦定理得 4PRP +P5P-21PEPx 2 =(PFI+PF,D)-21PFIIPFI -2刘PRIPE1x5 2 所以1PRI+|PE=2a=25,a=5 所以=3-1所以稀眉方程为兮+号1： (2)设点P(x。。),过点P的椭圆C的切线1的方程为 y-。=(x-x), y-y。=k(-x。）】 得(3+22x2+4k(6y。-6。r+2(a。-。)-6=0 因1与椭圆相切，故△=[4。-了-46+222(。-%广-6上0 整理可得(2-x2)+26。-(,2-3)=0 设满足题意的椭圆C的两条切线的斜率分别为，k,则 因P在因0上所以+店=5，因此气车安山 故两切线斜率之积为定值-1 【4】)后若1：(2斜率为定值宁理南见解新折 解析：(1)，椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上， ÷设插圆c的方程为号+云=1，a6>0, :椭圆的离心字等于片，一个顶点给好是港物线=8，的焦点 6=25,=1 a 2 又d=+,=12+,解得a=4, :额c的方在为后若1 (2)当∠APQ=∠BPQ时，PA,PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜为k,则PB的斜率为-k,设A(),B(xy), 设直线PA的方程为y-3=k(x-2), [y-3=k(x-2) 由2+=1 ,消去y并整理， 1612 得：(3+42x2+83-2)%+43-22）48=0 x+2= 8(2k-3) 3+42 设PB的直线方程为y-3=-(x-2), -8k(-2k-38k(2k+3) 同理，得x,+2= 3+4k2 3+4k2 16k2-12 -48k 六x+=3+4,3+4g! a=-2-6-2+3+,-2)-3+5】4秋1 x1-X2 51-X2 2 ·A妇的斜率为定值号 【12】(1) x2y2 43 =1:(2)证明见解析， 解折：(1)由题可得二=，a=4,解得c=1,a=2 a 2'c 又云=护+e,可将3，所以椭国C的方程为：号+兮1 (2)A(-2,0),设AM的方程为y=,(x+2),设M(,), [y=k(x+2) 由2+= ,消去整理得 43 (3+42)x2+16k2x+16k2-12=0,△>0， 5-2=-16%2 由韦达定理可得 3+4北 -8k2+6 16k2-12 ,解得=3中，代入 -21=3+4 12k y=,（+2),求得，=3+4 ,即M -8k,2+612k1 3+4k23+4k2 ·B(2,0),设BW的方程为y=k,(x-2),设W(x2y2) y=k,(x-2) ,消去y整理得 (3+4k2)x2-16k22x+16k22-12=0,△>0， 2+2= 16k,2 3+4k,2 由韦达定理可得： 8k22-6 6-12解得5=3并，代入 2x2= 3+4北，2 12k2 y=,(x-2),求得乃=3+4化 8k,2-6-12k2 ,即3+4北3+4 又直线MW恒过椭圆的左焦点耳，则M耳//W 又w两路 是器+96北0 >0,46+3>0,-3张=0，即会=3所以专为定值 【13】(1)二+号=1：(2)存在答案见解析。 43 解析：(1)c=1,a=2,.b2=3, 所以折圆c的标准方程：兰+号1 (2)假设存在这样的点2，且设Q(0,), 直线：y=G+1,联立 3x2+4y=12得 =G+1 (3+4k2x2+8-8=0,△=96(2k2+1>0 设4小.86小.则5+， -8 若∠OQA=∠OQB成立，则直线QA与QB的倾斜角互补，斜率互为相反 数， +ha=0,即色l+色+1-上=0 X; 即(，+1-t)x2+(2+1-t)x1=0,整理得：26x2+(1-t)(x1+x2)=0 3+4+0-）28k 所以2k、-8 3+4g=0,则-16k-8歇1-）=0，即 -8k(3-t)=0.若-8k(3-t)=0与k无关，则t=3. 故在y轴上存在点C(0,3),使得当k变动时，总有∠OQA=∠OQB 【141(1):(2)是定值，∠408=90 6 解析：(1)设双曲线上任意一点为V(x。y。), 则2x。2-。2=1, |w=。-+(。-= 四+1+x2-2y+1 3。-2+5≥3o -6 当，号时，等号成立即点P0)到双曲线c上点的距离的最小值为 30 6 (2)设直线1的方程为：y=G+b, 因为直线1与圆相切， 所以圆M的圆心(0,0)到直线1的距离等于圆的半径1， =1→62=1+k2,① 设A(y),B(232) 由2消y得， ly=kx+b (2-2）x2-2hx-b2-1=0 由题意知：2-k2≠0， △=4k2b2+4(2-k2)b2+1=4k2+16>0 小+治 由韦达定理得{ -b2-1 =2-2 -b2-1-k2-2 由①得：不，=2- 2-2 则%=5+动6+5)+6：=262-2+ 2-22-k2 因为丽丽=+=-2+2+ 2-2 2-0, 所以∠AOB=90°为定值， 10+号1：@ 9 a 2 1 3 [a2=4 解析：(1)由题意可得 +2远1，解得6=2，所以椭圆c的方程 a2=b2+c2 为号1 （2)设A(x1,乃)，B(2,y),AB中点为E(x。yo), y=-x+m 由任+二=1得3-4m+2m-4=0,A=16m-12m-4到小>0符 42 -6<m<后， 行腿当空%m=号 3 由PA=PB,有PE⊥AB,所以k= 固1， x。2m 3 4 2 所以+=行= FG*-侣4子5 3 o-- 时点0到直线：+7-10的离：.三 所刷△8的积8啡55 【16】(1) 兰+二=1：(2)是定值，理由见解析， 43 解折：1)椭图号+长a>动>0)商心率为行，即8=后-分 ,·点G(0,2)与椭圆的左、右项点可以构成等腰直角三角形， a=2, 综上有：c1,6=5,故横圆方程为号1， (2)由直线与椭圆交于M,N两点，联立方程： y=k+m 片号1接g649+4-o 设My)N(),则 △=(8.m)-16(3+42）m2-3)=4842+3-m2>0 -8km 杯，+=3+42 4(m2-3 x=3+42 ako=没=低+m色，+m）_经，+mt6+十m: XX x下： 2 4k2(m2-3)-8k2m2+m23+4）3m2-42）3 4(m2-3 4(m2-3） -4 .2m2=4k2+3, =+k,-小F.45c+3-m+e.4 3+42 2m2 m 原点O到1的距离d= h+2 心aw 1=4E5淀值 2 2 2m21+k2 【17】(1) 2y2 -=1:(2)2W6 84 解标：0)自宁片格兰日 b21 将2代入椭圆C的方程可得b2=4,所以a2=8, 故销圆©的方程为号+号1。 (2)当直线的斜率k不存在时，PW方程为：x=√互或x=-√互 从而有PW=2V3, 所以s=pp4-2×25x25=26 当直线PW的斜率k存在时， 设直线PW方程为：y=a+m(m≠0)，P(x:),N(x·) 将PW的方程代入C整理得：1+22)x2+4mx+2m2-8=0, -47m 2m2-8 所以6+=1+2g,x=1+2 片+为=k(6+x)+2m= 2m 1+2k2 由o=0+o丽得：M1+2亚1+2亚 (-42m） 将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2. 点O到直线v的距离d= V1+2 IPM=+ S=dPW=m,-x=V1+2k2.k,-xFh62-8m2+32=2v5 综上，平行四边形OPW的面积S为定值2√6 【u81宁+号=1：2)是定瓶华 解析：(1)，直线3x-y+3√2=0与x轴的交点为 「a2-b2=2 （5,0,c=2, a+b=2+反 解得a=2,65圆的方程为子+子-1 (2)若直线1的斜率不存在，则MO在x轴上，此时O=a=2,因为点 O为△AC的重心，所以个三1，将付=1代入精圆方程可得 2 8=PMaM36-36; 22 若直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=红+m,代入椭圆方程 整理得(1+22）x2+4mrx+2m2-4=0 设A(6),C), Akm +1+2证，5 2(m-2 ,X+,=6+)+2m=1+20 2m 1+2k2 由题意点O为△PAC的重心，设P(xy。) 则5++五=0，++九=0， 3 3 所以=6+卢，%=-6+)器， 42m22nm2 E入椭园军+号.待4子Bm砂9 2 设坐标原点O到直线！的距离为d,则d= +t 则△PAC的面积S=C3站 分*小3+ =头-网 4 1+2k2 网 32220+22）-m2 2 1+2k2 =2 21+2)-1+2 2 1+2236 1+2k2 √2 2 综上可得，△PAC面积S为定值3 2 【19】(1)2√2x-y-2√2=0：(2)证明见解析. 解析：(1)直线1斜率不为0，FL,0),设直线：x=y+1 设A(y),B(,), 因为A点在x轴上方，所以y>0,y,<0 翔-4… 乃+乃2=4，%片2=-4 :AF=2丽→1-x,)=26,-1y)-=2% 由+男=“，= -y=2y2 =-代入=-4 因X>0,所以>0，解得t=2万 1 所以AB所在直线方程为2√2x-y-2√2=0 (2)设AB中点为W(xxyr) w==24w=22+1N+12） 2 所以AB中垂线'：y-2t=-t(k-22-1)D(22+3,0)】 DF=22+3-=2+2 1A8V,-x+,-=,-y,+,-y月 =+FV,+另)广-4y=+FM㎡+16 =42+4 48L_4+4=2(定值) 1DF122+21 【20】(1) ,+y=1;(2)lol-loo-2. 解折：（因为描圆E号+台e>6>0过点(Q,所以6=1： 又e=二=5a=6+e,所以a=2 2 即椭圆方程为子+广1. (2)设A(,),B(2y),则M(,-y) 由2+y=1,得0+2r2+4体+2-2=0 y=kx+t △=1622-4(1+2k222-2)>0 -4t 所以+1+2k 55=22 1+2k3 在直线y=红+0中令y=0,则=无，即0， 直线ay-男=+x-),令=0， x2-x1 则当2兰兰，即e华0 片+乃 kG+x:)+2达 所pp,plog-2 【21】(1)千+y=1:(2)证明见解析。 舒标：》由E知同a又销图学+子e>6)过点5宁. 故3 +4=1解得62=1 42 所以椭图g的方程是子+少1 (2)设直线1的方程为y=片+mm≠0)，4x36), x2 +y2=1 由方程组 4 得x2+2x+2m2-2=0,①， y=zx+m 方程①的判别式为△=4(2-m),由△>0， 即2-m2>0,解得√2<m<√2 由①得x1+x2=-2,xx2=2m2-2。 所以M点坐标为（←m受.直线OM方程为y=子。 由方程组4+ 1 ,得c5 2D(WE巨 所以pdpl5em+a55+me-m 又aaf=,-+0-门话，+P-4司 =Gm-4m-2明2-m).所以-1-l. 】w若号1：e是号 a=2 解析：)由已如口-三片 ,解得b=5 c2=a2-b2 c=1 所以新c的方程为+ (2)由(1)可知F(1,0) 依题意可知直线1的斜率不为0，故可设直线1的方程为x=y+1 x=y+1 整理得(3m2+4)y2+6my-9=0 设A(),B(2y2) -6m -9 则为+为=3m+43m+4 不妨设y>0,y<0 4=V区，-1+y=Vm+1-旷+=m2+1k非m2+1y, 同理|B列=m2+1=-m2+1y 1一+ 1 所以丽十丽际1㎡+1+1方) 1。=1 -V+广-4 m2+1 y:Vm2+1 -6m1 -9 1 m+4-4“m+44 Vm2+1 -9 3 3m2+4 即响阿号 1 【23】1)号+y=1:(2)存在，定值为-4 解析：(1)由题可得a=VB+c2=√2 又e=二=5，所以c=1 a 2 b=Va2-c2=1 因此桶圆方程为宁+产1 (2)由题可得直线斜率存在，设直线！的方程为y=(x-1), y=k(x-1) 消去只，整理得：(1+22)x2-4k2x+2k2-2=0, 42 设A(区y),B(22),则 x+,1+2亚 2k2-2 =1+20 又F1,0),P(0-k),则☑=(6y+k),AF=(-x,%), 由风=4F可将5=3-小.所以4产 同理可得人一' 2 场产产奇 5+x2-252 4k2 22-2 42-222 4k2.2k2-2 =-4所以，+为定值-4. 1-+2亚*1+2 【241g+5 +上=1：(2)是定值，为5 18 ,理由详见解析 8,理由如下： 解析：是定值，为5 (1)设E、O、F三点到直线，的距离分别为d,、d、d2,O为EF 的中点， ,直线与圆O:x2+y2=9相切，.d=3 ∴|+M=d,+d,=2d=6>4 ,动点M的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为6的椭圆 .2a=b,a=3,c=2,b2=a2-c2=5 所以动点以的锁进e亏+号l y (2)①当1斜率为0时，N(0,0),F(2,0),不妨取A(-3,0),B(3,0), 及-(30，正60，则4号 丽=0.丽=(10叭，则4=3+名=号 ②当{2斜率不为0时， 设4=-2北0)，4小、5小，则0-引 则酒=西→+}-户41品 由丽=3丽，同理可得3=-1-之 「x=炒+2 田x2+y=1,得(50+9y少2+20的-25=0， 20t 25 …+y2=- +9,=+9 .1+2=-2- 2+2}-2-2+-2-220-1g （少y t t25 -51 综上，+以=号为定值 【2s】()号+y=1:(2)是定值，定值为6 解析：(1)由题意，点A(0,-√5)，直线A的倾斜角为60，所以c=1, 在t△AOR中，求得点O到直线AR的距离是5 2 又由原点O到直线4R的距离是5。，则a=2,所以6=心-c=1, 故石的标准方程为，+2-1。 (2)①当点P为椭圆右顶点时，上=PS=5+1,上P四-5-1 mFM√2-1'nF,WV2+1 所以上+上=6： m'n ②当点P为椭圆左项点时，同理可得六+片6： ③当点P不为椭圆顶点，即直线PM,PW的斜率均不为零时， 设直线PM的方程是x=-1+ry,直线PW的方程是x=1+y， 分别代入椭圆方程。+y少=1， 可得(2+2少y2-2y-1=0和(s2+2y2+2y-1=0, 设P),M6小，小，则=F+2%=g+2 由=mP丽，可得X=-m四。，则二=-立=(+2)， m y 由直线M的方程x=-1+,可得r=+凸 所以品+2小=++2房=3+2 由=丽，同理可得行3-2，所以立片6为定位 综上所述片+片为定值6 【26】(1)y2=4x(2)(-n,-3)U(-3,0)U(0,1)(3)定值为2 解析：(1)因点PA,2)在抛物线C:y2=2px上，则22=2p1,解得p=2, 所以抛物线C的方程为2=4x. (2)令直线1的斜率为k则直线1方程为：y=+1, 由=众+1 消去y并整理得：2x2+2(化-2)x+1=0, y2=4x 2≠0 因直线1与抛物线C有两个不同的交点A、8,则△=4化-2y-4>0 解得k<1且飞≠0， 又直线PA,PB与y相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线1不能过点 (1,-2), 否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此k≠-3 综上得：k<1,飞≠0且k≠-3， 所以直线1的斜率的取值范围(-∞，-3)U(-3,0)U(0,1) （3)设点M(0,yw),W(0,yw),QM=(0,y4-1),Q0=(0,-1), 而QM=00,则2=1-yw,同理4=1-yw, 2k-4 设4小，由(2)知+5=-：=京 直线A方程：y-2=之x-少，即-2=2兰K-) 1-x 题y-24-0 22少，同理=2+y, 令x=0,得y=2+为 2y2 1-2+2+y2=8-2y2 手是得立1-+-w2-2-,2-2- =8-26,+1a,+业=8-22x+k,+x)+ (1-kx)1-a2) 1-(+x2)+是2xx2 8-22.-k.a+)8k-2×4=2 k2 1+k.24+. 4k-4 2 2 所以宁力为定值2