专题01 数轴上的动点、规律及其应用问题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 数轴上的动点、规律及其应用问题 题型1 数轴上两点之间的距离（常考点） 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型2 数轴上点的移动（重点） 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型3 关于数轴的说法正误问题（重点） 题型11 数轴上的翻折问题（重点） 题型4 单动点运动问题（常考点） 题型12 有关数轴的新定义问题 题型5 双动点运动问题（重点） 题型13 数轴中点有关问题（重点） 题型6 多动点运动问题 题型14 数轴上定值不变问题（重点） 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型15 数轴的应用问题（重点） 题型8 数轴上三角形运动规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上两点之间的距离（共3小题） 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“0cm”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用数轴解决实际计算问题的能力，关键是能准确结合题意与数轴进行列式、计算．设刻度尺上“”对应数轴上的数为x， 根据题意得：，求解即可得出答案． 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数为x， 根据题意得：， 解得：， 所以刻度尺上“”对应数轴上的数为， 故选：D 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【答案】，或 【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 题型二 数轴上点的移动（共3小题） 4．在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，解决本题的关键是掌握点的移动规律．通过点B的位置通过两次反方向移动得到点A的位置. 【详解】解：点B是点A两次移动后的位置， 故点B向正方向移动5个单位长度，再向负方向移动3个单位长度得到点A. 点B表示的数为，向正方向移动5个单位得; 再向负方向移动3个单位得： 故答案为：D． 5．在数轴上，点A表示，从点A出发，沿数轴移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，熟练掌握数轴、分情况讨论是解题的关键． 分当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，两种情况根据数轴上两点距离计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当点A沿数轴负方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， 当点A沿数轴正方向移动3个单位长度到达点时，则点表示的数是， ∴点B表示的数为或1， 故答案为：或1． 6．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 题型三 关于数轴的说法正误问题（共3小题） 7．下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 8．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的相关概念，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误； ③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 9．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 题型四 单动点运动问题（共3小题） 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数形结合是解答本题的关键． （1）在数轴上表示出点，再写出点表示的数即可； （2）根据C点与原点的位置关系求解即可； （3）根据A，B，C在数轴上的位置，分3种情况求解即可．． 【详解】（1）解：如图， （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度； （3）解：共有3种移动方法： ①移动A、B两点到C， A向左移动8个单位到C，B向左移动10个单位到C，； ②移动A、C两点到B， A向右移动2个单位到B，C向右移动10个单位到B，； ③移动B、C两点到A， B向左移动2个单位到A，C向右移动8个单位到A，． 12．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【答案】8或80 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点P是动点，分三种情况讨论： ①当点P在A点左侧时，因，则不符合题意，故舍去； ②当P点在A、B中间时，有，解得； ③当P点在B点右侧时，有，解得． 因此P点表示的数为8或80， 故答案为：8或80． 题型五 双动点运动问题（共3小题） 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 【答案】2、10、或 【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首先根据厘米，厘米，求出的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：∵厘米，厘米， ∴（厘米）； （1）点P、Q都向右运动时， （秒） （2）点P、Q都向左运动时， （秒） （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒） （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒） ∴经过2、10、或秒时线段的长为6厘米． 故答案为：2、10、或． 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 题型六 多动点运动问题（共3小题） 16．（24-25七年级上河北石家庄·期中）如图，已知点，，是数轴上的三个点． (1)请直接写出点，所表示的数； (2)在此数轴上有点，，三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点，分别从点，处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有点的式子表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【答案】(1)点A表示，点C表示 (2)①；②的值是不随时间的变化而变化，值为1 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式的加减运算，数轴上两点间距离，用含t的代数式表示出动点所在位置表示的数是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置可直接得出答案； （2）①根据点的初始位置、运动速度及方向可得答案；②用含t的代数式表示出，判断是否含t即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示，点C表示； （2）解：①动点从点处出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，点B表示1， 运动秒时，点所表示的数为：； ②由题意知：运动秒时，点所表示的数为：，点所表示的数为：， ， ， ， 的值是不随时间的变化而变化，值为1． 17．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？ (2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 【答案】(1)4； (2)或； (3)4或 【分析】（1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到，的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由得， 解得t或， ∴运动或时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小， M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． ①当时，P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时，此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了时，此时N、P之间为38个整数点 故， ∴，． 