第二单元 图形的平移、旋转和轴对称（知识清单）数学西师大版五年级上册

第二单元 图形的平移、旋转和轴对称 单元知识清单讲义 知识点一：图形的平移 1.定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。 2.要素： ①平移方向：图形移动的方向，如左右、上下等 。 ②平移距离：图形平移的格数，可以通过确定图形上的一个点，数该点平移后移动的格数得到。 3.画法： ①先确定图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。 ②根据平移的方向和距离，确定关键点平移后的位置。 ③依次连接平移后的关键点，得到平移后的图形。 4.应用： 利用平移可以设计一些重复排列的图案，通过将基本图形按照一定的方向和距离平移，得到复杂美观的图案；也可用于探索图形变化规律，像箭头的连续平移与旋转组合变化等情况。 知识点二：图形的旋转 1.定义： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 ，旋转不改变图形的形状和大小。 2.要素： ①旋转中心：图形绕着转动的固定点。 ②旋转方向：分为顺时针方向和逆时针方向。 ③旋转角度：图形旋转的度数，常见的有 90°、180° 等。 3.画法： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。 ②找出图形的关键点。 ③将关键点绕旋转中心按指定方向旋转指定角度，得到关键点的对应点。 ④依次连接对应点，得到旋转后的图形。 4.应用： 通过将基本图形绕某一点旋转不同的角度，可以设计出具有对称美感的图案，如风车、花朵等图案；也能和平移结合，用于分析图形的连续变化规律，如箭头先平移再旋转的变化过程。 知识点三：图形的轴对称 1.定义： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.性质： ①对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。 ②对应点的连线垂直于对称轴。 ③轴对称图形被对称轴分成的两部分是全等的。 3.判断方法： 通过尝试将图形沿某条直线对折，看直线两侧的部分是否能完全重合，或者通过观察图形是否存在这样的直线来判断。 4.画法： ①画对称轴：先判断图形是否为轴对称图形，对于是轴对称图形的，找出使图形对折后完全重合的直线，用虚线画出对称轴。有的图形可能有多条对称轴， 如正方形有 4 条对称轴，圆有无数条对称轴。 ②补全轴对称图形：先确定已知图形的关键点，然后根据对称轴，找出关键点的对称点（对应点到对称轴的距离相等），最后依次连接对称点，画出图形的另一半。 5.应用： 在设计图案时，先画出轴对称图形的一半，再利用轴对称的性质画出另一半，从而得到完整美观的图案，如一些传统的剪纸艺术、建筑装饰图案等都运用了轴对称的原理。 知识点四：探索规律 在图形相关的探索规律问题中，常常结合平移、旋转、轴对称等图形变换，或者像瓷砖铺地板这类图形数量规律的问题。 题型1：图形平移的判断与分析（基础 + 重点） 【例1】．请用简洁的话描述①到②的运动轨迹以及①到③的运动轨迹。 【练1】如图所示，五角星向 平移了 格，六边形向 平移了 格，长方形向 平移了 格。 题型2：图形旋转的要素与操作（基础 + 常考） 【例2】如图 （1）指针从A开始（ ）时针旋转（ ）°到B． （2）指针从D开始 （ ）时针旋转（ ）°到B． 【练2】仔细观察分析下图后，再填一填。 （1）小旗绕点O（    ）时针旋转（    ）°得到图1，在右图中标出A点的对应点A′。 （2）小旗绕点O逆时针旋转180°得到（    ），在右图中标出B点的对应点B′。 （3）小旗绕点O（    ）时针旋转（    ）°，可以得到图3。 题型3：轴对称图形的判断与对称轴（基础 + 常考） 【例3】画出下面图形的另一半，使它们成为轴对称图形． 【练 3】画出另一半，使它们成为轴对称图形。 题型 4：结合平移、旋转、轴对称的图形规律探索（综合 + 提升） 【例4】观察规律，在空格里画上合适的图形。   【练 4】按照图中的规律画一画。 1．看图填一填。 （1）三角形A绕点M按( )时针方向旋转( )°得到三角形B。 （2）三角形C绕点M按( )时针方向旋转( )°得到三角形B。 2．填上“平移”或“旋转”。 ( )→( )→ 3．下面是平移的在括号打“√”，是旋转的在括号里画“○” ①滚铁环 ②升国旗 ③开冰箱门 ④拧开水龙头 ⑤使用中的电风扇 ⑥拉抽屉 ⑦用钥匙开锁 ⑧乘坐电梯 ⑨推开窗户 ⑩坐滑梯 ⑪ 滚油桶 ⑫ 开窗帘 4．宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，�请再写出三个这样的汉字：_________。 5．长方形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 6．如图： （1）点A到对称轴的距离是( ) 小格，点B到对称轴的距离是( ) 小格；    （2）点E和点( )到对称轴距离是相等的； （3）点( )和点( ) 对称，点( )和点( )对称。 7．按照图形变化规律，完成第四个图。 8．1下面各题中图形的旋转都是绕图形本身的中心点进行的． 1. 图形A向右平移5格，得到图形B．( ) 2. 图形A逆时针旋转90°，再向右平移5格，得到图形B．( ) 3. 图形B顺时针旋转90°，再向左平移5格，得到图形C．( ) 4. 图形B逆时针旋转90°，然后向下平移3格，再向左平移5格，得到图形C．( ) 5. 图形C顺时针旋转90°，再向右平移8格，得到图形D．( ) 6. 图形B顺时针旋转180°，然后向下平移3格，再向右平移3格，得到图形D．( ) 7. 图形A顺时针旋转90°，然后向下平移3格，再向右平移8格，得到图形D．( ) 9．看一看，是轴对称图形的打“√”，不是的打“×”。   ( )    ( )    ( )    ( ) 10．照这样的规律接着画下去，第10个图形中有( )个圆点。 11．画出所有的对称轴。   12．经过平移，小鱼上的点A移到了点B。 （1）请画出平移后的小鱼。 （2）该小鱼是怎样从点A移到了点B？（上下左右） 13．图①怎样平移能与图②拼成一个长方形？怎样平移能与图②拼成一个平行四边形？（回答后在图中画一画） 14．怎样平移可使得图形A变为图形B？（在图形B上标出相应的序号） 15．先画出一个或几个图形，再运用对称、平移或旋转的方法，设计美丽的图案． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 图形的平移、旋转和轴对称 单元知识清单讲义 知识点一：图形的平移 1.定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。 2.要素： ①平移方向：图形移动的方向，如左右、上下等 。 ②平移距离：图形平移的格数，可以通过确定图形上的一个点，数该点平移后移动的格数得到。 3.画法： ①先确定图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。 ②根据平移的方向和距离，确定关键点平移后的位置。 ③依次连接平移后的关键点，得到平移后的图形。 4.应用： 利用平移可以设计一些重复排列的图案，通过将基本图形按照一定的方向和距离平移，得到复杂美观的图案；也可用于探索图形变化规律，像箭头的连续平移与旋转组合变化等情况。 知识点二：图形的旋转 1.定义： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角 ，旋转不改变图形的形状和大小。 2.要素： ①旋转中心：图形绕着转动的固定点。 ②旋转方向：分为顺时针方向和逆时针方向。 ③旋转角度：图形旋转的度数，常见的有 90°、180° 等。 3.画法： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。 ②找出图形的关键点。 ③将关键点绕旋转中心按指定方向旋转指定角度，得到关键点的对应点。 ④依次连接对应点，得到旋转后的图形。 4.应用： 通过将基本图形绕某一点旋转不同的角度，可以设计出具有对称美感的图案，如风车、花朵等图案；也能和平移结合，用于分析图形的连续变化规律，如箭头先平移再旋转的变化过程。 知识点三：图形的轴对称 1.定义： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.性质： ①对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。 ②对应点的连线垂直于对称轴。 ③轴对称图形被对称轴分成的两部分是全等的。 3.判断方法： 通过尝试将图形沿某条直线对折，看直线两侧的部分是否能完全重合，或者通过观察图形是否存在这样的直线来判断。 4.画法： ①画对称轴：先判断图形是否为轴对称图形，对于是轴对称图形的，找出使图形对折后完全重合的直线，用虚线画出对称轴。有的图形可能有多条对称轴， 如正方形有 4 条对称轴，圆有无数条对称轴。 ②补全轴对称图形：先确定已知图形的关键点，然后根据对称轴，找出关键点的对称点（对应点到对称轴的距离相等），最后依次连接对称点，画出图形的另一半。 5.应用： 在设计图案时，先画出轴对称图形的一半，再利用轴对称的性质画出另一半，从而得到完整美观的图案，如一些传统的剪纸艺术、建筑装饰图案等都运用了轴对称的原理。 知识点四：探索规律 在图形相关的探索规律问题中，常常结合平移、旋转、轴对称等图形变换，或者像瓷砖铺地板这类图形数量规律的问题。 题型1：图形平移的判断与分析（基础 + 重点） 【例1】．请用简洁的话描述①到②的运动轨迹以及①到③的运动轨迹。 【答案】见详解 【详解】①到②：①向下平移5格到②。 ①到③：方案一：①向下平移5格到②，再向右平移9格到③。 方案二：①向右平移9格，再向下平移5格到③。 【练1】如图所示，五角星向 平移了 格，六边形向 平移了 格，长方形向 平移了 格。 【答案】 下 6 左 5 上 7 【详解】略 题型2：图形旋转的要素与操作（基础 + 常考） 【例2】如图 （1）指针从A开始（ ）时针旋转（ ）°到B． （2）指针从D开始 （ ）时针旋转（ ）°到B． 【答案】 顺 90 顺 180 【详解】仔细观察图示，注意旋转的方向和旋转的角度．可得：指针从A开始顺时针旋转90°到B．指针从D开始顺时针旋转180°到B． 故答案为顺、90、顺、180． 【练2】仔细观察分析下图后，再填一填。 （1）小旗绕点O（    ）时针旋转（    ）°得到图1，在右图中标出A点的对应点A′。 （2）小旗绕点O逆时针旋转180°得到（    ），在右图中标出B点的对应点B′。 （3）小旗绕点O（    ）时针旋转（    ）°，可以得到图3。 【答案】（1）顺；90 （2）图2 （3）逆；90 图见详解 【分析】在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。这个点为旋转中心，旋转的角度叫旋转角。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【详解】（1）小旗绕点O顺时针旋转90°得到图1。 （2）小旗绕点O逆时针旋转180°得到图2。 （3）小旗绕点O逆时针旋转90°，可以得到图3。 （1）（2）标出的对应点如下： 题型3：轴对称图形的判断与对称轴（基础 + 常考） 【例3】画出下面图形的另一半，使它们成为轴对称图形． 【答案】解： 【练 3】画出另一半，使它们成为轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】画轴对称图形的另一半时，先找出关键点，再找出对称点，最后连线即可。 【详解】 题型 4：结合平移、旋转、轴对称的图形规律探索（综合 + 提升） 【例4】观察规律，在空格里画上合适的图形。   【答案】见详解 【分析】观察图片可知：每个图形都是按顺时针的方向移动的，由此解答即可。 【详解】如图： 【练 4】按照图中的规律画一画。 【答案】见详解 【分析】在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；观察图的变化，可得出规律是，每变化一次，整个图形顺时针旋转了90度；据此作图即可。 【详解】根据分析： 1．看图填一填。 （1）三角形A绕点M按( )时针方向旋转( )°得到三角形B。 （2）三角形C绕点M按( )时针方向旋转( )°得到三角形B。 【答案】 顺 90 逆 90 【分析】从图形可知：图形的旋转有三个要素，即旋转中心、旋转的方向和旋转角度，由A到B，旋转中心是M，旋转的方向是顺时针，旋转角是90°；三角形C绕点M按逆时针方向旋转90°，得到三角形B。 【详解】（1）三角形A绕点M顺时针方向旋转90º得到三角形B。 （2）三角形C绕点M按逆时针方向旋转90°得到三角形B。 【点睛】此题主要考查的是图形旋转的知识，掌握旋转的三个要素是解题的关键。 2．填上“平移”或“旋转”。 ( )→( )→ 【答案】 旋转 平移 【分析】根据平移和旋转的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，据此判断即可。 【详解】这个图形先是由三角形向上变为三角形向右，则可知其绕中心顺时针旋转了90°；又做了平行的直线运动，则第二次是平移。 【点睛】十字架上四个顶点处有四种图形，当平移或旋转时，这四种图形前后的比较可作为判断的依据。 3．下面是平移的在括号打“√”，是旋转的在括号里画“○” ①滚铁环 ②升国旗 ③开冰箱门 ④拧开水龙头 ⑤使用中的电风扇 ⑥拉抽屉 ⑦用钥匙开锁 ⑧乘坐电梯 ⑨推开窗户 ⑩坐滑梯 ⑪ 滚油桶 ⑫ 开窗帘 【答案】 ○ √ ○ ○ ○ √ ○ √ ○ √ ○ √ 【分析】平移是指物体或图形沿着直线运动的一种现象，旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动，据此解答即可。 【详解】①滚铁环○；②升国旗√；③开冰箱门○； ④拧开水龙头○； ⑤使用中的电风扇○； ⑥拉抽屉√； ⑦用钥匙开锁○； ⑧乘坐电梯√；⑨推开窗户○； ⑩坐滑梯√；⑪滚油桶○；⑫开窗帘√。 【点睛】本题考查平移和旋转，解答本题的关键是掌握平移和旋转的概念。 4．宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，�请再写出三个这样的汉字：_________。 【答案】天、一、二 【分析】轴对称图形的特征是：对称轴两侧的图形完全重合。 【详解】天、一、二 5．长方形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 【答案】 2 4 无数 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，根据对称轴定义找出各图形对称轴的数量。 【详解】长方形的对称轴：每组对边中点连线所在的直线，共有2条对称轴； 正方形的对称轴：每组对边中点连线所在的直线，对角线所在的直线，共有4条对称轴； 圆形的对称轴：将一张圆形纸片对折，折线两侧的部分可以完全重合，圆有无数条对称轴。 由上可知，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴。 6．如图： （1）点A到对称轴的距离是( ) 小格，点B到对称轴的距离是( ) 小格；    （2）点E和点( )到对称轴距离是相等的； （3）点( )和点( ) 对称，点( )和点( )对称。 【答案】 3 3 F A B E F 【详解】根据对称点到对称轴的距离相等这一特点，故A和B，E 和F关于对称轴对称。 7．按照图形变化规律，完成第四个图。 【答案】见详解 【分析】观察图形，第一幅图逆时针旋转90°得出第二幅图，第二幅图逆时针旋转90°得出第三幅图。则根据这样的规律，第四幅图是第三幅图逆时针旋转90°得出。 【详解】 8．1下面各题中图形的旋转都是绕图形本身的中心点进行的． 1. 图形A向右平移5格，得到图形B．( ) 2. 图形A逆时针旋转90°，再向右平移5格，得到图形B．( ) 3. 图形B顺时针旋转90°，再向左平移5格，得到图形C．( ) 4. 图形B逆时针旋转90°，然后向下平移3格，再向左平移5格，得到图形C．( ) 5. 图形C顺时针旋转90°，再向右平移8格，得到图形D．( ) 6. 图形B顺时针旋转180°，然后向下平移3格，再向右平移3格，得到图形D．( ) 7. 图形A顺时针旋转90°，然后向下平移3格，再向右平移8格，得到图形D．( ) 【答案】 × × × × × × × 【分析】关键抓住以下几点即可判断： （1）各题中图形旋转都是绕中心点旋转，因为是圆，圆的位置不变； （2）顺时针旋转90°笑脸的上方向右； （3）逆时针旋转90°笑脸的上方向左； （4）无论是顺时针还是逆时针旋转180°笑脸的头上方方向完全相反； （5）平移几格数对应点相距几格． 【详解】（1）图A向逆时针旋转90°再右平移三个格得到图B，原答案不正确； （2）图A逆时针旋转90度，再向右平移五个格得到图B，原答案不正确； （3）图B逆时针旋转90度，再向下平移一格，左平移三个格得到图C，原答案不正确； （4）图B逆时针旋转90度，向下平移一个格，再向左平移三个格得到图C，原答案不正确； （5）图C逆时针旋转90度，再向右平移六个格得到图D，原答案不正确； （6）图B顺时针（或逆时针）旋转180度，向下平移一个格，再向右平移一个格得到图D，原答案不正确； （7）图A顺时针旋转90度，向下平移一个格，再向右平移六个格得到图D，原答案不正确． 故答案为×，×，×，×，×，×，×． 9．看一看，是轴对称图形的打“√”，不是的打“×”。   ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 √ √ × × 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线叫做对称轴。 【详解】 【点睛】解答本题的关键是明确轴对称图形的特征。 10．照这样的规律接着画下去，第10个图形中有( )个圆点。 【答案】55 【分析】看图可知，圆点个数＝第几个图形就从1开始依次加到几，第几个图形用n表示，即圆点个数＝1＋2＋3＋……＋n。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 第10个图形中有55个圆点。 11．画出所有的对称轴。   【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点；（2）连结对称点；（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】如图： 【点睛】本题主要考查了对称轴的画法，一定要熟练掌握。 12．经过平移，小鱼上的点A移到了点B。 （1）请画出平移后的小鱼。 （2）该小鱼是怎样从点A移到了点B？（上下左右） 【答案】（1）见详解； （2）先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格）。 【分析】（1）将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可数出。 【详解】（1）所画图形如下所示： （2）观察图形即可看出，先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格）。 13．图①怎样平移能与图②拼成一个长方形？怎样平移能与图②拼成一个平行四边形？（回答后在图中画一画） 【答案】见详解 【分析】根据长方形和平行四边形的特征结合平移的知识确定平移的方向和格数，注意此题平移的方法是多种的。 【详解】将图①向右平移5格，再向下平移1格就能与图②拼成一个长方形（如下图）（答案不唯一）。将图①向右平移5格，再向下平移3格就能与图②拼成一个平行四边形（如下图）（答案不唯一）。 14．怎样平移可使得图形A变为图形B？（在图形B上标出相应的序号） 【答案】 【详解】观察图可知，图形A中的三角形①向右平移6格，三角形②先向上平移2格，再向右平移4格，三角形③先向上平移2格，再向右平移8格，三角形④先向上平移4格，再向右平移6格，组成图形B. 15．先画出一个或几个图形，再运用对称、平移或旋转的方法，设计美丽的图案． 【答案】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $