2.1.1有理数的加法讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第二章 有理数的运算 第一节 有理数的加法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形边的定义 2 知识点2三角形的稳定性 4 知识点03有理数加法运算律 4 题型精讲1有理数加法运算 4 题型精讲2有理数加法中的符号问题 6 题型精讲3有理数加法在生活中的应用 7 题型精讲4有理数加法运算律 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1. 能结合温度升降、收支增减等实例，阐释有理数加法的意义，理解其在生活中的价值。 2. 借数轴直观理解，归纳出有理数加法法则，准确判断并运用符号与绝对值规则，熟练进行运算，提升逻辑推理能力。 3. 掌握加法交换律和结合律，能在计算中灵活运用以简化运算，增强运算策略意识，从容应对新中考题型 。 【新知学习】 【知识点1】有理数的加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把 相加. 即:若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则. 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的 的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值. 即：若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则;若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则. 3.互为相反数的两个数相加和为 .即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4.一个数与0相加，仍得 .即：a+0=a. 【易错提醒】 ①一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值。 ②当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式。 例题1：计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 【变式训练1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【变式训练3】小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【知识点二】 利用有理数加法的法则计算 例题1：且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 【变式训练1】如图，时钟的钟面上标有 1，2，3，…，12 共 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分，且各部分所包含的几个数的和都相等，则后分得的两个部分所包含的几个数分别是 和 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，小胡同学在做作业时，不慎将数轴上的数字污染了一部分，那么被污损的部分中各个整数的和为 ． 【变式训练3】绝对值不大于的所有整数的和是 ． 【知识点03】有理数加法运算律 例题1：计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1】运用了加法交换律和加法结合律．( ) 【变式训练2】下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】计算：． 题型精讲1有理数加法运算 例题1：有135人分成若干组，要求每一组人数各不相同，最大可以分成多少组（   ） A．15 组 B．16 组 C．17 组 D．18组 【变式训练1】下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为 ． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【变式训练2】某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟． 题型精讲2有理数加法中的符号问题 例题1：下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【变式训练1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【变式训练3】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 题型精讲3有理数加法在生活中的应用 例题1：（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 【变式训练1】（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练2】某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【变式训练3】某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 题型精讲4有理数加法运算律 例题1：以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【变式训练1】嘉淇同学作了一道计算题，如图所示．其中第①步和第②步的运算依据分别是（   ） 计算：         第①步       第②步 A．加法结合律，加法交换律 B．加法分配律，加法交换律 C．加法交换律，加法结合律 D．加法结合律，加法结合律 【变式训练2】有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【拓展培优】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【思维建模】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可. 【变式训练1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【变式训练3】（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    【变式训练4】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等，他们已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ，的值为 ．    【变式训练5】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 【典例2】 （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【思维建模】 1. 识别题型：明确是连续自然数求和（首项1、末项99、项数99的等差数列）； 2. 选求和方法：用“配对求和法”，将首末项配对（1+99，2+98…），共49对加中间数49； 3. 建公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得（1+99）×99÷2； 4. 计算验证：先算括号内，再算乘除，最终得结果。核心是“配对凑整”简化计算。 【变式训练1】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【变式训练2】定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 【典例3】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【变式训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【变式训练3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入、、这三个数时，这三次输出的结果分别是_______；_______；_______． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是? (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数? 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 2．下列问题情境，能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，又下降后的水位变化情况 B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数 C．某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 3．若整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（    ）km． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 A．35 B．36 C．37 D．38 5．已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．关于“三个有理数的和为0”这个话题，甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列说法： 甲：这三个有理数可能都是0； 乙：这三个数中最多有两个正数； 丙：这三个数中最少有两个数是负数； 丁：这三个有理数是互为相反数． 则说法正确的是（   ） A．甲、乙 B．甲、乙、丙 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 二、填空题 7．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 8．按法则要求步骤填空 （1） ( )＝ ．       （2） ( )＝ ． （3） ．                         （4） ( )＝ ． （5） ． 9．某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为120单位，下表是该病人这周每天与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周星期五的收缩压是 ． 星期 一 二 三 四 五 增减 ＋20 ﹣30 ﹣25 ＋15 ＋30 10．斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例作引入，故又称为“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子： 一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对； 两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对； 三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对； 以此类推，八个月后，一共有 对兔子． 11．小李在五张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这四个数都能取到．猜猜看，小李在五张纸片上各写了什么数．满足条件的五个数有 组，请写出一组满足条件的数 ． 12．如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为 ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (6)． 15．我们给出如下规定：如果两个有理数的和是9，那么称这两个有理数为“吉利数对”． (1)下列各数对：①和，②和，③和．其中为“吉利数对”的有_____（填序号）． (2)若“吉利数对”有一个有理数是，求另外一个有理数． (3)在数轴上，点到原点的距离是9，请直接写出可以与点表示的数组成“吉利数对”的数． 16．用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形． [观察思考] 第（1）个图形中有张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； …… 以此类推 (1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）． (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________．（用含n的代数式表示） (3)[问题解决]根据你的发现计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 第一节 有理数的加法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1三角形边的定义 2 知识点2三角形的稳定性 4 知识点03有理数加法运算律 4 题型精讲1有理数加法运算 4 题型精讲2有理数加法中的符号问题 6 题型精讲3有理数加法在生活中的应用 7 题型精讲4有理数加法运算律 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1. 能结合温度升降、收支增减等实例，阐释有理数加法的意义，理解其在生活中的价值。 2. 借数轴直观理解，归纳出有理数加法法则，准确判断并运用符号与绝对值规则，熟练进行运算，提升逻辑推理能力。 3. 掌握加法交换律和结合律，能在计算中灵活运用以简化运算，增强运算策略意识，从容应对新中考题型 。 【新知学习】 【知识点1】有理数的加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 即:若a＞0，b＞0，则；若a＜0，b＜0，则. 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 即：若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则;若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则. 3.互为相反数的两个数相加和为0.即：若a＞0，b＜0，|a|=|b|，则a+b=0. 4.一个数与0相加，仍得这个数.即：a+0=a. 【易错提醒】 ①一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值。 ②当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如2+(-1)中-1必须用括号括起来，不要写成2+ -1这样的形式。 例题1：计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法法则．根据绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式训练1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 【变式训练2】计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式训练3】小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【知识点二】 利用有理数加法的法则计算 例题1：且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加法运算，解题的关键是根据绝对值求出、的所有可能值，再结合的条件筛选出有效组合，进而计算． 先由得或，由得或；再根据排除不符合的组合（时，且，均不满足，故只能为）；最后分和计算的值． 【详解】解：由得或， 由得或． ∵， ∴时（且）不符合，故． 当、时，； 当、时，．     故选：B． 【变式训练1】如图，时钟的钟面上标有 1，2，3，…，12 共 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分，且各部分所包含的几个数的和都相等，则后分得的两个部分所包含的几个数分别是 和 ． 【答案】 3，4，9，10 5，6，7，8 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练利用有理数的加法法则是解题的关键． 一共是12个数，分成三部分，且每部分的和相等．则应从两头分别相加，即前边取两个，后边取两个，依次相加即可． 【详解】解：如图， ∵分成三部分，且每部分的和相等， ∴三个部分的数为：；；． 故答案为： ；． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，小胡同学在做作业时，不慎将数轴上的数字污染了一部分，那么被污损的部分中各个整数的和为 ． 【答案】8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法以及数轴的应用，根据数轴表示数的方法得到污损部分中的整数相加解答即可． 【详解】到之间的整数有，到之间的整数有，，，， 这些整数的和为， 故答案为：． 【变式训练3】绝对值不大于的所有整数的和是 ． 【答案】0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，有理数的加法运算，先写出绝对值不大于的所有整数，再求和即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6， 则这些数之和为0， 故答案为：0． 【知识点03】有理数加法运算律 例题1：计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3)120 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式训练1】运用了加法交换律和加法结合律．( ) 【答案】√ 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题判断等式是否运用了加法交换律和结合律，熟记加法交换律和加法结合律是解决问题的关键．结合题中所给式子运算过程，由加法交换律和加法结合律分析验证即可得到答案． 【详解】解：原式为，变形为， 原式中，和的位置被交换，使与相邻，与相邻，根据交换律允许加数位置互换（），因此此处应用了交换律； 变形后，将四个加数分组为和，改变了原式的运算顺序，结合律允许重新分组（），因此此处通过分组应用了结合律； 综上所述，运用了加法交换律和加法结合律， 故答案为：√． 【变式训练2】下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 【变式训练3】计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．利用加法交换律和结合律简化运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型精讲1有理数加法运算 例题1：有135人分成若干组，要求每一组人数各不相同，最大可以分成多少组（   ） A．15 组 B．16 组 C．17 组 D．18组 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据“每一组人数各不相同”利用加法计算，解答即可． 本题考查了加数不同的有理数加法运算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得人，大于135人， 故不能超过16组， 而人，少于135人，只需让最后一组为30人即可， 即最大可以分成组； 故选：A． 【变式训练1】下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为 ． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 【详解】解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． 【变式训练2】某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟． 【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟， 由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段， 小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟， 在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段， 小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟． 故答案为：，． 题型精讲2有理数加法中的符号问题 例题1：下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式训练1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式训练2】两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【变式训练3】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练4】与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 题型精讲3有理数加法在生活中的应用 例题1：（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】A 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了年龄问题，可先根据“20年前张华10岁”求出今年的年龄，再求出20年后的年龄。 【详解】解：由题意可知，张华今年的年龄为：（岁），则20年后张华的年龄为：（岁）。 故选：A． 【变式训练1】（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 【变式训练2】某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【答案】 4 13 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果． （1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数； （2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间． 【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）； 故答案为：4； （2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）； 故答案为为：13． 【变式训练3】某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 题型精讲4有理数加法运算律 例题1：以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 【变式训练1】嘉淇同学作了一道计算题，如图所示．其中第①步和第②步的运算依据分别是（   ） 计算：         第①步       第②步 A．加法结合律，加法交换律 B．加法分配律，加法交换律 C．加法交换律，加法结合律 D．加法结合律，加法结合律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，常用到运算律（加法交换律、加法结合律等）．根据题目中的解答过程，即可判断． 【详解】解：第①步的依据是加法的交换律，第②步的依据是加法的结合律， 故选：C． 【变式训练2】有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和 ． 【答案】不变 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据有理数的加法交换律求解即可． 【详解】解：有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 故答案为：不变． 【点睛】此题考查了有理数的加法交换律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法交换律． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【拓展培优】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【知识点】有理数加法运算 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 【变式训练1】（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 【变式训练2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法， 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，分类求解即可． 【详解】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选∶A． 【变式训练3】（24-25七年级上·重庆·开学考试）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 ．    【答案】23 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了宫格数阵问题．熟练掌握数阵链特点，尝试填数，是解决问题的关键． 根据中间三个数加了两次，和最大是24 ，9个数的和为45，即可求出每条线上数的和最大为23，据此尝试填数（答案不唯一）． 【详解】由图可知，中间三个数加了两次，这三个数的和最大是： ， ∵数字的和为：， ∴． ∴每条线上的4个数的和最大为23． 故答案为：23．    【变式训练4】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等，他们已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ，的值为 ．    【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【详解】解：， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则，解得：， ∵，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是2． 【变式训练5】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列数等式解题即可． 【详解】解：如图所示， 则 ∴ 解得：， ∴正中间的方格中的数字为 如图所示， ∵， ∴ ∴中间一行的和为 ∴所有数字的和为 故答案为：，． 【典例2】 （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【思维建模】 1. 识别题型：明确是连续自然数求和（首项1、末项99、项数99的等差数列）； 2. 选求和方法：用“配对求和法”，将首末项配对（1+99，2+98…），共49对加中间数49； 3. 建公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得（1+99）×99÷2； 4. 计算验证：先算括号内，再算乘除，最终得结果。核心是“配对凑整”简化计算。 【变式训练1】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【变式训练2】定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式训练3】（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】或或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，化简绝对值等知识点，分析判断其余个字母的值的和为时，这个字母可能是什么数是解题的关键． 根据已知条件：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，且，又因，因而可推出有两个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为，然后分三种情况讨论：当这个字母的值分别为，，，，0，0时；当这个字母的值分别为，，，，，0时；当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时，分别化简绝对值并求和，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个， ∵， ， 有两个个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，，0或，，，，,0或，2，2，2，2， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时， ， 或或， 故答案为：或或． 【典例3】（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】(1) 绝对值相加 这个数的绝对值 (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】（1）根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． （2）先计算括号里，再计算括号外面的解答即可； （3）分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解：． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 【变式训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】（）根据新定义运算计算即可求解； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， ∴ ， ． 【变式训练3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入、、这三个数时，这三次输出的结果分别是_______；_______；_______． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是? (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数? 【答案】(1)，，； (2)(为自然数)； (3)不可能输出负数． 【知识点】求一个数的绝对值、程序流程图与有理数计算、相反数的定义、倒数 【分析】（）先判断出与的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的倍数，据此即可求解； （）根据绝对值的性质和倒数的定义即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是审清题意，理解运算程序． 【详解】（1）解：∵， ∴输入时的程序为：， ∴的相反数是，的倒数是， ∴当输入时，输出； ∵， ∴输入时的程序为：， ∴的相反数是，， ∴当输入时，输出； ∵， ∴输入时的程序为：，的相反数是，的倒数是， ∴当输入时，输出； 故答案为：，，； （2）解：∵输出数为，的相反数及绝对值均为，当输入的倍数时也输出， ∴(为自然数)； （3）解：由图表知，不管输入正数、或者负数，输出的结果都是非负数， ∴不可能输出负数． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 2．下列问题情境，能用加法算式表示的是（   ） A．水位先下降，又下降后的水位变化情况 B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数 C．某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了加法算式的实际意义． 逐一判断即可． 【详解】A． 水位先下降，又下降后的水位变化情况：，不能用加法算式表示； B． 将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数，用加法算式表示，故不符合题意； C． 某日最低气温为，温差为，该日的最高气温：，能用加法算式表示； D． 数轴上表示与10的两个点之间的距离：，不能用加法算式表示； 故选：C． 3．若整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键． 根据是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的的值，得出结论． 【详解】解：∵是整数，而， 或或， ①当时，或， 或， ②，或，， 或． ③， 或，或2，或2或， 综上所述，的值有0，2，三个值， 故选：C． 4．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（    ）km． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 15 12 8 休息 0 0 0 0 0 A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可． 【详解】“高强度”要求前一天必须“休息”， “高强度”的徒步距离前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远. , 适合选择“高强度”的是第三天和第四天. 又第一天可选择“高强度”, 方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”, 此时，徒步的距离为(千米). 方案②第一天选择“高强度”，第二天“低强度”，第三天选择“休息”，第四天“高强度”和第五天选择“低强度”, 此时，徒步的距离为(千米). 综上，徒步的最远距离为36千米. 故选B． 【点睛】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键． 5．已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据题意得到，且，然后根据数轴上的位置判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即，且， 故N，T的位置符合的是A选项， 故选：A． 6．关于“三个有理数的和为0”这个话题，甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列说法： 甲：这三个有理数可能都是0； 乙：这三个数中最多有两个正数； 丙：这三个数中最少有两个数是负数； 丁：这三个有理数是互为相反数． 则说法正确的是（   ） A．甲、乙 B．甲、乙、丙 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【答案】A 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数的定义，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法，相反数的定义推出所有情况，即可得出答案． 【详解】解：若三个有理数的和为，则： 情况一：这三个有理数都是； 情况二：这三个有理数，一个正数，一个负数，一个，且正数的绝对值等于负数的绝对值，即这三个有理数有一个是，另外两个数互为相反数； 情况三：这三个有理数，两个正数，一个负数，且负数的绝对值等于两个正数之和； 情况四：这三个有理数，一个正数，两个负数，且两个负数的绝对值之和等于正数； 综上，甲、乙说法正确； 故选：A． 二、填空题 7．在括号里填上合适的运算律． ( ) ( ) ． 【答案】 加法交换律 加法结合律 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题考查有理数的加法．