利用圆锥曲线二级结论解题专练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第十二节 专题：利用圆锥曲线二级结论解题专练 重点题型专练 【1】D 解析：令椭圆二焦点分别为耳，F,显然椭圆长半轴长α=5，短半轴长 3 b=4,半焦距c=3,离心率e= 由对称性不妨令|PF=3,则由椭圆第一定义知|P耳=2a-|PF=7, 由椭圆第二定义得点P到焦点？对应准线的距离d=P5L=35 3 故选：D 【2】A 解析：设耳，F,分别为椭圆的左、右焦点，P到左准线的距离为d,P到 右准线的距离为d,=10,由圆锥曲线的统一定义知：P-二-，解 得：P=6,又P+PR=2a=10,解得：P=4,∴P到它的左焦点 距离为4.故选：A 【3】B 解析：由椭圆第一定义知2a=3+1=4→a=2,所以m2=4,椭圆方程为 才多三1c=1,设P点到右准线的距离为d,因为P到右焦店 为1，所以 0时所以d=2故选：B, d 【4】c 解析：如下图所示，连接PE， 在椭圆 今+y=1中，a=5,b=3，c=4 因为o为FR的中点，9为PR的中点，所以，|P=2og8, 由椭圆的定义可得|P=2a-P=2,设点P到该椭圆左准线的距离 为d,由椭圆的第二定义可符，P_二=4，因此，d=2×三= d a 5 42 故选：C 【5】4 解折：如图。F0),辅腿的离心半为二-5，由椭圆的第二定义可知 a 5 5MF=, ∴M+V5MF的最小值，就是由P作Pw垂直于椭圆的准线于 N,2州为所求，椭圆的右准线方程为x=g=5,·P+5MF的最 小值为：5-1=4： 【6】A 解析：设B=x,则A=5x 过A、B作双曲线右准线x=a的垂线，垂足分别为D、C过B作AD 的垂线，垂足为E 根据双曲线的第二定义可得4D小=：，Bd-音 h-g 由直线的斜率为V3,可得在Rt△ABE中，∠ABE=30°， =2国，-4+l=6=24-2x智 e手故选A 【7】36 解析： 由题意得a=3,b=4,则c=√a2+b2=√32+42=5， 所以e=-5 a3 过点M作MN垂直于双曲线的右准线x=立，垂足为N, 设av=,则国=e,即us-, d 所以+Ml=p+d 显然，当M,NA三点共线时，个+取得最小值， 为x-=9-号-6 55 【8】B 解折：设双尚线c号会-1的右准线为1。 过A、B分别作AM⊥L于M,BN⊥L于N,BD⊥AM于D, 如图所示： 因为直线AB的斜率为√5， 所以直线AB的倾斜角为60° ·∠BAD=60,4D=A, 由双曲线的第二定义 得：-l-=-列==网+网 又：AF=4F丽， ·网网， e=故选B 【9】2 解析：a=2,e=3,x。≥2由题意得PF=3x。-2=2x。,解得x。=2 【01号 解折：a=4,c=5,e=子设点P的横坐标为5，则 +，P由题意符+水解符 【号 解析：a=3,c=5,e==10由双曲线的对称性，不妨设P在双曲 线的右支上.设()，则P卡+P后- 由愿意符+-，即任+3+任-=10，解特 =驾因为点？在双线上，即善总1， 916 解得疗=空小名所以点P到x辅的距高为名 【12】B 解析：设点M的坐标为M(,),根据椭圆的焦半径公式可得： Ml2+sl=2-2 则有：4-子 根据椭圆的特点，可知：-2≤x,≤2 可得：当x=0时，MF取最大值.此时，点M在椭圆的短轴上，则 有：Sa=V5.故选：B 【13】D 解析：（焦半径公式）设P点(。），则有PF=F4,即a-x。 a-c 解得气+a号又因为[eq],所以有a号+a-号a。 两边同时除以a,可以解得号≤e<1 【14】7 解折半径公式明=a+气=26子万9明=8-低鸡 所以器-7 【15】[2,6] 解折：由题意a=6,c=2,e=6,设r),其中-6≤，≤6 则-6+565气所以 L5l16-子e[2,6 【16】(2,±3) 解析：由题意，a=1,b=√3，c=2,e=2,由焦半径公式， |P=2x。+,P=2x。-, 因为P=P,所以，+=，-，解得：，=2或号（舍去） 代入双曲线的方程可求得。=3，所以P的坐标为(2,3). 【155或5,5 2’2 ”3 解析：（焦半径公式）设M(x),由焦半径公式得 g=a+,=5+ 3, g=a-x,=5- 3。,R=25 若M为直角顶点，勾股定理得到。5：若弓为直角顶点，勾股定理 2 得到x。=巨.故答案为： 9）9】 22 【18】4 解析：设P(x,y),由焦半径公式得 PF =a-ex,PF =a+ex,..PFPF =(a-ex)(a+ex)=a2-e'x2, PP的最大值是a2=4. 91若号1 解折：由双曲线的第二定义可知d=号P, 又因为PF=-(ex。+a)=14-a, PF=-(ex。-a)=14+a, 由已知得d+p=p,即4-a)+4+a)=28-2a， 得a=2c=35=5,所以双确线方程为子号1。 【2o11aF2,aFtg,h=9 解折：由椭圆号+二=1得c=1,又0=120° 43 所以根据焦半径公式 b2 b2 IAF- 22,18 3 36 a+ccos0 2 a-cos62+5 2 2ab' 4B=la-c cos 2×2×3_16 - 【21】1AF卡8+46,1BF4W6-8,AB-16 解折：双曲线芝上=1中，a=2,6=25,所以e=层+5=25， 48 利用公式 8 1A咔a-cc可2-同 8+4W6 8 BF昨+Gcos间p+同 4W6-8 2ab hlG-e0代入得ha-o可 2ab 2×2×8 =16 -2 【22】B 63 解折因为5d一=cco a-ccosa 所以+a-o++o2-台故选B dd 【23】D 解析：根据题意，A/R8,所以直线R2的倾斜角为子 由椭圆焦半径公式得 2b2 2a-c, a-ccos 3 2a+c, a+ccos3 耳A=2F,B,∴F4=2EB,即2a+c=2(2a-c）, 化简得2a=3,e=子故选：D. 【24】x2+3 -=1 2 解析：由于AF=3B,故根据焦长公式 得1eo21-c05.又41：镇故 3b2 4=6,即2a=站=26=子，则椭圆E的方程为+父-1. 【25】9+45或9-4巨 7 7 解折M时a-cosa网 a+ccosa 2 a且coa=片 所以代入化简得.9+45或9-4迈 INFI 7 7 【2612父+2号-1 9t7 b2 解析：由AF=2FE a-cosaa+ccos2,又因为F是椭圆的一个焦 2b2 点，且cosa=,所以c=1,代入可得a=56=，故精圆的 2 2 2 方程为：2+21. 9 7 【27】1 解析：因为F(-1,0)为椭圆C的左焦点，又由于MF=3FV,根据焦长公 式得： 3返 3 √2-c0sa2+cosa 率为k=ana=l 【28】 解析：设∠BFO=&,则∠AFO=π-&. 由椭圆的焦半径角度式可知 |B= 3 3 ,Ar= a-ccosa 2-cosa a-ccos(π-d）2+cosd 3 3 12 从而A=4+FA2+coe204.4c0a4 ARFB 9 9 4-co32& 4-cos'a 故答案为：号 【29】5 解析：设0为直线8F的倾斜角，am0=-台，cos0=-号 c号解相9 3 【301号 解析：直线AB的斜率k=tm60°=5，带入公式e=V+F a+可得 -1 【31】B 解析：设FB=x,FA=2x,耳'B=AB=3x,FA+F,A=FB+BB=4, ∴.A耳=2x,A在短轴端点，设AB与x轴负方向的夹角为日， 则Io9外后=，水c经-符-行则89,6园c的方 3 程为号+号1，选 【32】B 解析：设直线AB的倾斜角为日， -质4,4卜号 解得e=号，故选8 【33】D 解析：焦比公式：设直线AB的倾斜角为日 网历4，水水号 恤子m小子即=m0=号 ，故选D 【341月 解析：焦比公式：由题可知，AF>BF,故0<2<1 ..lecos= 解得号 【35】3 解析：由题可知，BF=三，故ecos0 2+1 易知e=co0=，故c=9,解得a=3。 【36】C 解析：由题可知，直线与双曲线只能交于左右两支， 故ow小，当且收当m0=1时e有最小值此时 e=2,故选C 【37】B 2p 解析：弦AB的中点到C的准线的距离d-_日。p 2 2 2 sin'0 sin'0 d-2 8 ”3 ,故选：B 【38】2 解析：le=2e,l-lpr=2a,le=4a,le=2a,设直线1 的倾斜角为日，在△QFF2中，由余弦定理 16a2=4c2+4a2-2×2a×2ccos0,12a2-4c2=-8 accos6,两边同时除以 a2可得，12-4e2=-8ecos0.P=32F,P℉=3F,0,∴=3，由 焦比公式可知，ecos0= 2-1_3-1=1 2+13+12 ，12-4e2=-8ec0s0=4,解得 e=2 【39】5 =1 解析：法一：设A(x),B(乃2)，则 a'b2 ，“过点M山)作斜率 为宁的直线与椭园c若+后-a>6>0相交于A,B两点，M是 a 线段AB的中点， 两式相减可得导+（）会0， a=vibw.c=va-b7=b..e=e= a 2 法二：由垂径定理得wk心=。1X2Q子，解得aV c=匠2-6=be-￡=E a 2 【40】2 [y=x+2 :法一：由题设知，1的方程为y三x+2,联立二少=1化简得 (b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，设 B(),D(x2y2）,则 4a2 x+5=B-8 -4a2+a6:，由 M0,3)为BD的中点知店牛王=1，故 2 ,=-6-a 号×1.1即53故c心+=2aC的离心*a=2 法二：由垂径定理可得女如丛即1x3 【41】B 解析：解法一：设点P(x,),则直线PA的斜率为 与骨本直线%的斜车为=吕品 x-2x-2 所以名名=少y y2 x+22因为点四满足1+1， 所以14三4，即-4=3·放36之。】 因为62大：子古是带面数所以七[引放选B 解法二由销园第三定义得=心-1会}即5名=子 4 「33] 因为e-2,所以后故选B 解析：由题可知A(-a,0),B(a,0),设P(x。,) 由点P在辅圈上符兰-)。 所以t= y。 。+a。-ax-a x-a a' 3 【43】c 解折：由垂径定理可知%%e-1片，解得ee生)，故选c 【41片 【45】 解折：由愿可知，e=，由垂径定理得即-站-- b25 【46】月 解析：设双曲线半焦距c,由题意知 e=c-5g2-a2+6-5b-1 设A(6y）,M(%),根据对称性可得B(-) 则兰苔1多多1：与生小.两式相碳得 2=0,即g a -xa21 由斜幸坐标公式将名=之二之二兰子，所以 -x。--。-xa2 (的值为片故答案为：子 【47】D 解析：设P),（x。≠a),A(-a,0),B(a,0), -a活。 =%少。」 26 +a-a。-aa=8, e=-4 =√+8=3.故选：D. 【48】D 解析：设A(sy),P(x),根据对称性，知B(-x,-y,), 所以北4=五.凸+y=好- x2-x1x2+x1x- [x2y2 因为点4P在双曲线上，所以合子1 两式相减，得“·反了 b24 所以G=。+=名所以。=故选D a23 3 【49】D 解析：设A(,),P(2,),根据对称性，知B(x,-), 所以kam=上当当+乃=片- x2-x1x2+xx- 因为点A,P在双曲线上， ,两式相减得-支-公-足 b2 所以点=公 a x-x1 所翻女6香 所以子：互烤D 3 【50】B 解折设小，则兰菩1，解相后-g三 62 由=-2及=，得比，=公-。g x。 又6号所以景专所以c的高近线方程为)=±2华故选B 【51】5 解析：由题意知：4(a,0),B(a,0) 若O为坐标原点，则lO4-pB,OM=oM,四边形AMBW为平行 四边形， ANIBM,2: 设6小.则等-答=a6>0叭， - +a-a。-a x。-a2 22 双线e约商心半子后我答案为行 【52】B 解析：直线AM和AP的斜率分别为飞1，k2,设PA的斜率为飞， A,M上PA北=-1，解得及三左，又+4，=0 = :kak%=一 2 ,故选：B 【53】(2,1) 解析：法一：”直线！的斜率为1 y=x+m 故设1：y=x+m,联立x2 y=1得产+4+2m2+2=0, 2 直线与双曲线相切，∴.△=0，即16r2-42m2+2=0,解得m=±1 y=x+1 (1)当m=1时， 1解得 x=-2 y=-1 y=x-1 (2)当m=-1时， 2 21解得 x=2 =1,切点A在第一象限， .A(2,1),故答案为(2，)： 法二：设切点坐标为A(。),由垂径定理得光=之==2，又： 点A(x。)在双曲线上， 二号后=1解得元1=2点42山，放答笑为0 【54】 2 解析：记飞=，k=,延长PC交椭圆于D,连AD ..ka=2 PA⊥PB 2球=-1由垂径定理得体=-1e-1=片，解得e= 【s1号 解析：由题可知，飞a=飞，正=飞，由初中几何知识得 =2站2=-1由垂径定理得k=e2-1=片解得e=三 【56】A 解析：由题得：飞以k= 选：A 【57】B 解折：由烟可知，aw=1,又6v七s==d产-1=一子，解得七。=子 3 直线AB过点)，直线AB的方程为y-1=子-)，整理得 3x+4y-7=0,故选B 【58】c 2=9x。 解析：设中点Q(x。),则{。=x。+m ,解得m=0或4. .（0=e2-1=3 【59】x2+2y2-x-2y=0 解折：设，则。=w=之，由垂径定理aaw=方即 x-1 号日2分化简 x-1x 得x2+2y2-x-2y=0,当AB与坐标轴平行时，M的坐标也满足方程， 故所求A8的中点M的锁迹C三+后-a6>0的方程为 x2+2y2-x-2y=0. 【01+ 1 解析：法一：由题意{a2得 a2=b2+c2, =。·椭圆M的方程可表示为 a=2c x2 + ,得x2+2√2x+8-32=0.“直线1：x-2y+4W2=0 x-2y+4V2=0 与M相切，∴△=8-4(8-3c)=0,得c2=2,故椭圆M的方程为 6 =1 c_I 法二：由题可知， a 2 ,得 a=2c b=V3c ，·椭圆M的方程可表示为 a2=b2+c2 x 设切点坐标为8(，），由垂径定理得。片=立×-- 2a-4 ,又 点)在直线1上。-2+4反=0，切点坐标三万，35） ”2 代入椭圆M,解得。2=2，故椭圆M的方程为号+上1 86 【61】+%=1 b- 解析：原题中要求利用类比得出结论， 注意观察x2+y2=2(r>0)在P(x。。)处的切线方程为x。x+yy=r2, 可以看出圆的方程中一个x换为x。,一个y换为。，即可得到切线方 程， 所议三+a>b>0方程中一个本换为，一个y换为九 可以得到切线方程为：÷+祭=a>6>0, 故答案为：停+尝=1 【62】x+3y-4=0 解斩：解法1：根据插圆的切线方程结论，椭园号+号->6)上一 点代，)处的切线方程为等+景1，所以稀圆子+买1上点 44 A)处的切线方程是三+=1，即x+3y-4=0. 解法2：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在 y-1=k(x- 设过4的直线方程-1=(-，由+3少1，消去y得关于 +4 x的方程： (3k2+1x2-6k(k-1)x+3k2-6-1=0」 令A=36c(化--40r+32-6-刂=0，解得上=故所求的切 线方程为：x+3y-4=0」 【63】3x-3y-1=0 解折：据法1：根招双自线的切点孩结论，双曲线云子-6>06>0)外 一点P()所引两条切线的切点弦方程是-=1.故双曲线 C:x2-y2=1外一点P(3,3)的切点弦方程为3x-3y=1,即 3x-3y-1=0. 解法2：设A(低，y,),B(xy,),易得两条切线的斜率存在，设PA的斜率为 则Ay-=-),联立方程，一 消去y得A-k)x2-2k0,-x)x-(%-6)子=1=0 因为A与双曲线相切，所以 △=4(0y-)子+41-2y,-kx'+4y,-x)'=0, 即40y-}+40-)=0,即k2x-26y+片+1-k2=0, 即(x-1)k2-26%++1=0 因为x-y2=1,所以x-1=y,片+1=x, 代入可得-2yk+x子=0，即0k-x=0,所以k=直 所以PA:y为(，即y=1 同理可得PB的方程为y=xx-1, 因为8司在切我以好上所似货 所以A,B满足方程3y=3x-1, 又由两点确定一条直线，所以A,B满足直线方程3y=3x-1, 所以过A,B的直线方程为3x-3y-1=0 故答案为：3x-3y-1=0. 【64】-专 解折相的地方程结色国云号1在去儿到处的切 线方程为行+1， 即4+5y-25=0,该直线的斜率为-专 【65】1 解析：解法1：根据抛物线切点弦结论，过抛物线x2=2p(p>0)外一点 P(x。,)的切线方程是xx=p(y+),所以直线AB的方程为 4x=2(y+2),即2x-y-2=0 [x2=4y 2x-y-2=0联立消y得，2-8x+8=0, 所以，x1+x2=8x2=8, 所以AF.BF=(←x1,1-y)(←x1-为)=(x,3-2xx23-2x,) =5xx2-6(x1+x2)+9=5×8-6×8+9=1 解法2：（求导）设A,B两点的坐标分别为(：(， 因为=4，所以=子行，儿分，又%= 所以切线以的直线方程为：y子宁《-)，化简符 y=- 因为经过点P(4,2),所以2x-片-2=0，同理可得，2x2-2-2=0, 所以点A,B的坐标满足方程2x-y-2=0,即直线AB的方程为 2x-y-2=0, [x2=4y 联立消y得，x2-8x+8=0 2x-y-2=0 所以，x,+x2=8xx2=8, 所以AF.BF=(←x,1-y)(x1-y)=(x13-2J(53-2x,) =5x2-6(x+x2)+9=5×8-6×8+9=1故答案为：1. 【66】[-4,+) 解折解法1：设点心.设个引个 ,根据抛物线切点弦 结论，直线MW的方程为2x=2(0+),即x-y-。=0 将直线MW与抛物线联立 -少-另=0得+5=4,55=4 x2=4y =-+)4+g-+好 16 气4 =5-2(6+5)+4+,看 -y。 西+广-22 16 4 + (16-8+6 =4。-4+6-4 =4y。-4+后-(4-2y)+ =-4+4y224 故答案为：[-4，+0) 则省线宁子直线W合号 x好 少之-4餐时 由 2 又P在直线x=2上，得x+x2=4. =6-6-5-4+ 16 16 [飞+广-44+6-4+_广-16≥4 16 16 4 故答案为：[-4，+0） 【67】D 解析：由已知可得F1,0),设M(区y),(x2y),A(3,) 则切线AM,AN的方程分别为+Y=1,+=1, 32 32 因为切线AM,AW过点A(3,t), 所以+受=1，名+受-1，所以直线0v的方程为+号1， 因为F00,所以1+0-1，所以点Fa.0)在直线w上， 2 所以M,N,F三点共线，所以IMF|+|WF|-|MW作0，故选：D 【68】D 解析：解法1：设P(-2,m),根据抛物线切点弦结论直线AB的方程为 my=2(x-2),即2(-2)-ym=0 则直线AB恒过定点Q(2,0) 点M(0,1)到直线AB的距离的最大值即为点M(0,)到Q(2,0)的距离 Mg=V2-o'+(0-1=5 故点M(0,1)到直线AB的距离的最大值为√5.故选：D 解法2：设P(-2,m),切点A(x,B(2) 由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为 在点A处切线方程可设为y=k(x-x)+ 则在点4处切线方程可化为y=二：-)+%，即2x-沙+2x,=0 由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为。 在点B处切线方程可设为y=k(x-x,)+”, 由数 y=k-x2)+2 可得+=0 侧在点8处切线方程可化为)2-+为，即2x-w+2,=0 又两条切线均过点P,则2(-2)-：m+2x:=0,2(-2)-片m+2x=0 则直线AB的方程为-4-m+2x=0,即2(x-2)-ym=0 则直线AB恒过定点Q(2,0) 点M(0,1)到直线AB的距离的最大值即为点M(0,1到Q(2,0)的距离 g=V2-o°+0-旷°=5 故点M(O,1)到直线AB的距离的最大值为√5.故选：D 【69】方 解析：设A(),B(),由题得切点弦方程为y=x+1(过焦点)， 因为过A的切线方程为号-千，令)=0则各小同理 倍0小所以品=1-， 又因为8w=到xd=2邱-方扑-， 所以△PaF与A0AB的面积之比为子 【70】D 解析：设A(x1,),B(22), 可得x=4%,x=4为 “以A为切点的切线方程为马：y-片=多(-x),即 y=-%一0 同理可得，以日为切点的切线方程为马：y=之-八一② 设过直线y=x-2上任一点为P(x。。) .Px。,)代入①②得 以= =26- 所以直线AB的方程为元=式，-少，即y=之-。， 又%-2，即y=后-小 AB过定点P(2,2), 当PF⊥AB时，F(O,)到！的距离的最大值 为：V2-0+1-2=5 当AB过点F时，距离的最小值为0.故选：D 【71】(1)空+兴=1：(2)证明见解析 解析：(1)类比上述性质知：切线方程为华+=1。 a2 B2 (2)设切点为A(,,B区)，点P3,), 由(1)的结论的AP直线方程：空+y=1,BP直线方 6 程：若+=1, ·3 +t=1 通过点P3,),.有 6 3+yt=1 AB满足方程：乏+=1， 6 [x ∴直线AB恒过点： -1=0 ,即直线AB恒过点(2,0) y=0 【72】(1) 2 =1(2)证明见详解。 4 3 解析：(1)N 图1 如图1，由已知可 得，hMl++h=M+hM+w+lwl=4a=8, 所以a=2. 又2c=2,所以c=1,b2=a2-c2=3 所议制相c做标流为程为芹号 (2)设A(13),B(22),T(8,) 则由已知可得，4行方程为：等+号=1，立方程为：￥+妥-1。 3 将T(8,)代入AT、Br方程整理可得 6x1+少1-3=0,6x2+少2-3=0. 显然A、B点坐标都满足方程6x+少-3=0， 即直线AB的方程为6x+y-3=0, 令y=0,可符x=片，即e点坐标为仔0 所以，为定点 图2 【31a号+512)5-2+6-0或6+2-=0 [a+c=3 19 解折：（1)依题意有+行山，a=2,b=5,c山， la'=b+c ∴椭圆c的方程为亡+兰-1 43 (2)设M(-4,),（。>0),A(,),B(x2),依题意有切线MA方程 为+义-1，切线B方程为+以=1，又切线都过M 4 3 4+3 点+学-1，+学1，方程 3 4 设AB与x轴交于点E,则有 ∠MDB=∠DOE+∠DBO,∴. 3+ tm∠MD8=a-0=4=43+2上45 （。4 此时%=25，同理根据对称性可求得。<0时%=-25 故AB方程为：√3x-2y+√3=0或V3x+2y-V3=0. 【74】(1)x2-y2=1:(2)证明见解析. b=b 解析：(1)依题意 2 6=1 .C:x2-y2=1: (2)设A(x,),B2,y),直线PA:y-y1=(x-x), 曲-得0--40--0--10， 直线PA与双曲线相切， .△=420y-}+41-k2)0y,-a,)2+40-k2)=0且1-k2≠0， ·40y,-x}+4(1-k)=0, k2x2-26+y2+1-2=0,即(x2-k2-2xy+2+1=0, 又x12-y2=1, x2-1=g2,2+1=x2, ·y-26y+x2=0k-x=0, ·站-x=0,则=立 直线A:y-y=王6-x),即y=-1, 同理，切线PB的方程为y=x2x-1, P(m,。)在切线PA、PB上， 网 ∴A、B满足直线方程yy=r-1,而两点确定唯一一条直线， 直线48wy=-1,侧当 m时，无论。取何值，等式均成立， 点（偏0）恒在直线AB上，故无论点P在何处，直线B恒过定点 【75】(1)动点P的轨迹是以(-√5,0)，(W5,0)为焦点的双曲线：(2) 证明见解析. V+E+y 解析：(1)由题可得 =√2 2 化简可得x2-y2=1, 所以动点P的轨迹是以（√5,0，(V2,0)为焦点的双曲线： (2)设M(y),N(y),由题可知切线QM,OW的斜率存在， 可设切线OM的斜率为k,则QM:y-片=(x-x), -可作-----a-10 所以a=[-2(0-了-4-k2-(0-6,广-=0 所以4(y-x+4-2）=0,即2x2-2x+片+1-k2=0 又-=1， 所以k-2+x=0,即(，-x)=0, 所以正=玉 所以QM:y-y=王(k-),即w=x-1, 同理可得QW:2y=x2x-1， 又©行在切线e,ow上，所以 21 =2-1 1 所以M(),,)满足直线方程=三-1上，而两点唯一确定 条直线， 所以0：y=-1片-2引，当x=2y=0时，=方-1恒成立 即直线MW过定点(2,0)， 【76】(1) 2+=1:(2) 2 解析：(1)设M(x,y),则7 上：5，化简符日：号+广1， -+y2 所以点M的轨迹8的方程为号+y1. (2)设P2,),A(y,),B(),则切线AP为+y=1,切线8P 为茎+=1 将点P分别代入得+=1 x2+y2=1 ,所以直线AB为m:x+y=1 点P到m的距离d=1+ =f2+1,当t=0时，dm=1. V+1 另一方面，联立直线AB与E{x2 行+1+-1o. 「x+y=1 所以 y+y=2+2 -1 则A=+产.，-+F.G,+,-4y 25w中 t2+2 当1=0时l5.所以8e4≥ 2 故=0时，8心最小值为巨 【77】B 解析：在阿基米德三角形ABP,若弦AB过抛物线焦点F,则PF⊥AB, 故选B. 【78】D 解析：法一：如图， P(-3,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上，故p=6,抛物线 C:y2=12x,又AB中点的纵坐标与P点纵坐标相等，即。=2，且AB 过抛物线的焦点；设AB方程为x=+3,代入抛物线方程得 y-12-36=0,故直线AB的斜率为3. 法二：由阿基米德三角形性质可知，PF⊥AB,因为P(-3,2)在抛物线 C:y2=2x(p>0)的准线上，所以p=6,故抛物线 c广，R80,,号号故直线他的斜率为3 【79】2 解析：易知△4MB为阿基米德三角形，AB过抛物线的焦点F,故 12 你上a,又w品片所以。 【80】B 解析：易知MW恒过焦点L,O),故选B. 【81】C 解析：抛物线x2=16y的焦点F的坐标为(0,4)，准线方程为y=4, 由题意知，△PAB为阿基米德三角形，可得P点必在抛物线的准线上， 所以点P2,4),直线5的斜率为4 =-4, 0-2 又因为F1柏，所以直线B的斜车为片 所烈直线A8的方程为少宁+4，即-+16=0，截选C 【82】ACD 解折：由题意设42pp< 由2，得y则了 p 所立如合 若弦AB过焦点显然直线加斜率存在，设AB所在直线为y=+号 联立x2=2py, 得x2-2p6-p2=0, 则x5=-p, 所以上知ka=P子 所以PA⊥PB,故A正确： 以点A为切点的切线方程为了三k-),以点B为切点的切线方 程为y- 左=26-x) 2p p 联立消去y得x=方+五 2 将x+代入22=- 2 得y= 2p ,故B错误 设W为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为xw=方十玉，因此直线PV平 行于y轴（或与y轴重合），即平行于抛物线的对称轴（或与对称轴重 合)，故D正确： 设直线AB的斜率为：=么-立= 2p 2px+x 2p 故直线AB的方程为y- 化简得(s+x2)r-2Py-x:=0,故C正确 故选：ACD. 【83】ABCD 解析：由x2=4y,焦点F(0,1) A:的方程为y=x+1,与抛物线联立，得r+1, 2=4,消去，得 y2-6y+1=0, 所以ya+y。=6,则|AB=y。+y。+p=8,正确： B:由抛物线焦点弦中通径最短，此时x4=x=1,则 |ABlm=x4+xa+p=4,正确： C:设1为y=么+1，与抛物线的方程联立，得红+1 x2=4y 消去得 x2-4%-4=0, 所以x4+xa=4化，x4xa=-4,正确 D:当AB的斜率为1时，结合C分析，则x4+x。=4k=4, 设过A的切线方程为)一式=-小，代入宁， 所以-4格-+4=0，△=16+4-16%.=0，则受 “过点A的切线方程为兰宁同理过的切线方程为 联立子，解得产，正确 2 故选：ABCD 【84】B 解析：法一：设P(6-,4气X)B,),因为广=，则过点A,8的切 线y手-.y草-产-0均过点川，则 -1手产61草受化，即名是方程 x1+x2=2x x2=-4 ，设直线AB的方程为 y=+b,联立 {4y,得-4收-4=0，则=-的=4，即 ly=kx+b 6=1,则3=2+[G+,-]+F =√后+4≥2，即△40B的面积的最小值为2，故选B. 法二：由题可知，△PAB为阿基米德三角形，P在抛物线的准线上，故直 线AB过焦点F,设A(,),(出)，直线AB的方程为y=6+1,联 、立红1，整理得2-46-4=0，则二4 儿=-4，则 Sa=,r-x=,x1x6+16=2WP+1≥2，当且仅当k=0时 取等号，故选B 第十二节 专题:圆锥曲线的核心二级结论及解题应用 237 学科网（北京）股份有限公司 ▍结论1:圆锥曲线的第二定义 1.圆锥曲线的第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,其中,定点为焦点,定直线叫做准线,常数叫做离心率. （1）当时,动点轨迹为椭圆 （2）当时,动点轨迹为双曲线 ③当时,动点轨迹为抛物线 注意:椭圆双曲线的第二定义,即椭圆,双曲线,抛物线统一定义 2.椭圆的第二定义 椭圆的第二定义:平面上到定的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆（如下图）,即. 定点叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线和右准线.注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线. 3.双曲线的第二定义 平面内到定点的距离与到定直线（定点在定直线外）的距离之比为常数（其中）的点的轨迹是双曲线.常数是双曲线的离心率.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线相应于定点的准线. （1）对于双曲线,左焦点对应的准线方程为;右焦点对应的准线方程为. （2）对于双曲线,下焦点对应的准线方程为;上焦点对应的准线方程为 【1】已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ） A. B.5 C. D. 【2】已知椭圆上一点到右准线的距离为,则点到它的左焦点的距离为（        ） A. B. C. D. 【3】设椭圆上一点到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则点到右准线的距离为（       ） A.6 B.2 C. D. 【4】如图,是椭圆上的一点,是椭圆的左焦点,是线段的中点,,则点到该椭圆左准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【5】（2022·南京六合月考）已知椭圆内有一点,是椭圆的右焦点,是椭圆上一点,则的最小值为_________. 【6】（2022·绵阳三模）已知双曲线C:－＝1（a＞0,b＞0）的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点,若,则C的离心率为（    ） A. B. C.2 D. 【7】已知双曲线的右焦点为是双曲线右支上一点,定点,则的最小值为_________. 【8】已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点,若,则的离心率为（    ） A. B. C. D. ▍结论2:与坐标有关的焦半径公式 1.椭圆的焦半径公式（坐标式） （1）,为点横坐标（焦点在轴） （2）,为点纵坐标（焦点在轴） 【证明】（第一定义）对于椭圆方程:,由椭圆上任意点及左右焦点、,得 ; 同理,; 根据椭圆方程知,,即故椭圆两个焦半径为,, 根据圆锥曲线的第二定义可快速简单进行证明,结合图像,长的为加,短的为减. 2.双曲线的焦半径公式（坐标式） 为双曲线的两个焦点,为双曲线上任意一点,则 （1）,.（焦点在轴） （2）,.（焦点在轴） 【证明】设, , 因为或,所以无法判断正负,所以,因为,所以. 【9】为双曲线的右支上一点,若点到右焦点的距离为,则_______. 【10】已知双曲线的左右焦点分别为,在双曲线的右支上线点,使,则点的横坐标为________. 【11】双曲线的左右焦点为,点在双曲线上,若,则点到轴的距离为________. 【12】（2022·四川凉山·高二期末）已知,是椭圆的两个焦点,点M在椭圆C上,当取最大值时,三角形面积为（    ） A. B. C.2 D.4 【13】（2022·广东海珠）椭圆的右焦点F,直线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【14】（2022江苏南京鼓楼期中）椭圆的焦点为,点P在椭圆上,如果线段的中点在y轴上,那么的值为________. 【15】椭圆的左、右焦点分别为、,点P在椭圆上,则的取值范围为_______. 【16】双曲线的左、右焦点分别为、,双曲线上的一点P满足,则点P的坐标为_______. 【17】设,为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若为直角三角形,则M的坐标为__________. 【18】（2019·全国高考3卷）已知,是椭圆的两个焦点,P是该椭圆上的一个动点,则的最大值为_________. 【19】设,是双曲线－= 1的左、右两个焦点,为左准线,离心率, 是左支上一点,P到的距离为,且满足,则此双曲线方程为_________. ▍结论3:与倾斜角有关的焦半径公式 1.椭圆的焦半径公式 如图,是椭圆的左焦点,是过焦点的弦且倾斜角为,点在轴上方,则, . 当是椭圆的右焦时, . 焦点弦长: 注意:正负也可通过弦的长短决定, 无需分左右焦点. 【证明】以左焦点为例,设左准线交轴于点,过点作轴于,作于,设为点到准线的距离,其中, 则. 由得,因此. 同理. 2.双曲线的焦半径公式 如图,是双曲线的右焦点,过焦点的弦倾斜角为,交双曲线同一支于,两点,点在轴上方,则 . 当是双曲线的左焦点时,则 焦点弦长: 注意:①正负也可由弦的长短决定,不必区分左右焦点. ②当直线与双曲线交于双支时,带入公式可得焦半径为负数,故为了统一焦半径公式,最后结果都取正数. 【证明】以右焦点为例,设右准线交轴于点,过点作轴于,作于,设为点到准线的距离,其中 , 则. 由双曲线第二定义得,因此. 同理. 【20】（2022·全国专题练习）过椭圆的右焦点作倾斜角为直线,交椭圆于两点（点在点上面）,则焦半径_______, ________,弦长_________. 【21】（2022·全国专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线,交双曲线于两点（点在下方）,则焦半径_______, ________,弦长_________. 【22】过椭圆的一个焦点作弦,若,则的值为（ ） A. B. C. D.与,斜率有关 【23】已知椭圆的左、右焦点分别为,点A,B在上,直线倾斜角为,且,则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【24】设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于A,B两点, 若 轴, 则椭圆的方程为___________ . 【25】椭圆的离心率为.设为过椭圆右焦点的直线,交椭圆于,两点,且的倾斜角为.则__________ . 【26】过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两个不同的点,且,则椭圆的方程为__________. 【27】已知椭圆,直线过椭圆的左焦点,交椭圆于不同的两点,,且,则直线的斜率为_________. 【28】（2024·全国高三专题）如图所示,过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于两点.若,则的值为 . ▍结论4:焦半径比例公式 设圆锥曲线的焦点在轴上,过点且斜率为的直线交曲线于A, B两点,若, 则,即. （椭圆,双曲线,抛物线均适用,抛物线） 若焦点在轴,则 【证明】过椭圆的左焦点,是过焦点的弦且倾斜角为,点在轴上方,根据焦半径公式,则, , 令,则, 整理化简得,及.对于不同的焦点及倾斜角,公式的正负会发生变化,为统一公式形式,可得. 【29】已知点是椭圆的右焦点,点是短轴的一个端点,线段的延长线交椭圆于点,且,则椭圆的离心率为 . 【30】经过椭圆（）的左焦点作倾斜角为的直线和椭圆相交于两点,若,则椭圆的离心率为 . 【31】已知椭圆的焦点为,过的直线与交于两点,过的直线与交于两点,若,则椭圆的方程为（ ） 【32】已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点,若,则双曲线的离心率为（ ） 【33】已知、为抛物线上的不同两点,为抛物线的焦点,若,则直线的斜率为（ ） 【34】已知双曲线的左、右焦点分别为、,过的直线与交于（其中点在轴上方）两点,且满足,若的离心率为,直线的倾斜角为,则实数的值是_________. 【35】已知为椭圆的右焦点, 过的下顶点和的直线与的另一交点为, 若, 则. 【36】已知双曲线,若存在过右焦点F的直线与双曲线交于两点,且,则双曲线离心率的最小值为（　　） 【37】已知以F为焦点的抛物线上的两点A,B,满足,则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（    ） A.2 B. C. D.4 【38】是双曲线的左、右焦点,过的直线与的右支交于两点,若,,则的离心率是________. ▍结论5:圆锥曲线第三定义及其推论 1.圆锥曲线的第三定义 平面内的动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点,当常数大于小于时为椭圆;当常数大于时为双曲线. 2.与第三定义有关的常用结论 【推论1】若为椭圆或双曲线的顶点,是椭圆或双曲线上异于的一点,若存在,则.（椭圆为,双曲线为） 【证明】（以椭圆为例） 如图,椭圆中,是椭圆的左右顶点,是椭圆上异于的一点. 在椭圆上,, 两式相减得, 即, 取中点,连接,则, , 由此知, 【推论2】若为椭圆或双曲线上关于原点对称的两点,是椭圆或双曲线上异于的一点,若存在,则.（椭圆为,双曲线为） 【证明】（以椭圆为例）如图, 设,,则, 则,两式作差得到, , 取中点,连接,则, 由此知 【推论3】已知为椭圆或双曲线上任意两点, 是的中点,则.（点差法即可证明） 【推论4】直线与椭圆相切于点,连接,则（可通过推论3,利用极限思想,当无穷接近点,可证明） 【39】过点作斜率为的直线与椭圆相交于, 两点,若是线段的中点,则椭圆的离心率等于____________. 【40】己知斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且的中点为,则双曲线的离心率为__________. 【41】椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线斜率的取值范围是, 那么直线斜率的取值范围是. A. B. C. D. 【42】已知椭圆C:,点A,B为长轴的两个端点,若在椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率的取值范围是__________. 【43】设分别为椭圆的左、右顶点,若在椭圆上存在点,使,则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） 【44】已知为椭圆的左右顶点,为椭圆上异于的点,,的斜率分别为,且,则该椭圆的离心率为_______. 【45】已知是双曲线 的两个顶点,是双曲线上异于的另一点,关于轴的对称点为,记直线,的斜率分别为,且,则双曲线的离心率为________. 【46】双曲线的离心率为,点,是双曲线上关于原点对称的两点,点是双曲线上异于点,的动点,若直线, 的斜率都存在且分别为,则的值为___________. 【47】双曲线的两个顶点分别为,,点为双曲线上除,外任意一点,且点与点,连线的斜率为,,若,则双曲线的离心率为（       ） A. B. C.2 D.3 【48】已知A,B,P是双曲线上不同的三点,且点A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积为,则该双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 【49】已知A,B,P是双曲线上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积为,则该双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 【50】已知双曲线:,点,分别为的上、下顶点,点为上异于和的一点,直线,的斜率分别为,,若,则的渐近线方程为（       ） A. B. C. D. 【51】双曲线的左右顶点为,过原点的直线与双曲线交于两点,若的斜率满足,则双曲线的离心率为_________. 【52】设双曲线的顶点为为双曲线上一点,直线交双曲线的一条渐近线于点,直线和的斜率分别为,若且,则双曲线离心率为（ ） A.2 B. C. D.4 【53】已知直线的斜率为1 ,与双曲线相切于第一象限于点, 则点的坐标为 _____. 【54】如图,已知椭圆,过原点的直线交椭圆于点,两点（其中点在第一象限）,过点作轴的垂线,垂点为,连并延长交椭圆于,若,则椭圆的离心率为____. 【55】如图,已知椭圆的左右顶点为,,为第一象限内一点,且,连接交椭圆于点,连,,若,则椭圆的离心率为 __________. 【56】已知点A、B为椭圆的长轴顶点,P为椭圆上一点,若直线PA,PB的斜率之积的范围为,则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【57】过点的直线与椭圆交于两点,且点平分弦,则直线的方程为（　　） 【58】已知双曲线上存在两点关于直线对称,且线段的中点在抛物线上,则实数的值为（　　） 或 或 【59】过点作直线与椭圆交于两点,则的中点的轨迹的方程为______________. 【60】已知椭圆的离心率为,直线与相切于点,则椭圆的方程为 . ▍结论6:切线与切点弦方程 1.椭圆的切线及切点弦 （1）椭圆上一点处的切线方程为. （2）椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. 2.双曲线的切线及切点弦 （1）双曲线上一点处的切线方程是 （2）双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 3.抛物线的切线及切点弦 （1）过抛物线上的点的切线方程是. （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）过抛物线上的点的切线方程是. （4）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 证明切线方程:以椭圆为例 设所求的切线方程为, 代入椭圆方程得,即 ①,因为直线与椭圆相切,所以方程①有相等的两个实数根,因此化简得②,因为点在椭圆上,故,方程②的判别式 .故方程②有相等的两个实数根,且其根为:.则切线方程为, 即. 证明切点弦方程:以椭圆为例 设,根据上一条结论,过椭圆上一点的切线方程为,同时直线过点,所以,同理可得,可以得到,直线分别过点,满足上述方程组,所以直线的方程为. 【61】（2022·全国高二专题练习）设是圆:上一点,则圆在处的切线方程为,由此类比可得到的正确结论是:设是椭圆:上一点,则椭圆在处的切线方程为 . 【62】（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点处的切线方程是 . 【63】（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线: 的两条切线,切点分别为,求直线的方程 . 【64】（2022·全国·高三专题练习）椭圆上一点的切线的斜率为 . 【65】（2023·全国·高三专题）已知抛物线的焦点为F,过点向抛物线作两条切线,切点分别为,则 . 【66】（2023·河南·校联考模拟预测）过直线上一点作抛物线的两条切线,切点分别为.则的取值范围为 . 【67】（2021·浙江）已知为椭圆的右焦点,点是直线上的动点,过点作椭圆的切线,,切点分别为,,则的值为（    ） A.3 B.2 C.1 D.0 【68】已知抛物线,点P为直线上的任意一点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,则点到直线AB的距离的最大值为（       ） A.1 B.4 C.5 D. 【69】过点作抛物线的两条切线,切点分别为,,,分别交轴于,两点,为坐标原点,则与的面积之比为___________. 【70】已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,,则点到直线的距离（ ） A.无最小值 B.无最大值 C.有最小值,最小值为1 D.有最大值,最大值为 【71】已知经过圆上点的切线方程是. （1）直接写出经过椭圆上一点的切线方程; （2）已知椭圆,P为直线上的动点,过P作椭圆E的两条切线,切点分别为A､B,求证:直线过定点. 【72】已知椭圆C:的焦距为2,,分别为其左,右焦点,过的直线l与椭圆C交于M,N两点,的周长为8. （1）求椭圆C的方程; （2）已知结论:若点为椭圆C上一点,则椭圆C在该点的切线方程为.点T为直线上的动点,过点T作椭圆C的两条不同切线,切点分别为A,B,直线AB交x轴于点Q.证明:Q为定点. 【73】（2023·河南信阳一模）已知过点的椭圆上的点到焦点的最大距离为3. （1）求椭圆C的方程; （2）已知过椭圆上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点,过M点作椭圆C的两条切线MA,MB,A,B为切点,AB与OM（O为原点）交于点D,当最小时求直线AB的方程. 【74】已知双曲线的两个焦点为、,一条渐近线方程为,且双曲线经过点,. （1）求双曲线C的方程; （2）设点在直线,,且为常数）上,过点作双曲线的两条切线、,切点为、,求证:直线过某一个定点. 【75】（2023·全国·高三专题练习）动点到定点的距离和到直线的距离之比为, （1）求动点的轨迹; （2）设点,动点的轨迹方程为,过点作曲线的两条切线,切点为,求证:直线过某一个定点. 【76】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点到直线:的距离和它到定点的距离之比为常数. （1）求点的轨迹的方程; （2）若点是直线上一点,过作曲线的两条切线分别切于点与点,试求三角形面积的最小值.（二次曲线在其上一点处的切线为） ▍结论7:阿基米德三角形的常见性质 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. 注意:对于阿基米德三角形问题,对于绝大部分同学只需要了解过焦点的阿基米德三角形的常见结论即可. 【77】已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点,且.过两点分别作抛物线的切线,设其交点为,则的值为（ ） 大于 等于 小于 无法判断 【78】已知点 在抛物线 的准线上,过点 的直线与抛物线相切于 两点,则直线 的斜率为（ ） 【79】已知点和抛物线, 过的焦点且斜率为的直线与交于两点. 若, 则. 【80】 过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线, 若切点分别为, 则直线恒过定点（ ） 【81】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家,不仅在物理学方面贡献巨大,还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点,处的切线交于点,称为“阿基米德三角形”,当线段经过抛物线焦点时,具有以下特征:（1）点必在抛物线的准线上;（2）为直角三角形,且;（3）.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,过点,处的切线交于点,若点的横坐标为,则直线的方程为（    ） A. B. C. D. 【82】（多选）如图,为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点, ,以A,B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论,其中正确的为（    ）    A.若弦过焦点,则为直角三角形且 B.点P的坐标是 C.的边所在的直线方程为 D.的边上的中线与y轴平行（或重合） 【83】如图所示,抛物线,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设, ,,则下列结论正确的有（    ） A.若AB的斜率为1,则＝8 B. C. D.若AB的斜率为1,则 【84】在平面直角坐标系中,已知抛物线,点是的准线上的动点,过点作的两条切线,切点分别为,则面积的最小值为（ ） $