【点睛】本题主要结合数轴考查了点在数轴上的移动，能够根据题中信息利用方程的思想建立关于t的方程是解题的关键． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 【答案】(1)，，， (2)，6 (3)这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位 【分析】本题考查了数轴上点与点之间距离的运用，关键明确点与点之间的距离是正数． （1）根据数轴上两点间的距离，分两种情况加减1.5即可得出答案； （2）根据数轴上点的折叠求出折叠点，再左减右加，即可解答； （3）根据路程中数量关系式求出相遇时间，再用相遇时间×移动的速度求出结果． 【详解】（1）数轴上若点M表示的数是，M、N两点的距离为 1.5， 则点N表示的数是，或； 数轴上若点M表示的数是4，M、N两点的距离为1.5， 则点N表示的数是 ，或； 综上所述，满足条件的点N所表示的数是，，，， 故答案为：，，，； （2）根据题意折叠点：2， E：，F：， 故答案为：，6； （3）， （秒）， ， ， 答：这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位． 题型七 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·江苏南通·期中）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2024，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上两点距离计算，根据题意可得每跳两次小球相当于向右跳1个单位，那么跳100次，小球就向右移动50个单位，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设初始位置点所表示的数为， ∵一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到 ∴每跳两次小球相当于向右跳1个单位， ∵跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2024， 依题意得，， 解得，， ∴这只小球的初始位置点所表示的数是 故答案为：． 21．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】本题是一道与数轴有关的规律型试题．观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 即每2次向右平移1个单位； 则第1002次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位． 故答案为：． 题型八 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 23．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．作出草图，不难发现，每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据余数为可知点在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、图形找规律、根据三角形为等边三角形，，建立方程，求出的值，得到点，，表示的数，再根据图形的运动情况找出点的变化规律，即可求解． 【详解】解：等边三角形，点，，表示的数分别为，，． ，即， 点，，表示的数分别为、、，即等边三角形边长为， 将等边三角形继续向右滚动，则从即点开始3个为一循环，且循环为，，， ， 与表示数2024的点重合的点为， 故选：A． 题型九 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）折叠纸面，若在数轴上 表示的点与 表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上 表示的点与 表示的点重合． (2)若数轴上 、两点间的距离为在 的左侧)，且 、两点经折叠后重合，求 、 两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为 的正方形有一顶点 落在数轴上表示 的点处，将正方形在数轴上，向右滚动(无滑动)，正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 次后，数轴上表示点 的数与折叠后的哪个数重合？    【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数字类规律探究； （1）先求出和的中点，再根据对称列式计算即可求解； （2）根据中点定义求出的一半，然后分别列式计算即可； （3）根据边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处，正方形滚动一次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动次后一个顶点落在表示的点处，正方形滚动、4次后顶点A落在表示的点处，即可求出正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处，进而即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示的点重合， 数轴上表示的点与表示的点的中点是表示的点． 数轴上表示的点与表示的点重合． 故答案为； （2）数轴上、两点之间的距离为， ， ， 点表示的数为， 点表示的数为． 答：、两点表示的数是、； （3）边长为的正方形有一顶点落在数轴上表示的点处， 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示5的点处 正方形滚动第次、第次时，点落在数轴上表示的点处 规律是：正方形滚动第（是正整数）次、第次时，点落在数轴上表示的点处 正方形滚动次后，顶点A落在表示的点处， 此时，点距离数轴上2表示的点的距离为：， 正方形滚动次后，数轴上表示点的数与折叠后的重合． 题型十 数轴圆形运动规律探究（共3小题） 28．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 29．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、圆的周长．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系即可得到答案． 【详解】解：由题意得，圆的周长为， 表示的数是， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____； (2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 【答案】(1)10或-4； (2)或； (3)，或，或，． 【分析】（1）根据距离公式进行求解即可； （2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可； （3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为， 或， 解得或． 故答案为：或； （2）解：∵圆的半径为， 此圆的周长， 当圆向左滚动时点表示的数是； 当圆向右滚动时点表示的数是． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧． ①当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． ②当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． ③当点为线段的中点时， ． 点表示的数为， ，． 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 题型十一 数轴上的翻折问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，   ， 点C表示的数是：， 故选：C． 32．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴．根据各点的数值，移动情况、折叠性质求值即可． 【详解】解：点C对应的有理数为c，， 点C向左移动2个单位长度到达A点，则A点表示的数为， 再向右移动7个单位长度到达点B，则点B表示的数为4， 将数轴折叠，使得点A与点B重合，与点C重合的点记， 则， 点B表示的数为4，则点表示的数为2． 故答案为：2． 33．（24-25七年级上·河北邢台·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 【答案】(1)，6 (2)9 (3)①3，①所以点M表示的数为，点N表示的数为1011 【分析】本题考查数轴，绝对值，关键是理解数轴上两点距离公式的几何意义． （1）由数轴上点的位置即可得到答案； （2）由题意知数轴在2对应的点处折叠，得到点A与数9表示的点重合； （3）①当x对应的点在3和6对应的点之间，的值最小； ②由题意知数轴在对应的点处折叠，即可得到M和N表示的数． 【详解】（1）解∶点表示的数是，点表示的数是6， 故答案为∶； （2）解∶折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则数轴在2对应的点处折叠，因此点与数9表示的点重合， 故答案为∶9； （3）解∶①当的值最小值时，对应的点在3和6对应的点之间， 当时，的值最小， 此时， 因此的最小值是3； ②对应的点与对应的点重合， 数轴在对应的点处折叠， 两点之间的距离为2024， 与对应的点的距离是1012， 表示的数是表示的数是． 题型十二 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 35．（24-25七年级上·河北唐山·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①，②，， 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义设未知数列方程求解； （3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答； ②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， 所以则点M表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点A表示的数为， 因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧）， 所以点B表示的数为， 因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2， 故， 解得，那么， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：； （3）解：①依题意，设B表示的数为， 因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”， 所以， 因为m为整数， 所以为整数， 则或 故整数m的值为：，， 故答案为：； ②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离， 所以点C和点D分别表示的数为，， ∵O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴， 故， 因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， 所以B表示的数为， 所以， 即， 解得， 因为n为整数， 则，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 36．（24-25七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 题型十三 数轴中点有关问题（共3小题） 37．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 38．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 【答案】(1)14；1 (2) (3)2 【分析】本题考查数轴哦上两点间的距离，中点的定义， （1）利用提供的方法解题即可； （2）按照两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法推导出一般公式； （3）运用两点间的距离公式计算方法和中点的计算方法解决问题即可． 【详解】（1）解：， P点所表示的数为， 古答案为：14；1； （2）； ∵P是的中点， ∴， ∴P表示的数为． （3）t秒后C点所表示的数为：，D所表示的数为， ， ∵M是的中点， ∴， ∴点M所表示的数为， ∴， ∴M的速度为． 39．（24-25七年级上·陕西安康·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)当时，求两点之间的距离． (3)若为的中点，为的中点，在点的运动过程中，两点之间的距离是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出两点之间的距离． 【答案】(1)①15；4.5；②； (2)两点之间的距离是5 (3)两点之间的距离不会发生变化，距离是7.5 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①根据两点间的距离公式以及线段中点公式进行计算即可；②根据题意列出代数式可； （2）先求出当时，点表示的数及点表示的数，再根据两点间的距离公式计算即可； （3）先表示出点表示的数是，点表示的数是，再根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：①数轴上点表示的数为，点表示的数为12， ， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：15；4.5． ②点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 秒后，点表示的数为；点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， 两点之间的距离， 两点之间的距离是5； （3）解：在点的运动过程中，两点之间的距离不会发生变化， 点表示的数是，点表示的数是， 两点之间的距离， 在点的运动过程中，两点之间的距离不会发生变化，距离是7.5． 题型十四 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　　个单位； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后： ①点A、B、C表示的数分别是　　、　　、　　（用含t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．试问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出值． 【答案】(1)3或7 (2)①；；；②不变，3 【分析】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． （1）由，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）①结合路程＝时间×速度写出答案； ②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：、3， 所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个或7个单位； 故答案为：3或7； （2）解：①点A表示的数是；点B表示的数是；点C所表示的数是． 故答案为：；；； ②的值不随着时间t的变化而改变，其值是3，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 41．（24-25七年级上·山东日照·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)若将数轴在点B处折叠，则点A与点C______重合（填“能”或“不能”）； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；0；6 (2)不能 (3)； (4)的值不随着时间t的变化而改变，其值为 【分析】（1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案． （2）只需要判断A、C是否关于B对称即可． （3）根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案． （4）将（3）问中的与的表达式代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， 故答案为：；0；6； （2）解：由于与6的中点为1， 故将数轴在点B处折叠， 则点A与点C不能重合； 故答案为：不能； （3）解：由于点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动， ∴t分钟后，， 由于点C以每秒1个单位长度的速度向右运动， ∴t分钟后，； 故答案为：；； （4）解：的值不随着时间t的变化而改变，理由如下： 所以的值不随着时间t的变化而改变，其值为． 【点睛】本题考查了多项式和单项式的概念，实数与数轴的关系，数轴中的动点问题，列代数式，整式的化简等，熟练掌握整式的相关概念，求得a、b、ｃ的值是解题的关键． 42．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，则A，B两点之间的距离是______． (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为______（用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，求代数式的值； (4)若，，，点A、B、C在数轴上开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B与点C分别以每秒4个单位长度和x个单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，的值不变，求x的值． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，用数轴上的点表示有理数，整式加减的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）利用非负数的性质求得a、b的值，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）先求得折叠点的坐标为，设与点C重合的点表示的数为x，再列式计算即可求解； （3）根据题意求得，再整理原式，代入求解即可； （4）设运动为t秒，得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再利用两点之间的距离公式，整理得到，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则A，B两点之间的距离是； 故答案为：8； （2）解：使点A、点B重合的折叠点为， 设与点C重合的点表示的数为x， ∴， 解得 则与点C重合的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 整理得， ∴ ； （4）解：设运动为t秒，由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴ ， 当即时，的值不变． 题型十五 数轴的应用问题（共3小题） 43．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）． (1)【初步思考】 若，当点表示的数为时，点表示的数为______； (2)【数学探究】 如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数； (3)【实际应用】 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁． 【答案】(1)3 (2)的值为8，点表示的数为，点表示的数为6 (3) 【分析】（1）根据数轴的性质列出运算式子，再计算有理数的加法即可得； （2）先根据3根木条的长度等于14与之间的距离可求出的值，再根据数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加减法即可得； （3）先参照（2）的思路求出爷爷比小红大岁，再利用减去即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数为， 故答案为：3． （2）解：由题意得：的值为， 则点表示的数为， 点表示的数为， 即的值为8，点表示的数为，点表示的数为6． （3）解：由题意得：爷爷比小红大（岁）， 则爷爷现在的年龄为（岁）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与除法的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 44．（24-25七年级上·四川内江·期中）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且，又b，c互为相反数． （1）求a，b，c的值． （2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数． （3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向左移动2个单位长度；第3次向右移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向左移动6个单位长度；…依次操作第2020次移动后到达点P，P点表示的数是______． 【拓展应用】将一枚棋子放在数轴上点，第一步从k点向右跳2个单位到，第二步从点向左跳4个单位到，第三步从点向右跳6个单位到，第四步从点向左跳8个单位到…若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点，如果所表示的数是1998，那么所表示的数是______． 【答案】（1），，；（2）；（3）；[拓展应用] 【分析】（1）由，可得、，由，互为相反数，可得； （2）根据时间路程速度求出相遇的时间，即可得出点表示的数． （3）由题意可以规定向右记为正，向左记为负，然后列算式，再找规律计算； [拓展应用]利用距离公式建立方程求出a即可． 【详解】解：（1）， ，， ，互为相反数， ．解得， （2）， 点表示的数为：； （3）第1次向右移动1个单位长度是； 第2次向左移动2个单位长度是； 第3次向右移动3个单位长度是； 第4次向左移动4个单位长度是； 第5次向右移动5个单位长度是； 第6次向左移动6个单位长度是； 第7次向右移动7个单位长度是； 第8次向左移动8个单位长度是． 由题意可得： 答：点表示的数是． [拓展应用] 由题意得， ， 解得，， 故答案为：3000． 【点睛】本题考查数轴的应用，以及数轴上两点之间距离的计算方法，由非负数的性质得出、、的值是解题关键． 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． $ 专题01 数轴上的动点、规律及其应用问题 题型1 数轴上两点之间的距离 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型2 数轴上点的移动 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型3 关于数轴的说法正误问题 题型11 数轴上的翻折问题 题型4 单动点运动问题 题型12 有关数轴的新定义问题 题型5 双动点运动问题 题型13 数轴中点有关问题 题型6 多动点运动问题 题型14 数轴上定值不变问题 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型15 数轴的应用问题 题型8 数轴上三角形运动规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上两点之间的距离（共3小题） 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“0cm”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 题型二 数轴上点的移动（共3小题） 4．在数轴上，一点从点A出发，先向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动5个单位长度到达点B．若点B表示的数为，则点A表示的数为（   ） A． B． C．5 D． 5．在数轴上，点A表示，从点A出发，沿数轴移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为 ． 6．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 题型三 关于数轴的说法正误问题（共3小题） 7．下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 8．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 9．下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 题型四 单动点运动问题（共3小题） 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 12．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 题型五 双动点运动问题（共3小题） 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 题型六 多动点运动问题（共3小题） 16．（24-25七年级上河北石家庄·期中）如图，已知点，，是数轴上的三个点． (1)请直接写出点，所表示的数； (2)在此数轴上有点，，三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点，分别从点，处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有点的式子表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 17．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？ (2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ (3)当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值． 18．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）思考并解答下列问题： (1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 ． (2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8（E在F左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ； (3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？ 题型七 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 20．（24-25七年级上·江苏南通·期中）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2024，则这只小球的初始位置点所表示的数是 ． 21．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 题型八 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 23．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）三边都相等的三角形叫做等边三角形．如图，将数轴从点开始向右折出一个等边三角形，点，，表示的数分别为，，．现将等边三角形向右滚动，则与表示数2024的点重合的点（    ） A．是点 B．是点 C．是点 D．不存在 题型九 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）折叠纸面，若在数轴上 表示的点与 表示的点重合，回答以下问题： (1)数轴上 表示的点与 表示的点重合． (2)若数轴上 、两点间的距离为在 的左侧)，且 、两点经折叠后重合，求 、 两点表示的数是多少？ (3)如图，边长为 的正方形有一顶点 落在数轴上表示 的点处，将正方形在数轴上，向右滚动(无滑动)，正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 次后，数轴上表示点 的数与折叠后的哪个数重合？    题型十 数轴圆形运动规律探究（共3小题） 28．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____； (2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 题型十一 数轴上的翻折问题（共3小题） 31．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 32．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是 ． 33．（24-25七年级上·河北邢台·期中）点、、在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应点之间的距离可表示为，如5与2在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2024（点在点的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数； 题型十二 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 35．（24-25七年级上·河北唐山·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 36．（24-25七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型十三 数轴中点有关问题（共3小题） 37．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 38．自主学习：在数轴上求任意两个点之间的距离，可以用这两个点所表示的数作差来表示（较大数减去较小数）．已知数轴上任意两点A、B，P为线段的中点．如图1，当A、B两点所表示的数分别为2和8时，则可知，则，，那么P点所表示的数为5． (1)类比探究一：如图2，当A、B两点所表示的数分别为－6和8时，则______，此时P点所表示的数为______； (2)类比探究二：如图2，当A、B两点所表示的数分别为a和b时（），求P点所表示的数．（用含有a、b的式子表示）； (3)拓展应用：如图3，可直接应用上面探究所得结论解决问题．在（1）的条件下，动点C从A点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时点D从B点出发以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t秒．若线段的中点为M，求点M运动的速度． 39．（24-25七年级上·陕西安康·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)当时，求两点之间的距离． (3)若为的中点，为的中点，在点的运动过程中，两点之间的距离是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出两点之间的距离． 题型十四 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　　个单位； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后： ①点A、B、C表示的数分别是　　、　　、　　（用含t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．试问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出值． 41．（24-25七年级上·山东日照·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)若将数轴在点B处折叠，则点A与点C______重合（填“能”或“不能”）； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 42．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，则A，B两点之间的距离是______． (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为______（用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，求代数式的值； (4)若，，，点A、B、C在数轴上开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B与点C分别以每秒4个单位长度和x个单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，的值不变，求x的值． 题型十五 数轴的应用问题（共3小题） 43．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）． (1)【初步思考】 若，当点表示的数为时，点表示的数为______； (2)【数学探究】 如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数； (3)【实际应用】 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁． 44．（24-25七年级上·四川内江·期中）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且，又b，c互为相反数． （1）求a，b，c的值． （2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数． （3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向左移动2个单位长度；第3次向右移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向左移动6个单位长度；…依次操作第2020次移动后到达点P，P点表示的数是______． 【拓展应用】将一枚棋子放在数轴上点，第一步从k点向右跳2个单位到，第二步从点向左跳4个单位到，第三步从点向右跳6个单位到，第四步从点向左跳8个单位到…若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点，如果所表示的数是1998，那么所表示的数是______． 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $