基本不等式求最值常用方法课件+课后达标训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课后达标训练 一、单选题 1. 若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 2. 函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 4. 设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 5. 已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6. 已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7. 已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 8. 已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9. 设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 10. 已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11. 已知 ， ，则 的最小值为 . 12. 已知，且，则的最大值为 ． 13. 已知均为正数，则的最小值为 ． 14. 已知正实数，满足，则的最小值是 . 15. 若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 四、解答题 16. （1）已知，求的最大值； （2） 已知正实数满足，求的最大值. 17. （1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 18. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式求最值常用方法 1 一、直接法 ［例1］ （1）若实数,满足,则 的最小值为_____. [解析] ,当且仅当 ,即,时，等号成立，故的最小值为 . 2 （2）已知,，,则 的最大值为___. 1 [解析] 由于,,且,所以 ,当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为1. 3 ［方法总结］ 利用基本不等式求最值的策略 求“和”式的最小值时，一般运用变形<m></m>,这时必须 确保“积”是定值；求“积”式的最大值时，一般运用变形 <m></m>,这时必须确保“和”是定值. 注意 需检验是否满足等号成立的条件. 4 ［跟踪训练］ 1.若,则 的最大值是( ) A.4 B.1 C.0 D.不存在 解析：选A.因为,所以,所以 , 当且仅当,即 时取等号. 2.已知,且,则 的最小值为( ) A.4 B.6 C. D.8 [解析] 选D.由题意得，,且 ,则 ,当且仅 当,即,时取等号，所以当,时， 的最小值为8. √ 6 二、配凑法 ［例2］ （1）已知,则 的最小值是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得 ， , 当且仅当,即时，等号成立，所以 的最小 值是 . √ 7 （2）已知,则 的最大值为( ) A.2 B.4 C.5 D.6 [解析] 因为,所以可得 ,则 ,当且仅当 ,即 时，等号成立，故 的最大值为2. √ 8 ［方法总结］ 配凑法求最值的关键点 配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆（裂项、拆 项），并（分组、并项），配（配式、配系数等），使得“和”是定值或“积” 是定值，从而运用基本不等式求得最值. 9 1.若,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 解析：选B.由,可得, ， 当且仅当,即时取等号，所以 的最小值 为 . ［跟踪训练］ 三、常数代换法 ［例3］ （1）（2025· 湘豫名校联考）已知正实数,满足 ,则 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 [解析] 因为 , 当且仅当,即,时，等号成立，所以 的最小值为9. √ 12 （2）已知,则 的最小值是___. 9 [解析] 由,得 . , 当且仅当，即时，等号成立，所以 的最小值是9. 13 ［方法总结］ 运用代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）. （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的 形式. （4）利用基本不等式求解最值. 14 ［跟踪训练］ （2025·扬州调研）设,,,则 的最小 值为( ) A. B. C. D.3 [解析] 选C.因为,所以,因为, ,所以 . 当且仅当即 时取等号. √ 15 四、消元法 ［例4］ 已知,,,则 的最小值为___. 6 [解析]由 , 得 , 所以 , 当且仅当,即,时取等号，所以 的最小值为6. 16 ［方法总结］ 利用消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式 转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基 本不等式求解. 17 1.（2025·安庆模拟）若正数,满足,则 的最小值是 ____. [解析] 正数,满足,故 ,故 ,当且仅当,即 时，等 号成立. ［跟踪训练］ 18 2.已知正数,满足,则 的最小值为( ) A.1 B. C.2 D. 解析：选B.因为,,,则 ,所以 ,当且仅当,即 时，等 号成立，此时 . ［例5］已知,则 的最大值为__. [解析] 设,则, （当且仅当,即时取等号）,故的最大值为 . 五、换元法 20 ［方法总结］ 利用换元法求最值的方法 换元法，求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变 形，简化式子，再利用基本不等式求解. 21 ［跟踪训练］ 函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________． 解析　y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立． 1．(2024·咸阳调研)已知a，b均是正实数，则eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为________． 解析　设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y均为正实数，所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)＝eq \f(2y－x,x)＋eq \f(x－y,y)＝eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)－2≥2eq \r(\f(2y,x)·\f(x,y))－2＝2eq \r(2)－2，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \r(2)y时，等号成立．所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为2eq \r(2)－2. $ 课后达标训练 （参考答案） 一、单选题 1. 若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【解析】D 因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 2. 函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】D 由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 3. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【解析】C 因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 4. 设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【解析】A ， 当且仅当，即时取等号. 5. 已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【解析】D 由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 6. 已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】B 因为，所以， 则， 等号成立时，，即， 所以函数的最小值为. 7. 已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【解析】B 由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 8. 已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【解析】D 由，，可得. 对于A，，（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），故B错误； 对于C，因，由B已得；， 则，（当且仅当时取等号），故C错误； 对于D，因， 由C项已得：，则，故，即得， （当且仅当时取等号），故D正确. 二、多选题 9. 设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 【解析】BC 对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由，又， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：由，所以， 当且仅当时，所以等号不成立，故D错误. 10. 已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【解析】AC对于A,B，由题得，则， 故， 当且仅当时等号成立，A正确，B错误； 对于C,D，因为，所以，所以， 所以，故， 当且仅当，时等号成立，C正确，D错误． 三、填空题 11. 已知 ， ，则 的最小值为 . 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 12. 已知，且，则的最大值为 ． 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 13. 已知均为正数，则的最小值为 ． 【解析】已知均为正数，根据基本不等式，有， 同理：，， 三式相乘得：，当时等号成立， 所以， 所以原表达式的最小值为8． 14. 已知正实数，满足，则的最小值是 . 【解析】因为，，当且仅当，时取等号， 所以， 当且仅当，时原不等式取等号. 15. 若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【解析】因为，故， 而， 若，则，则， 若，则， 设，则，令， 则， 若，则； 若， 故， 故即且， 综上，， 故的最小值为，最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 四、解答题 16. （1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 17. （1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 【解析】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. （2）因为且a、b为正数，所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立，故的最小值为16. 18. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【解析】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $