非对称韦达定理方法讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十四节 专题:非对称韦达定理方法策略专练 253 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:非对称韦达定理 非对称型韦达题型:目标式不可以直接运用韦达定理表达 例如:非对称型 反例:对称型 非对称型韦达定理题型可以理解为不可以直接利用韦达定理代入,或者理解为两根不是轮换对称的,一定要进行处理才可以化简,此种题型大部分是证明定值,定点,定线问题. 解题策略: （1）和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系（积转和） （2）配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换,剩下的部分进行消元 【例题1】已知点为椭圆的右焦点,,分别为其左、右顶点,过作直线与椭圆交于,两点（不与,重合）,记直线,的斜率分别为,证明为定值. 【分析】不妨设,因此从而目标信息,要证明其值为定值.从目标信息的形式来看,反设直线要方便些,因此设,通过直线替换后可得 出现了韦达定理结构之外的形式,即落单的和,像此类结构, 一般被称为“非对称韦达”,下面我们介绍2种常见的处理策略, 【解答】策略一: 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 联立得,则有 由韦达定理可得,（找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系） 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定系数法, , ∴ 即可得为定值,得证. 策略二: 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换, 剩下的部分进行配凑 联立 得,则有 半代换也有一定技巧,就是配凑.若只代换,得,依然无法得到定值,因为落单的和不一致,而此时为分式结构,分式结构的定值需要满足上下一致,且对应成比例,抓住这个核心,可以对和其中某个进行配凑使其能构成比例形式.以分子为例,分子要出现形式,可将分子整理为,从结构上可以猜测定值为,不妨将韦达代入, 得,得证.分母可作类似处理, 得. ▍练题型 非对称韦达定理的应用 1 【练习▪1】如图,椭圆的焦距等于其长半轴长,,为椭圆的上、下顶点,且 （1）求椭圆的方程; （2）过点作直线交椭圆于异于,的,两点,直线,交于点.求证:点的纵坐标为定值3 . 【练习▪2】已知椭圆,过点,且离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）记椭圆的上下顶点分别为、,过点斜率为的直线与椭圆交于、两点.证明:直线与的交点在定直线上,并求出该定直线的方程. 【练习▪3】学生在研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线有一个重要共性:过圆锥曲线的一个焦点任作直线与圆锥曲线交于两点,过其中一个点作对应准线的垂线,垂足与两点中的另一个点的连线必过该焦点与该准线和坐标轴交点的中点,他把这一性质称为圆锥曲线的“过中”性质.椭圆C:的一个焦点,在曲线C上. （1）求椭圆C的方程. （2）已知椭圆的右准线方程为,探究该椭圆是否具有“过中”性质,并说明理由. 【练习▪4】已知、为椭圆的左、右顶点, 为椭圆的上顶点, 为其右焦点,与 关于对称.的面积为,过点的直线交椭圆于两点, （不与,重合）. （1）求椭圆的方程; （2）证明:直线与的交点于一条定直线上. 【练习▪5】已知椭圆 的上、下两顶点分别为、,斜率为的直线与椭圆交,两点（不与,重合）,与轴交于点.设直线与交于点,求证:为定值. 【练习▪6】已知椭圆的右焦点为,上顶点为为坐标原点,,点在椭圆上. （1）求椭圆的方程; （2）设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于,两点, 点.若,分别为直线 ,与轴的交点, 记的面积分别为,求的值. 【练习▪7】已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点作轴的垂线,并与交于A,B两点,过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M,N两点,,的周长为8. （1）求的方程. （2）记,分别为的左、右顶点,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点Q,和的面积分别为,,试问是否为定值？若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【练习▪8】已知点,,动点满足,动点的轨迹为记为． （1）判断与圆的位置关系并说明理由． （2）若为上一点,且点到轴的距离,求内切圆的半径的取值范围． （3）若直线与交于,两点,,分别为的左、右顶点,设直线的斜率为,直线的斜率为,试问是否为定值？若是,求出该定值;若不是,请说明理由． 【练习▪9】已知圆,直线过点且与圆交于点B,C,BC中点为D,过中点E且平行于的直线交于点P,记P的轨迹为 （1）当到直线的距离为时,求直线方程; （2）求的方程; （3）坐标原点O关于的对称点分别为,点关于直线的对称点分别为,过的直线与交于点M,N,直线相交于点Q,求的面积． $第十四节 专题：非对称韦达定理方法解读专练 重点题型专练 【1】详见解析 解折：()精圆Q的方程为：子+苦1 (2)由题意知直线1的斜率存在设其方程为y=红+1，设 46小a(6年a月 -8k -8 (42+3小+86-8=0，+4+3，g+3 (3)且有x+x,=a,(两根之积与和的关系) wy-5=当-5 wy+5=+5 y-E-5s2-⑤.+-5x y+玉，+E+瓦：+a+5, 方法一：和积转换一一找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 (积转和)，我们可以利用前面x+x2=么x y-5-+-s-++0-压=支+2z5 y+V3x2+(1+V3)x,x1+x2+Q+V3)x(2+B)x,+x2 (分子刚好是分母的倍数) y-V3 =2-√3→y=3,故点T的纵坐标为3 y+3 方法二：配凑半代换一一对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进 行消元 -8k -8 -8k 因为++43所以玉 故5名-55一同5+-5 y+3 +Bx.+5):++5 +0-5ga-5+66- -8k -82 +0+ -8k =2-5, 4+3+W5+1 所以=5=2-5→y=3,故点T的纵坐标为3、 y+√3 【1营+12)y=l 解折：+1 （2)根据两点式方程w:2=2w+22,联立得 x X2 x=-25 X-3x; y=24512-2 x-3x2 24 -265-12x-26-12x2.-2×1+22-12, 天-3x2 (5+x)-4x2 -16E 1+22245 =-48-12-24五=3 -16k-4x1-8k2x2 .y= -2652-12 2-2=3-2=1 1-3x2 【3】+1@)园c具有过中性质，见 c=1 v6)1 解析：(1)由题意， a2 =1,解得a2=4,b2=3, c2=a2-b2 所以求椭圆c的方程为号+士=1， 43 (2)椭圆C具有“过中性质，理由如下： 椭圆的右准线方程为x=4,与x轴交于点H(4,0), 设过焦点F(1,0)的直线为1，与椭圆C交于P(xy,),Q(xy2) 过P点作PG⊥准线x=4,垂足为G(4,),连接QG与x轴交于点E, 易知直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=y+1, x=my+1 联立 x2y2,得(3m2+4y2+6my-9=0, 43 =1 则△=36m2+36(3m2+4>0, 6m 9 片+=3m产+4w=3m+4 又®=。二1，则直线0Q的方程为y-男=。二之k-4)， x2-4 x,-4 令y=0,得x=4--4-m,+-4红4-四%-3烈 片-y y2-月 -月 9m 又y2= 3 3m+428+), 所以上式 X=4-丛-3y=42(+片)-3y 4) 4 3 22 所以直线©2与x轴交点为？0，刚好为江4,0)和(1,0)的中点 所以椭圆C具有“过中性质 EH衣 X=4 【4】1)c:+二=1：(2)详见解析 42 解析：(1)略 (2)A(-2,0),B(2,0,D1,0) 由题意得，直线W可以垂直于x轴，但不平行于x轴： 令N:x=my+上M(y,),Wx2,y2). x=y+1 +乃= +号-1→(m+2水2+2w-3=0 0 42 x回 y 西+2x+2 x= 4,(my+3）-2 → 3y2+y1 (2)÷0):2yy2=3(y+y2） 4y2 x2-2x-2 y=3y+y 4,(m,+3_4myy,+2y-6+y)+12y-6+3y）6 3必2+乃 3y2+% 3y2+1 32+y →x=6-2=4.P在定直线：x=4上 【5】详见解析 解析：令M(y),Wx2,y2y=+m: 任+1○+2+4bm+2m-2-0 「y=a+m 则： 4km x1+x2= 1+220 2(m2-1 (2) 1+2k2 y-1=-1 2kxx+2(m+1)mx y+L=+1 y=1 (m-1)r2-(m+1x xX: .00=m=m 2x2+2(m+1)x1 =m- 2kmx2+2(m+1)2x (m-1)x2-(m+1)x1 (m-1)x2-(m+1)x, (2)÷0):2kmxx2=-(m2-1s1+x2)3) 2m西，+2m+1n匹。-(m-l,+x)+20m+1mx (m-1)x2-(m+1)x, (m-)x2-m+1 0-m[m+-m-压].m-1 (m-1)x,-(m+1x .OP.00=m-m-1)=1 【6】详见解析 解析：(1)由∠OHR,=30,得b=V3c(c为半焦距)， ~点（码）在横假：上则宁+ -=1.又a2=b2+c2, 解得a=2动-5e-1稀圆三的方程为一+兮 x=my+1 (2)因为E,10).设直线1：x=m+14(),8(）.由2y -=1 43 消去x,得(3m2+4)y2+6y-9=0.显然△=144(m2+1)>0. -6m -9 则+另3m+43m+4· +).由(20C20,得直线A伊的斜幸有= 古2，直 线0的斜率东 又l-e1oH62=. .LOM1_ S. IPQI-IOMI IOMI 'IONI IPel-lONI IONI 在=s,-2_(,-。w2-光 +》男 k2(+2)y2（y+3)y2yy2+3y2 06+%)+3现 + =9=3 2%+2 【11手+号1Q)受是定值定值为时 解折：1将-e代入c等+长=6>6>0可得= a 2b2 所以受之解得=2.66，故e的方程为兰+号1 4a=8, (2)是为定值定敏为兮理由如下 依题可设直线W的方程为y=(x-1),M(),(y2) +号1整理得6+)-+4-12=0 联立方程组{4 y=(x-), 8k2 易知A,(-2,0),A(2,0),直线AB的方程为x=-1, 则直线4M的方程为y=产(+2)，令=-1，得 x+2 k(-1) yp=- +2 5+2 同理可得=丝= -3讹(2-1) x2-2 x2-2 (s- 5+2 s-,-21,-2,-x+2 S.OF -3(6,-3,-15+235,-+2,-2 2-2 42-6 152-(6+x2)-x+21 3+42 9 引+26+)3-233-3 故是为绽值且该定饭为行 【8】(1)E与圆O:x2+y2=8相切，理由见解析(2) 04 (3)是定 值，定值为号 解析：(1)因为M+M=3F=6>F,所以E是以耳，R为焦 点，且长轴长为6的椭圆. 设三的方程为宁+云=6>6>0.则2a=6,可得a=3,又e1. 所以b2=a2-c2=8, 所以鱼线三的方程为：号+号1 联粒号+号1与+8，=0，a6, 所以E与圆O:x2+y2=8有两个公共点，故E与圆O:x2+y2=8相切. (2)△PFE的周长1=P+PE+RF=6+2=8, aPR3的面积S=d=deQ), 所以△PrE内切圆的半径r= 故P器内切圆的半径的取做范国为 G0方法-联立，+。，得8+9必-18x+9非：-80 y=k(x-1) 设C(xy)D(x2y2), 18k2 易知4>0，且x+58+9驼码 9(k2-8) 8+9k2 则杀 x-3 所以点=5引-6-到5-5+3 k2y2(+3)k(2-1)x+3)xx2-x+3x2-3 由x+x2= 18k2 8+9g,= -8,得，=56+)9 8+9k2 所以点=非+)9-西-+324+，-61 k5+x)-9-x+3x2-34+8x,-122 kk 1 1=2 所以+店 飞+ *2 5, 故年淀位且定做为行 OF. 方法二联立，+名1，得8+9-18x+9-3=0 y=k(x-1) 设C(xy),D(), 18k2 9(k2-8 易知△>0，且+=8+9g=8+9驶 则k=》 3 y 因为点=+3伍-3》5-36+x)+2x+3 y,(x+3xx2-(+x2)+4x2-3 x2-3 9(k2-8 54 9(2-8)-54k2+38+9 =8+9P8+92+2,+3 8+9k2 +2x 9(k2-8 18k2 9(22-8)-18k2-38+9k2） 8+928+92+45,-3 8+9k2 +4x, -18k2-48 8+92+2x, 1 36k2-96+4. 2 8+9k2 kk 1 1=2 所以好+好++25， 2 故年行为定位且定值为号 【o1a)y=-:2)r+号-a:e)4 解析：(1)设直线的斜率为k,直线方程为y=(-1),因为A到直线 5的距离为5，则日=上2叫=5，解得上=5，所以直线4的方程 Vk2+1 为y=36-1) (2)由题意得，A,(-1,0,44,0) 因为D为BC中点，所以AD⊥BC,即A,D⊥A,C, 又PE∥AD,所以PE⊥AC, 又E为A,C的中点，所以PA=PC, 所以|P4+PA|=PA+PC=AC=4>AA,l, 所以点P的轨迹「是以A,A为焦点的椭圆（左、右顶点除外）. y 设T:+为=1x*±a),其中a>b>0,a2-=c2 则2a=4,a=2,c=1,b=√a2-c2=√5. 2 (3)思路一：由题意得，B,(-2,0),B,(2,0,C(0,-1),C,(0,1),且直线12的斜 率不为0， 可设直线2：x=y-1,M(x,y1),W(x2,2),且x1≠±2，x2≠2. 由层+子1用m4r-6g90, x=my-1 6m -9 所以y+2= +43m+4,所以2=-36+为) 直线业的方程为：7+2，直线”的方程 由 得+2-上6+2) x-2(82-2) ,(y+1)myy2+y2 +为 ,(y2-3)1yy2-3y 3 解得x=-4, 故点Q在直线x=-4,所以Q到C,C,的距离d=4 因此△C6的面积是定值，为©d=分2x4=4, 思路二：由题意得，B,(-2,0),B2(2,0),C(0,-1),C(0,1),且直线12的斜率不 为0， 可设直线2：x=my-1M(6y,),W(2y2),且x≠2，x2≠±2. 由4+子=1，符(3m+4y-6m-9=0, x=y-1 6m -9 所以%+=3+4=3m2+4 所以2m,=-3(+y） 线a的方程为：本26+2.直线w的方程 a+ 由 22) y=- 2 得x=22伍+2+y6,-2) y(1+2)-(62-2) =2 2(my++y(-3)] =2 2yy+2-3y, (my+1）-y(m-3) y2+3% =2 2m+3(03+为）-26+3y)门 =-4 2+3, 故点Q在直线x=-4,所以Q到C,C2的距离d=4, 因此△CC,的面积是定值，为Cd=×2x4=4. 思路三：由题意得，B,(-2,0),B,(2,0),C(0,-1),C,(0,1),且直线12的斜率不 为0 「x=-1 (i)当直线1垂直于x轴时，2：x=-1,由了43 x=-1 2 x=-1 不纺设4引1到 则直线84的方程为：y=x+2),直线8，N的方程为：y=-2), y=3x+2) 由{2 得， =4 P=6x-2 心=-3，所以Q-4-3), 故Q到CC,的距离d=4,此时△QCC,的面积是 2cd=分×2x4=4. (i)当直线不垂直于x轴时，设直线12：y=(+1),M(,片)，V(2), 且x1≠±2，x2≠2， 由+子相+3x+2。 y=k(G+1) -8k2 42-12 所以5+6=4+3=4护+3 直线8的方程为：y= 写+2+2，直线，的方程 由*2+2) 得=26+2+x-2到] (+2)-(2-2) =2华++2+6+16-2-45-2车+6 (x,+(x+2)-k(,+1:-2) 3x+x2+4 下证：425+6.4 3x1+x2+4 即证4xx2-2x+6x2=4(3x,+x2+4),即证4xx2=-10(x,+x2)-16, 即-016， 即证4(42-12)=-10(-8k2）-16(4k2+3） 上式显然成立， 故点Q在直线x=-4,所以Q到C,C,的距离d=4, 此时△2c6的面积是定值，为Cd=×2x4=4. 由(i)(ii)可知，△QC,C的面积为定值. 思路四：由题意得，B,(-2,0),B2(2,0),C0,-1),C,(0,1),且直线2的斜率不 为0， 可设直线2：x=my-1M(6y)V(2y2),且x≠±2，x2≠2. 由于+号得3m+4-6-9=0) x=1y-1 6m -9 所以%+y3+43m+4 直线M的方程为：十2任+2)，直线V的方程 为y2- 因为至+三=1，所以为=-+2 43 x-24 故直线B,W的方程为：y= y6+到 得6+可 4y2 由 y=- 3(2x,+1)(y2+1) 3m2+m,+片H1 4 9 =--9m2+6m+6m2+4] =3 解得x=-4 故点Q在直线x=-4,所以Q到C,C,的距离d=4, 因此△gcC的面积是定值，为ed=宁×2x4=4.