13.3.1 三角形的内角 课时练 2025-2026学年人教版八年级数学 上册
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内容正文：
2025-2026学年八年级上册数学人教版课时练
13.3.1 三角形的内角
知识连接
知识点一、三角形内角和定理
1.定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。
符号表示：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2.证明方法（操作与说理）：
（1）通过剪拼实验（将三个角拼成一个平角）。
（2）利用平行线的性质（过顶点作对边的平行线，通过同位角、内错角转化）。
知识点二、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余： 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A + ∠B = 90°。
2.表示方法：直角三角形符号“Rt△”，直角边和斜边的区分。
知识点三、三角形内角的应用
1.已知两角求第三角： 直接利用内角和定理计算（如已知∠A=50°，∠B=60°，则∠C=70°）。
2.按角分类三角形：
（1）锐角三角形：三个内角均小于90°。
（2）直角三角形：一个内角等于90°。
（3）钝角三角形：一个内角大于90°。
基础巩固
一、选择题
1．一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一个三角形，其中有两个角分别是和，
∴ 这个三角形的第三个角是，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于”，计算即可解答．
2．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A＋∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数．
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角的和差和三角形内角和定理即可求解．
4．在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以是直角三角形；
故选：B．
【分析】根据三角形内角和为180°，求出即可判断是直角三角形。
5．如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为在中，，，
所以，
因为，所以．
故选：C．
【分析】由三角形内角和定理(三角形内角和为)可得，再根据平行线的性质（ 两直线平行，内错角相等）即可解答．
6．在 中， ，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，
∴2x+3x+5x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答．
7．如图所示，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：是的内角，是的内角，
，
故答案为：A．
【分析】是的内角，是的内角，通过三角形内角和定理可得 =180°+180°=360°。
二、填空题
8．在中，若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
【答案】35°
【解析】【解答】解：设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，
根据题意，得：x+x+20=90，
解得：x=35.
故答案为：35°.
【分析】设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出x+x+20=90，解方程即可得出答案。
10．在中，，则 ．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=90°，∠B=2∠C，
∴90°+2∠C+∠C=180°，
∴∠C=30°．
故答案为30°．
【分析】根据题意先求出90°+2∠C+∠C=180°，再计算求解即可。
11．如图，是的高，．若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵是的高，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【分析】先得到，然后利用三角形的内角和求出的角度，再根据即可解题．
12．如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，
∴．
故答案为：135°．
【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案.
能力提升
三、解答题
13．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴
∴
∴
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，根据对顶角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
【答案】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBC，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠FDB=90°，
∴∠CEF+∠EBC=∠DFB+∠FBD=90°，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE．
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠FBD=∠EBC，然后由三角形内角和定理，进行等量代换后得∠CEF=∠DFB，由∠CFE=∠DFB，即可得证结论.
15．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数．
【答案】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝80°，
∵DE是△ADC的高线，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝50°．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，求出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，进而求出∠ADB的度数，又根据DE是△ADC的高，易得∠DEA＝90°，进而即可求出∠ADE的度数。
16．在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为 "三倍角三角形"。例如，三个内角分别为 的三角形是 "三倍角三角形"
（1） 中， 是 "三倍角三角形"吗？为什么？
（2） 若 是 "三倍角三角形"， 且 ， 求 中最小内角的度数.
【答案】（1）解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°， ∠B =40°，
∴∠C=180°-35°-40°= 105°=35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）解：∵∠B=60°，
∴∠A+∠C=120°，
设最小的角为x，
①当60°=3x时， x =20°，
②当x+3x=120°时， x =30°，
答： △ABC中最小内角为20°或30°.
【解析】【分析】(1)由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；
(2)分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解.
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13.3.1 三角形的内角
知识连接
知识点一、三角形内角和定理
1.定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。
符号表示：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2.证明方法（操作与说理）：
（1）通过剪拼实验（将三个角拼成一个平角）。
（2）利用平行线的性质（过顶点作对边的平行线，通过同位角、内错角转化）。
知识点二、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余： 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A + ∠B = 90°。
2.表示方法：直角三角形符号“Rt△”，直角边和斜边的区分。
知识点三、三角形内角的应用
1.已知两角求第三角： 直接利用内角和定理计算（如已知∠A=50°，∠B=60°，则∠C=70°）。
2.按角分类三角形：
（1）锐角三角形：三个内角均小于90°。
（2）直角三角形：一个内角等于90°。
（3）钝角三角形：一个内角大于90°。
基础巩固
一、选择题
1．一个三角形，其中有两个角分别是和，第三个角是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．如图所示，等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．在中，若，则 ．
9．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
10．在中，，则 ．
11．如图，是的高，．若，则的度数是 ．
12．如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则 ．
能力提升
三、解答题
13．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．
14．已知：如图，在中，AB，BE平分分别交AC，CD于点E，F.求证：
15．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数．
16．在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为 "三倍角三角形"。例如，三个内角分别为 的三角形是 "三倍角三角形"
（1） 中， 是 "三倍角三角形"吗？为什么？
（2） 若 是 "三倍角三角形"， 且 ， 求 中最小内角的度数.
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