求圆锥曲线的轨迹方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆锥曲线轨迹方程的六大核心方法，从直接法到交轨法层层递进，构建清晰的知识脉络。通过典例引导与分层练习衔接，以问题链驱动学生思维进阶，形成由浅入深的学习支架。 资料亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与建模意识的核心素养。如定义法求轨迹中巧妙转化几何条件为标准方程，展现数学眼光；点差法处理弦中点问题时运用代数运算揭示内在结构，彰显数学思维；参数法结合动点运动规律建立坐标关系，强化数学语言表达能力。实例丰富且贴近高考命题趋势，既助力学生掌握解题策略，又提升教师课堂效率与教学深度。

第十一节专题：圆锥曲线的轨迹方程 重点题型专练 【1】D 解析：设动圆M的半径为x,依题意：MF=r-1, 点M到定直线x=2的距离为d=r-1, 所以动点M到定点F(-2,0)的距离等于到定直线x=2的距离， 即M的轨迹为以F为焦点，x=2为准线的抛物线， 所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=-8x,故选：D 【2】A 解析：因为√(x-1)2+y2+Vx+)2+y2=2,表示点Pc,y)到两点 L,0),F(-1,0)的距离之和为2，又|E=2,则点P的轨迹就是线段 R.故选：A 解析：由Q:c+2)2+y2=1,即Q(2,0),半径为1， O:-2)2+y2=49,即0(2,0)，半径为7， 有0=2-(-2)=4<7-1=6， 故圆Q,与圆Q,为内含关系， 设动圆M半径为r,由动圆M与圆O,:(x+2)+y2=1外切，故 MO =1+r, 由动圆M与圆Q,:(-2)2+y2=49内切，故M0=7-, 又圆O与圆Q,为内含关系，故点M在圆Q,内部，故 o=7-=7-r, Mol+MoJ=7-r+1+r=8>l001, 故动圆圆心M的轨迹为以Q(-2,0)、Q(2,0)为焦点，8为长轴长的椭 圆，则半长轴长为4，半短轴长为√42-22=2√5，故动圆圆心M的轨迹 方程为后1.放答奖为后1 1612 【4】x2=12y 解析：由题意得直线：y=-1,且圆W:x2+(y-3=4 设圆M半径为，则点M到'：y=-3与点M到点W的距离相等，都是 r+2,故点M的轨迹是以W为焦点，以'为准线的抛物线，故方程为 x2=12y.故答案为：x2=12y 【5】 421 解析：已知圆V:(x-4)+y2=16圆心W(4,0),半径为4 动圆圆心为P,半径为r, 当两圆外切时：PM=rPW=r+4,所以PM-P=-4: 当两圆内切时：PM=r,PW=r-4,所以PM-PW=4: 即PM-P=4,表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲 线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且2a=4,2c=8, 6=-云-可-26，所以锁迹方程为：子台1， 【6】--≥刘 解析：由题意可知：圆C的圆心C(-3,0),半径=3，圆C,的圆心 C(3,0),半径5=3， 设动圆半径为r,由条件可得MC=r+3,MC=r+1,即 MC-MC,=2<CC =6, 则根据双曲线的定义可知，点M是以C,C:为左右焦点，以2为实轴长 的双曲线的右支， 则a=1,c=3,可得b2=c2-a2=8, 所以曲线c的方程为2-云=（之 1号1 解析：如图所示： :P是圆耳上一动点，点F的坐标为(3,0)，线段PF,的垂直平分线交 直线PF于点Q, lOPl=101,0R1-5=051-l0P=1, P是圆上一动点，∴P=4,∴e-r=4, .E(3,0),E(-3,0),=6>4, ∴.点Q的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且a=2,c=3,得b=√5 点Q的锁迹方为兰号1 解析：2+0+3}+V2+(0-3=45可看作4(，)到(0.3)(0.-3列 的距离之和为45，由于4√5>6，所以点M的轨迹是以(0,3(0，-3)为 焦点，长轴长为45的椭图，即音+号-1 1号+ -=1 解析：因为==x+yi且++-=4，所以 2+0+1+V2+6-=4>2, 所以二在复平面内的轨迹是以(0，-1)和(0,1)为焦点，2a=4为长轴的椭 圆所以：的轨连方程为苦号1微答奖为：号+号1 3+4 【10】二+=1 94 解析：复数=在复平面内所对应点P(,y), 又+5+--6， 2++5可+2+-5可-6， 即点P(,)到点A(0,-√5)，和B(0,-√)的距离之和为6，且两定点的 距离为2√5<6， 故点P的运动轨迹是以点A,B为焦点的椭圆，且2a=6,2c=2V5 故b=√a2-c2=2 ÷复数：在复平面内所对应点()的轨达方程为：亏+行1 故答案为：。+二1 94 【11】x2+y2=16 解析：设P(x,y), ∴，PM=(-2-x,y),PW=(2-x,-y),因为PM.PW=12,所以 x2-4+y2=12,即x2+y2=16 【12】y2=8x 解析：设P(x,y),圆P的半径为R,由题可知，点P在直线x=-3右侧， 因为圆P与定直线x=-3相切，所以R=x+3 又圆P与圆F外切，所以RPF1+1=Vx-2+y2+1, 所以x+3=-2+y2+1,化简得y2=8x,即E的方程为y2=8x. 【13】+2=1 84 折设，曲题e-平怎--+-g k-4 2 化简符+1，即的方程为+片1.放答为：+子1 【4】于+21回 解析：设P(xyx≠±√2 由wt=》军 y x+V5x-2=2 整理得号+y1:同。 故动点P的轨迹C的方程为号+y广=1()， 故答案为：号+1 【15】+ 16*21 解析：设P(x,y）,则C(8y) 由c+0):Pc-0-0,得41Fof=P@, 即4-2+门[-+6-门化简得忘后1 所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为亡+上 621 故答案为：+上 【16】(x+6)2+y2=48 解折：设P),因为动点P到点O0)和42,0)的距离之比为互 所以G-0°+0-09 5x2+y2 3 V-2+0-0y2’(x-2y+=4, 即：4x2+4y2=3x2-4x+4)+3y2, 所以x2+y2+12x=12,即(x+6)2+y2=48, 所以点P的轨迹方程是(x+6)2+y2=48 故答案为：(+6)？+y2=48 【17】(x+3+(y+4)=25(在圆C内的一部分) 解析：设P(x,y),根据线段MW的中点为P,则CP⊥W,即CP⊥AP, 所以乎.AP=0,又A(-6-8),C(0,0),AP=(x+6,y+8),⑦=P(xy), 所以x(x+6)+0+8)=0,即(x+3}'+(心+4=25 所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分 【181-1 45 解折：设点，)，所以M-G-矿+，M到直线x=专的距离 √6-32+y2 由题意得 4 号即+非 所以-+y=6+-8,整理得-号1 49 3》 45 所以点的迹方程为号1 【19】x2=4y 解析：设M红，y),因为动点M到定点A(0,1)与定直线：y=3的距离之 和为4， 可得√F+0-1+y-3非4， ①当y≤3时，有V2+0-1=y+1,化简得x2=4y: ②当y>3时，有√x2+0-12=7-y,化简得x2=-12心-4)， 综上所述：点M的轨迹方程为x2= 「4y,y≤3 -12y-4),y>3 【20】y2=4,20 0,x<0 解析：设点P的坐标为(x,y), 因为动点P到定点F(L,0)的距离比到y轴的距离大1， 所以Vx-1+y2=+1 即广=2+州.广-0”动点少筒轨造方为，之0 0,x<0 「4x,x≥0 故答案为：y2 l0,x<0· 【21】x2+心+5a=4a2,0<y≤2-V5)a 解析：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立平面 直角坐标系， 则(-a,0),c(a,0),A05a,设P(x,y) 因为P=(+a+y2,lc=(x-a+y2,p4=x2+-5a, 而24=P+Pc， 则x2+y-5a=(+a+y2+6-a)+y2, 化简得x2++VBa)=4a2 由题意知0<y≤（么-5）a 所以点P的轨迹方程为++√3a=4a,0<y≤(2-5)a y本 C 【22】+少 6561 解析：设圆心M的坐标为(x,y),圆的半径为”，点M到1、1，的距离分 别为d、d, 则+13=r2,d+122=r2,得d好-d=52. 题意可得：d=2-+24,=3-2+到，即 V13 13 (3x-2y+3(2✉-3y+2 -=25 13 13 化简得2+2x+1-y=65.即区+二1 6565 故答米为：任+少-二1 6565 x2+6x-20 【23】y=2 解析：设动点的坐标(x,y),点P坐标 (x),A=(x-2y)P☑=(2-x,), 因为A0=2P4,所以x-2=2(2-x),y-0=2(0-y） 代入=1，--(1，整理得7宁+6-20 所以动点2的轨迹方程为y=子产+6x-20。 故答案为：y= x2+6x-20 2 【1+号1 解析：设点M,), 由O函-丽得点P2,2),面点P为椭圆5+长1上的任意一点， 2516 于是得2g+2以=1，整理得：4+二=1， 25 16 254 所以点的轨连方精是行+片1.放答米为：三+片1 【2s1号+1 解析：设P(x,y),A(m,n),则B(,0) 因为P=A,则亚=函， 3 则0)m-),可 om- ,1 解为即46 y=3” 因为点A在圆产+y=9上，则+9y=9,即+少=1， 9 【261+后l 解析：设A2x),B(,-2:),M,) 因为业为出的中点则色产写)小放=兰，5-5， 2 又因为4=6-x'+(2x+2,)广=16，所以y2+4x=16,即 +后1，所以点N的铁法方智为：+后山 16 【21+r1 解折：双线方程为)广一子1，从而其新近线方程为，-主互 2 设A(,B(2),线段AB的中点M,), 从而2y=另+y2= 26-),2x=x+5=5(%-为)， 由51A8卡V得5V区-x广+，-y)=E25, 所以25+W5时=，即+=1， 则M的轨迹C的方程为￡， 94+2=1 【1号+1 解析：设P(x,y),不妨令A(x,0),B(0,y) 正方形ABCD的面积为16，则AB=4,则x2+2=16, 由o丽=+丽，可得{ 3 =2=2y 则)+=16,能得若+ 94 【29】x2+9y2=10≠0) 解折：只民分别为椭圆8号+广1的左、右焦 点，F(-2√2,0)，E(2√2,0) 设G(x,),P(m,n),G点是三角形P耳瓦的重心 k- -2W5+2W5+m 则 3 =0+0+n 3 又P是椭圆E上一动点， x) 9 (3}=1,即x2+9y2=1,又G点是三角形PR的重 心，y≠0，所以点G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0) 【30】5x2+y2=36(x≠0且y≠0) 解析：设点N(心，)，因为=6，所以有x。2+y。2=36,因为 成-5o吸，所以有5怎w.由随意可 知：40,5 %)，N0,因为M与4不重合，V与N不重合，所 以0且%0，画+哪（誓小(9小 设7儿功.因为厅=画+网，所以有=-5=%，而 x。2+y。2=36,所以5x2+y2=36,又因为x。≠0且y。≠0， 故答案为：5x2+y2=36（x≠0且y≠0)。 【31】(①)证明见解析，：(2)三+=（≠0） 解析：(1)由题意可知A(0,V2),A(0,-√2) 设点P(。),显然 42 4 22” k=5x52行为定值 x。 A (2)设点Q(x,y),x≠0， Q41叫，由于%≠反，k%=-6 %-2 ∴Q4的方程：y=- %-2+5@. 41PAk4=- %+迈 %+及-5② “叫的方程：y=-。 由O②联立可得：x=公-2.-立 X。 2' 代入①可得y= 。一×8-2+5=-+5+5=-y %-。 即点空网 低点P小满是孚学1 42 :代入可得二+=1点9的轨迹方程为：二+=1≠) 2 解析：设点P(。),先证明椭圆G在点P处的切线方程为 +=1. 86 +=1 联立 86 ,可得x2-2x。x+x6=0,△=4x-4x=0 6 =1 故椭圆C,在点P处的切线方程为女+岁=1 86 设点M(,片)，再证圆C2在点M处的切线方程为xx+yy=24 当直线OM的斜率存在且不为零时，=立，圆C,在点M处的切线 X. 斜率为正=立 圆C,在点M处的切线方程为y-y,=-王(-x),即 x,x+y=x+y2=24 当直线OM的斜率不存在且为零时，在点M处的切线满足上式。 设点(s2·),则圆C在点N处的切线方程为x,x+2y=24 a小西偎 ∴点M、N的坐标满足方程x+y=24, 故直线W的方程为r+y=24 由于直线r+心=24与直线g+y=1重合， 86 即直线x+ny=24与直线3xx+4y=24重合， 4%,知 m=3x。 3 4 由于点P在桃同6上则营+营1，即受+纪1 86 因此点Q的锐述方程为芳+名1. 【3】+4y=0( 解析：设弦的两个端点分别为P(x,),Q(x22),P9的中点为 M(,y). 则号+对10，号+片=1② 2 2 0②得：，支+-为)=0 2 为+五+当(0+y)归0 又x+x=2x,y+y,=2y,4-五=2，x+4y=0. x1-x2 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， x+4y=0 故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：x+4y=0(号≤x≤ 【34】3x2+4y2-3x-4y=0 解折：设4()，弦AB的中点F6),则臣5=2 %+y2=2y1 +生=1 将A,B代入椭圆方程得 3 +生=1 43 两式相减得伍+6-++--0， 3 所以6+2心-）-0 2 3 x2y(-y2 当x≠，时，2 3(x-x2) 20字学 因为=ka,所以业=y- 整理得3x2+4y2-3x-4y=0(x≠1)： 当5=x时，则直线AB方程为x=1,代入椭圆方程解得 4}引 所以F(1.0)满足上述方程，故点F的轨迹方程3x2+4y2-3x-4y=0. 【35】=-(5<x<) 解析：设斜率为；的直线方程为y=宁+6，与椭圆的交点为 A(少)，B(2y) 设中点坐标为小.烟学号学之 X-X2 2 += 所以 4 32 ,两式相减可符任-西+过(-为，+)。 + 4 +山-.+，即y=月 4 X1-x2 由于在椭圆内部，由 日得号+s+62-1=0, 2 所以△=2-2(62-1)=0时，即b=反直线与椭圆相切， 此时由子5x+1=0解符x=5或x=万， 所以-√5<x<2 所求得轨迹方程为=三(5<x<2) 故答案为：y=-(5<x<万) 【36】(x-62-y2=4 解折：-y=2,即号号1，放(20叭.32o0叭，设 M(x,y),A(x乃)，B(x22）. 则M=(x+2,y),FA=(玉1+2，y1),FB=(2+2,y2),F0=(2,0), 自孤+系+充化 即5+x4 +y:=y 于是AB的中点坐标为 当A8不与x轴垂直时，立= 2 %之g)小 又因为A,B两点在双曲线上，所以x-y=2,-y=2, 两式相减得(，-x)x+x2)=(-乃2)y,+2),即 (区，-x2x-4)=(3-2)y 将=产g-)代入上式化简得--产=4。 当AB与x轴垂直时，x=x2=2,求得M80),也满足上述方程。 综上所述：点M的轨迹方程是c-6)2-y2=4. 31苦+r= 解折：令=5caa7=血6，所以方to8=由0，故 +=o0+血0=1，进而兰+产1，益答米为：兰+1 【38 28 =1 解析：因为A(2cos0,4sim0),B(2sin0,-4cos0), 所以AB中点坐标为(2im0+2c0s04s血0-4cos9 2 2 (sin+cos0,2sin0-2cos0) 设点(x,y)为线段AB的中点轨迹上任一点的坐标， 下=如0+c0s0 x=sin0+cos ly=2smn0-2cos0' =sine-cose (2 2+y2 =(m8+cos0旷+(m0-cos0}2=2, 即当R队线服的中点载连方程为宁·三1， 故答案为：亡+卫=1 28 【39】x-2y=0 解析：圆x2+y2-4-2y+32-4=0化为(x-2)2+0y-t)2=22+4,它 表示以(2t,)为圆心，√22+4为半径的圆， 设圆心坐标为化)，于是得=2(：为参数)，消去t得：x-2y=0, y=t 所以所求圆心轨迹方程是x-2y=0.故答案为：x-2y=0 【40】y=x(1-x)(0≤x≤1) 解析：设D0,m0≤m≤1)，则EL,1-m), 所以直线AD的方程为x+之=1， 1 直线DB的方程为：y=1-m)x,设G(x,), 则由+之=1 可得=m y=(1-m)x y=(1-m)m 消去m可得y=(1-x)x(0≤x≤1). 【41】x2+y2-x=0(x≠0) 解析：联立：x=my+1与C:x2+y2=4得：（m2+1y2+2y-3=0, 设A(),B(x2,乃2)，M(。y%) 3 则+ 2m2 x1+x2=my+y2）+2=- *1*22 m2+1 6当51 故。=乃+业=-m 2m2+1 1 m） 所以点M的坐标为m+m+' +0,y=-m 令x= 两武相除可得：m=子 代入x=中，消去m可得，+y-=0 由于x≠0，故y≠0，即去除原点， 则点M的轨迹方程为：x2+y2-x=0(x≠0) 【42】4x2+y2-y=0 解析：直线l过点M(O,),点M在椭圆内部，所以直线1总与椭圆相交 当1的斜率存在时，设斜率为k,则1的方程为y=x+1. 「y=a+1 联立直线与椭圆的方程 +公1 4 消去y得(4+k2)x2+2-3=0, 2 设A6,）、8),则+不，=4+F, 则月+y2=+)+2=4+ 8 于是@+（生(4） 2 -① 设点P的坐标为(x,y),则 4+2 y= 由①：②得k= y -,代入②整理得4x2+y2-y=0③ 当1的斜率不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③， 所以点P的轨迹方程为4x2+2-y=0. 【43】y2=p(x-2p) 解析：设直线OA的斜率为(+0)，则直线O阳的斜幸为号 :直线OA的方程为y=x, 联立方程=： x= 2p )=2r·解得， 2 ,即429,22). 2p k 同理可得B(2p2,-2pk). 由中点坐标公武得名+是小，即 ,消去正得 _B-pk = y2=p(x-2p)∴.点M的轨迹方程为y2=p(r-2P) 【44】y2=x-3 解析：设直线AB的方程为y=(x-1),设A(y),B(x) 联立2=4 产{=代-）得-(2+4x+=0, 得5+52#2+合 2 所以A3中点的横坐标为1+名，纵坐标为)y=+子-是 即+后)将：换成得N1+2业，-2， 22 得aw的中点三的壁标为：安+r片小】 =1++ 即{ ,得y2=x-3, 【45】y=2x(x>8或x<0) 解析：由焦点F到准线的距离为2，可得抛物线C:x2=4y· 由产=4y可得y= 4 设在浮)处的切线方程为y-手(-) 4 联立y-上=-x),解A=2-6+王=0→k- 4 2 2=4y 所似在)处的切线方程为兰产-).即兰手 同理在点，享)处的切线方程为y=号-至 24 x=+ 「 y= 联立 2 2,即M玉+型】 2”4 y=24 4 x2=4y 联立直线与抛物线方程：=(-4)，消去y得-46+1=0， 由题△=162-64k>0→k>4或k<0 由韦达定理，x+x2=4,x2=16,, 得M(2k,4),其中飞>4或k<0,故点M的轨迹方程为：y=2x(x>8或 x<0).故答案为：y=2x(>8或x<0) 【46】x=-a 解析：设点A(xy)、B(2), 若直线AB与x轴重合，则直线AB与抛物线y2=2Px只有一个交点，不 合乎题意 设直线AB的方程为x=+a,联立 x=w+a,可得 ly'=2px y2-2py-2pa=0, △=4m2p2+8pa>0,由韦达定理，可得片+%2=2p,yy2=-2pa, 显然抛物线y2=2x在点A处切线斜率存在且不为0， 设其方程为y-八=2p) [y:=2px 一足，消去x并整理，解 y-=*-2p △=4y02-8y,k+4p2=0→k=2 抛物线户2匹在点A处切线方程为y-方名 =m+ 2 同理抛物线y2=2r在点B处切线方程为，y=Pr+空 2 =px+ 2 而≠2，由 =r+ ,解得x=-a,y=当+ 2 2 于是得两条切线的交点在直线x=一a上， 又y=当+立eR,所以两条切线的交点的轨迹方程为x=-口 2 故答案为：x=-a 【47】y=-1 解折：设以小引引 易得F(0,1),由题意知直线MW的斜率一定存在， 则设直线W的方程为y=+1(化eR), 联立4，得x2=4-4=0 △>0，所以x+x2=4k,x不2=-4. 设切线的方程为y-王=收-5)， 联立少三-解△=-6+4=0= 4 x2=4y 所以在M,4 处的切战方程为y-手-小，即 同理可得切线名的方程为y受一享② 解得x=当+玉=2业， 2 代入①得，y=-王五+五正-线=1 22 44 所以点P的轨迹方程为y=1. 【48】x=4 解析：根据题意可得A(-2,0),F(2,0),设直线 l:x=y+1,E(x1,%),F(x2,y2）), +y-1消去x得：++2网-3-0 x=y+1 联立方程{x2 2m 3 .+y2=- m+4=m+4 根据翘意可得省线42：y产2+2)，9取：y-2) x2-2 y+ 联立方程 ,解得 2- x= -4yy+2y-6y2=-4+26y+,)-8y2 -y-32 -(y+y2)-22 ,为+2= 2m m+4水=- 3 m+4 -=4 ∴.P点的轨迹方程为x=4 【o1++ 解析：联立两直线得 心+=x2,将这两式相乘，消去参数m得 y=-m(+2) y+1)=-(+2x-2) 117 即+y+y-4=0,可得轨迹方程为++)=子 1217 故答案为：++2)4 【50】2x2+y2=1(x≠0). 解折：令少=么+1,6少=子-1 则直线{的斜率女=上，直线马的斜率女，=-是，所以←女，=-2 易知1过定点A(0,1),1,过定点B(0,-1). 令与，的交点为P(x,),因为飞，飞存在，所以x≠0， 所以飞=二1，飞= x 所以k=2.中2，整理得22+y=1, 所以交点P的轨迹方程为2x2+y2=1(≠0). 【51)-号=1(x*) 2 解折：由椭圆号+二1方程可知：a=2,则4-2,0,820)。 4+2 设6e(2,则e6w小，则孚受1， 线A的方程为：本。+，直线0的方程 为：y= -66-2), x0-2 两式相乘可得y=二-， x。-4 2 以直线AP与直线B0的交点M的轨迹方程是4-，=1(x≠±2 M 解析：设A(,y)B(x,-),又4(-a,0),A2(a,0), 则直线44的方程为y=(k+)①：直线48的方程为 x+a 产-a.@ 由①②得：y2=- -@ 由点4)在椭圆C,上可得：三+答-1 方=)代入@得号三<@0 32 9 【539】（-8+=a 解析：设直线AB:y=(-),A(,),B(), 2+=1 联立直线与椭圆方程43 消去y =k(-) 得：(3+42)x2-82x+42-12=0, 8k2 4k2-12 则+水3中证，码=3计4胶 :+五=4 42-3北） P的坐标为3+护3+小直线OPy= ③， 直线AB方程y=(-)中令x=0得y=-k,E的坐标为(0，-)， 因为直线吧LOP.心2的直线方程为少华x-卡@ 将@0联立相柔得到+子，即〔-司+广产云 3 【54】a2y2+b2(2-c)=0 解析：(1)当ka=0时，M(0,0) (2)当ka不存在时，M(c,0) （3)当AB斜率存在且不等于0时，设A(xy),B(x,乃2)，则 两式相减化简得： -,+ 63 G-司+，即。.如= 设上e=t,则w=- 62 48:y=-c以oMy=2.两式相乘得：y+6(-)=0 显然(0,0)，e,0)也满足上式，所以M的轨迹为a2y2+b2(x2-cx=0 解析：显然，kp存在且不为0，设kAP=k2=k,则lgy=,故 ye=4k,即(4,4) 又a0,则兰 进面兰-0。 又由椭圆中的“重径定理”烟：如。=会-一寻 两直线方程相乘，得y2=-x(:-1) 化简得(+片 12 即点在司+上 【56】x2+y2-2px=0(x≠0) 解折：设0Ay=么，则o8:y=- {亿符4号同理a0-2) y=2px 1+k +2t 1-1-F 2 4:42名-e)点器 2 2pkk 2pk k y-2t-11-2)0 而OP:y= 1-2 ..② =1-F6-2p@ ,P为AB与OP的交点，联立①② = 1-2 x(2) ①×②消去k, y2=-(x-2p)x,∴.x2+y2-2px=0(x≠0)，即为所求 【57】x2+y2=3 解析：设点P(xy。), ①当两条切线斜率均存在时，设其中一条切线为y=(x-x。)+y。,另一 条为y=k(x-x。)+y。 联立方程 +y2=1 2 ,消去P得 y=k(-x。)+ 〔e+}+26+6-a广-10， ÷46-,广-e+号-点广-0 脚-e+w+-0 则5，与是方料引++0-)0的同个不等实银 转0 1- 又，两条切线相互垂直， .kk2=-1, : =-1 整理得x。2+2=3, 即点P的轨迹方程为x2+y2=3, ②当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴 与短轴的端点， P的坐标为(2，，把点P(巨代入x2+2=3亦成立 综上所述，点P的轨迹方程为：x2+y2=3。 【58】x2+y2-4x=0(x≠0) 解析：解：易得直线OA,OB的斜率存在，设OA,OB的直线方程分别为 4 X= x=0 直线OA和抛物线联立得 y=kx 解得 a或 ,所以 y2=4x =0 以4为直径的图的图心为侣引，半径为)) 所以以4为鱼轻的圆的方程为会合)(-)-（侣）+ 所-门-到-餐 }) 所以2(x2+y2)-4x-4=0① 同理，以是代替：可得以O8为直径的圆的方程为 x2+y2-4k2x+4y=0②， ①+②得(1+2)x2+y2-4x=0 1+2≠0，x2+y2-4x=0, 所以以QA,OB为直径的两圆的另一交点的轨迹方程 x2+y2-4x=0(x≠0) 【59】x2-y2+2x-2y+8=0 解析：如图所示，，点A、B在直线y=x上，设点A、B、M的坐标分别为 (a,a),(b,b),(x,y),其中b>a. 当y≠2时，由P(-2,2)、A(a,a)、M(,)三点共线， 舟号子解出a得 少*4@， 由(0,2)、B(b,b)、M(x,)三点共线 得六。户2解出6得 少+2：② 由条件4=5，得V2(仍-a)=V5.b=a+1.③， 由0、②、③式得2x一=2+y +1 x-y+2x-y+4 整理得x2-y2+2x-2y+8=0. 当y=2时，两直线PA和QB的交点M与点P(-2,2)或点Q(0,2)重合， 得点P和点Q的坐标都满足方程x2-y2+2x-2y+8=0. 故x2-y2+2x-2y+8=0就是点M的轨迹方程. 1 【60】x2+y2-5x-12y=0,其中-3<x<3 解析：[方法一]：直接法 设弦AB的中点M的坐标为M(x,y),连接OP、OM,则OM⊥AB 在△OMP中，由勾股定理有x2+y2+(x-5)2+0-12)}=169,而Mx,) 在圆内， 所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-5x-12y=0(-3<x<3) [方法2]：定义法 因为M是AB的中点，所以OM⊥AB,所以点M的轨迹是以OP为直 径的题园心为（仔可，半径为Q 2 2 ,所以该圆的方程 ,化简得x2+y2-5x-12y=0(-3<x<3) [方法3]：交轨法 易知过P点的割线的斜率必然存在，设过P点的割线的斜率为？， 则过P点的割线方程为：y-12=(x-5) :OMLAB且过原点，∴.OM的方程为y=-x 这两条直线的交点就是M点的轨迹.两方程相乘消去k,化简， 得：x2+y2-5x-12y=0, 其中-3<x<3. [方法4]：参数法 设过P点的割线方程为：y-12=(x-5),它与圆x2+y2=9的两个交点 为A、B, AB的中点为M,设M(x,y),A(s),B(2y2) 由亿6-+12可得.+K+22-5+2-5-9=0,所 x2+y2=9 以，3+，= 22-,即有x=型，y消去2， 1+22 1+2 可求得M点的轨迹方程为：x2+y2-5x-12y=0,-3<x<3. [方法5]：点差法 设M(x,y6A(x),B(x2y2),则x+x2=2x,y+y2=2y. ,x2+2=9,x+y=9.两式相减，整理，得 (x2-x,x2+x)-(32-)+y2)=0 所以=十五。-三，即为AB的斜率， 面心的制学又时我示为子兰三化筒并整理行 x2+y2-5x-12y=0 其中-3<x<3. 第十一节 专题:求圆锥曲线的轨迹方程 227 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:直接法求轨迹方程 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程. ［对应练习:题型1］ ▍知识点2:定义法求轨迹方程 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法称为定义法. ［对应练习:题型2］ ▍知识点3:代入法（相关点法）求轨迹方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的,而该点的运动规律已知,（该点坐标满足某已知曲线方程）,则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点的轨迹方程. ［对应练习:题型3］ ▍知识点4:点差法求轨迹方程 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. ［对应练习:题型4］ ▍知识点5:参数法求轨迹方程 动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的,且所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数,然后用这个参数表示动点的坐标,即,再消参. ［对应练习:题型5］ ▍知识点6:交轨法 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交规法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可. ［对应练习:题型6］ ▍练题型 定义法求轨迹方程 1 【典例▪1】一个动圆与定圆:相内切,且与定直线相切,则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A. B. C. D. 【练习▪2】（2024·全国高二专题）平面直角坐标系中点满足,则点的轨迹为（    ） A.线段 B.圆 C.椭圆 D.不存在 【练习▪3】已知动圆与圆外切,与圆内切;则动圆圆心的轨迹方程为 . 【练习▪4】（24·长沙）已知圆N:,直线,圆M与圆N外切,且与直线相切,则点M的轨迹方程为 . 【练习▪5】一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆圆心的轨迹方程是_______________. 【练习▪6】（2024·河南）已知圆, ,动圆与圆,均外切,则圆心的轨迹方程为______________. 【练习▪7】已知是圆上的一动点,点,线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为______________. 【练习▪8】如果点M（x,y）在运动过程中,总满足关系式,那么点M的轨迹方程为______________. 【练习▪9】设复数满足,在复平面内对应的点为,则在复平面内的轨迹方程为 . 【练习▪10】（2023·辽宁）已知,则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为 . ▍练题型 直接法求轨迹方程 2 【典例▪11】已知两点,,点P满足,求点P的轨迹方程. 【练习▪12】已知圆:,动圆与圆外切,且与定直线相切,设动点的轨迹为.求的方程. 【练习▪13】曲线C上任意一点P到点F（2,0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于,求曲线C的轨迹方程. 【练习▪14】已知点A,B,P是平面内的一个动点,直线PA与PB的斜率之积是,求动点P的轨迹方程. 【练习▪15】已知点和直线l:x=8,过动点P作PQ⊥l,垂足为Q,且.求动点P的轨迹方程. 【练习▪16】已知平面上的动点到点和的距离之比为,求点的轨迹方程. 【练习▪17】（2024·贵州三模）过点的直线与圆相交于不同的两点,求线段的中点的轨迹方程. 【练习▪18】设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为,求点M的轨迹方程. 【练习▪19】动点到定点与定直线的距离之和为4,求点的轨迹方程. 【练习▪20】平面上动点到定点的距离比到轴的距离大,求动点的轨迹方程. 【练习▪21】在边长为的正内有一动点P,已知,求点P的轨迹方程. 【练习▪22】（2023·全国高三专题练习）已知两条直线和,有一动圆与及都相交,并且、被截在圆内的两条弦长分别是26和24,求动圆圆心的轨迹方程. ▍练题型 相关点法求轨迹方程 3 【典例▪23】已知点是曲线上任意一点,,连接并延长至,使得,求动点Q的轨迹方程. 【练习▪24】点P为椭圆上的任意一点,O为原点,M满足,求点M的轨迹方程. 【练习▪25】已知点是圆上的动点,过点作轴,垂足为,点在线段上,且,求点的轨迹方程. 【练习▪26】设分别是直线和上的动点,且满足,求的中点的轨迹方程. 【练习▪27】双曲线的两个焦点分别为、,双曲线的两条渐近线分别为直线,若点、分别在上,且满足,求线段的中点的轨迹方程. 【练习▪28】已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点, ,求动点P的轨迹方程. 【练习▪29】已知分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆E上一动点,G点是三角形的重心,求点G的轨迹方程. 【练习▪30】设平面直角坐标系中,O为原点,N为动点, ,,过点M作轴于点,过点N作轴于点,M与不重合,N与不重合,设,求点T的轨迹方程. 【练习▪31】已知椭圆的上､下顶点分别为,点是椭圆上异于的动点,记分别为直线的斜率.点满足. （1）证明:是定值,并求出该定值; （2）求动点的轨迹方程. 【练习▪32】如图,为椭圆上的动点,过作椭圆的切线交圆于、,过、作切线交于,求的轨迹方程. ▍练题型 点差法求轨迹方程 4 【典例▪33】已知椭圆,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 【练习▪34】已知椭圆的弦所在直线过点,求弦中点的轨迹方程. 【练习▪35】已知椭圆,求该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程. 【练习▪36】已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.若动点满足（为坐标原点）,求点的轨迹方程. ▍练题型 参数法求轨迹方程 5 【典例▪37】平面上一动点C的坐标为,则点C的轨迹E的方程为 . 【练习▪38】,,当时,线段的中点轨迹方程为 . 【练习▪39】方程（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 . 【练习▪40】（2017·北京高二）已知正方形的四个顶点分别为,,,,点, 分别在线段,上运动,且,设与交于点,求点的轨迹方程. 【练习▪41】已知与圆的两个交点分别为A、,弦的中点为,求点的轨迹方程. 【练习▪42】设椭圆方程为,过点的直线l交椭圆于点A,B, O是坐标原点,点P满足,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程. 【练习▪43】过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程． 【练习▪44】已知拋物线,过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线,分别交抛物线于点和点的中点分别为,求线段的中点的轨迹方程. 【练习▪45】已知抛物线的焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于两点,过点作抛物线的切线,若交于点,求点的轨迹方程. 【练习▪46】直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点,点为抛物线的顶点,过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点.分别过点、作抛物线的切线,求两条切线的交点的轨迹方程. 【练习▪47】已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,过点M,N分别作C的切线,,两切线交于点P,求点P的轨迹方程. 【练习▪48】（22·西安模拟）已知椭圆C:,经过定点斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左,右两顶点.求直线AE与BF的交点P的轨迹方程. ▍练题型 交轨法求轨迹方程 6 【典例▪49】（2023·贵州高三统考期末）已知直线,,当任意的实数m变化时,求直线与的交点的轨迹方程. 【练习▪50】求两动直线与的交点的轨迹方程. 【练习▪51】已知椭圆,点A,B分别是它的左､右顶点,一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P,Q两点,求直线与直线的交点的轨迹方程. 【练习▪52】如图,椭圆（）,动圆,,点分别为的左,右顶点,与相交于四点,求直线与直线交点的轨迹方程. 【练习▪53】过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于,两点,交轴于点, 为弦的中点,过点作直线的垂线交于点,求点的轨迹方程. 【练习▪54】已知椭圆, 过椭圆的右焦点作直线,交椭圆与,两点. 是的中点, 求的轨迹. 【练习▪55】过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交,另一交点为,点是的中点,点在直线上,且,求直线与直线的交点的轨迹方程. 【练习▪56】（2023·高三专题）抛物线, 为坐标原点,、在抛物线上,且,过作交于,求点轨迹方程. 【练习▪57】已知椭圆C:,若动点P为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 【练习▪58】（2024·全国高三专题）已知抛物线,过顶点的两弦互相垂直,求以为直径的两圆的另一交点的轨迹方程. 【练习▪59】（2021·全国高三专题）已知点、以及直线,设长为的线段在直线l上移动（如图所示）,求直线和的交点M的轨迹方程. 【练习▪60】（2023·全国高三专题）由圆外一点引圆的割线交圆于两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.（请分别用直接法、定义法、交轨法、参数法、点差法进行求解） $