圆锥曲线中的同构思想专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

null 第十三节 专题:圆锥曲线中的同构思想 250 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:圆锥曲线中的同构思想 两同构式定义:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式,同结构,同形式. 当两条直线的地位等价时,往往可以构造斜率同构方程,整体运用韦达定理计算. 例如: 设直线斜率为,通过已知条件可求得, 设直线斜率为,通过已知条件可求得, 是方程的两个根,所以通过韦达定理整体可以得到整体运用,便于计算. ▍练题型 “两点在同一直线”同构 1 【典例▪1】已知椭圆,四点,中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程; （2）设直线不经过点且与相交于, 两点.若直线与的斜率的和为-1 ,证明:过定点. 【练习▪2】已知左焦点为的椭圆过点.过点分别作斜率的椭圆的动弦,,设,分别为线段,的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）若,求证直线恒过定点,并求出定点坐标. 【练习▪3】已知椭圆的一个顶点为,焦距为． （1）求椭圆的方程; （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,,直线,分别与轴交于点,,当时,求的值． 【练习▪4】已知点在双曲线 上,直线交于, 两点, 直线, 的斜率之和为0 . （1）求的斜率; （2）若,求的面积. ▍练题型 “两个点在同一曲线”同构 2 【典例▪5】平面上一点P满足:P点到的距离比P点到y轴的距离大2,且点P不在一条射线上,记点P的轨迹方程为曲线C. （1）求曲线C的方程; （2）点Q为y轴左侧一点,曲线C上存在两点A,B,使得线段,的中点均在曲线C上,设线段的中点为M,证明:垂直于y轴. 【练习▪6】已知抛物线:经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的交点,,且直线交轴于,直线交轴于. （1）求直线的斜率的取值范围; （2）设为原点,,求证:为定值. ▍练题型 “两直线位置关系相同”同构 3 【典例▪7】 已知椭圆,若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程. 【练习▪8】如图,圆,点为直线上一动点,过点引圆的两条切线,切点分别为,. （1） 求直线的方程,并写出直线所经过的定点的坐标; （2） 若两条切线,与轴分别交于、两点,求的最小值. 【练习▪9】已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为． （1）求; （2）若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值． 【练习▪10】已知抛物线上一点为焦点,面积为1 . （1）求抛物线的方程; （2）过点引圆的两条切线、,切线、与抛物线的另一个交点分别为、,求直线斜率的取值范围. 【练习▪11】已知曲线:为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别为,. （1）证明:直线过定点; （2）若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积. $