加法交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；先把前两个数相加，或者把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：加法交换律；加法结合律． 8．按法则要求步骤填空 （1） ( )＝ ．       （2） ( )＝ ． （3） ．                         （4） ( )＝ ． （5） ． 【答案】 0 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据有理数加法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝； 故答案为：；；；；；；；；；；0． 【点睛】本题考查了有理数加法运算法则，同号两数相加，取相同符号，在把绝对值相加；异号两数相加；取绝对值大的符号，再把绝对值相减；任何数加上零还等于原数． 9．某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为120单位，下表是该病人这周每天与前一天相比较收缩压的变化情况，则本周星期五的收缩压是 ． 星期 一 二 三 四 五 增减 ＋20 ﹣30 ﹣25 ＋15 ＋30 【答案】130 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】根据题意把表格的数字相加再加上120即可； 【详解】由题可知，本周星期五的收缩压； 故答案是130． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，准确计算是解题的关键． 10．斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例作引入，故又称为“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子： 一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对； 两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对； 三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对； 以此类推，八个月后，一共有 对兔子． 【答案】171 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据大兔，中兔与小兔进行分类大兔的2倍是小兔，小兔1个月后变中兔，三类兔子之和是总共有的兔子，根据有理数的加法求和即可． 【详解】解：设两月后的兔子称“大兔”，一个月后的兔子称“中兔”，刚出生的兔子称“小兔” 一个月后中兔1对，共1对兔， 二个月后大兔1对，小兔2对，共有1+2=3对兔， 三个月后大兔1对，中兔2对，小兔2对，共有1+2+2=5对兔， 四个月后大兔3对，中兔2对，小兔6对，共有3+2+6=11对兔， 五个月后大兔5对，中兔6对，小兔10对，共有5+6+10=21对兔， 六个月后大兔11对，中兔10对，小兔22对，共有11+10+22=43对兔 七个月后大兔21对，中兔22对，小兔42对，共有21+22+42=85对兔， 八个月后大兔43对，中兔42对，小兔86对，共有43+42+86=171对兔． 故答案为171． 【点睛】本题考查有理数的加法，根据分类确定大兔，中兔与小兔的对数是解题关键． 11．小李在五张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这四个数都能取到．猜猜看，小李在五张纸片上各写了什么数．满足条件的五个数有 组，请写出一组满足条件的数 ． 【答案】 2 2，4，4，5或3，3，4，5（任写一组即可） 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：A，B，C，D且A≤B≤C≤D， 故A+B=6，C+D=9， 当A=1时，得B=5， ∵A≤B≤C≤D， ∴B=C=5，D=4，不合题意舍去，所以A≠1， 当A=2时，得B=4， ∵A≤B≤C≤D， ∴B=C=4，D=5，所以A=2，B=4，C=4，C=5， 当A=3时，得B=3， ∵A≤B≤C≤D， ∴B=3，C=4，D=5，所以A=3，B=3，C=4，C=5， 当A=4时，得B=2， ∵A≤B≤C≤D， 所以不合题意舍去， 故综上所述：这四个数只能是：2，4，4，5或3，3，4，5． 故答案为：2；2，4，4，5或3，3，4，5． 12．如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为 ． 【答案】66． 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为1，3，5，6可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4，5．丁所购票数最多，即可得出丁应该为6，8，10，12，14，16，再将所有数相加即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6． 丙选座要尽可能得小，选择：1，2，3，4，5． 此时左边剩余5个座位，右边剩余6个座位， 丁选：6，8，10，12，14，16． 丁所选的座位号之和为； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法运算法则即可解答． （1）直接根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据零与任何数的和不变即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：． 14．计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (6) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （6）解： ． 15．我们给出如下规定：如果两个有理数的和是9，那么称这两个有理数为“吉利数对”． (1)下列各数对：①和，②和，③和．其中为“吉利数对”的有_____（填序号）． (2)若“吉利数对”有一个有理数是，求另外一个有理数． (3)在数轴上，点到原点的距离是9，请直接写出可以与点表示的数组成“吉利数对”的数． 【答案】(1)①② (2) (3)0或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数加法运算以及数轴，解题的关键是掌握相关运算． （1）通过计算各数对两数之和是否为9来判断是否为“吉利数对”； （2）利用“吉利数对”两数和为9，已知其中一个数求另一个数； （3）先确定数轴上到原点距离为9的点表示的数，再根据“吉利数对”的定义求出与之组成“吉利数对”的数． 【详解】（1）解：①3.7和5.3， 9，满足“吉利数对”的定义， ②和16， 9，也满足“吉利数对”的定义， ③和，，不满足“吉利数对”的定义， 故“吉利数对”有①②； （2）根据“吉利数对”的定义，这两个数的和是9， 另一个有理数为， 故另外一个有理数是12.1； （3）点到原点的距离是9，到原点距离为9的点有两个，分别是9和， 当点表示的数是9时，与之组成“吉利数对”的数为， 当点表示的数是时，与之组成“吉利数对”的数为， 故可以与点表示的数组成“吉利数对”的数是0或18． 16．用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形． [观察思考] 第（1）个图形中有张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； …… 以此类推 (1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）． (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________．（用含n的代数式表示） (3)[问题解决]根据你的发现计算：． 【答案】(1)30 (2) (3)15050 【知识点】有理数加法运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）观察图形的变化即可得第（5）个图形中正方形纸片张数； （2）根据上面的发现即可猜想：1+2+3+…+n=； （3）根据（2）发现的规律，即可进行计算． 【详解】（1）解：第（1）个图形中有2=1×2张正方形纸片； 第（2）个图形中有2（1+2）=6=2×3张正方形纸片； 第（3）个图形中有2（1+2+3）=12=3×4张正方形纸片； 第（4）个图形中有2（1+2+3+4）=20=4×5张正方形纸片； ∴第（5）个图形中有5×6=30张正方形纸片； 故答案为：30； （2）解：根据（1）的发现猜想：1+2+3+…+n=； 故答案为：； （3）解： =（1+2+3++200）-（1+2+3++100） =- =20100-5050 =15050． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $