2.3 用公式法求解一元二次方程（3题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3 公式法求解一元二次方程 命题1：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况………………1 命题2：利用一元二次方程根的情况求参数…………………………2命题3：公式法求解一元二次方程……………………………………3 针 对 训 练……………………………………………………………5 命题1： 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 3．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 4．一元二次方程根的判别式值是 ． 5．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 6．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 7．方程根的情况是 ． 8．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 9．已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 10．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 命题2：利用一元二次方程根的情况求参数 11．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 12．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 14．关于的一元二次方程有实数解，则下列值中不能取（   ） A． B． C． D． 15．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 16．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 17．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 19．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 20．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值． 21．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 命题3：公式法求解一元二次方程 22．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 23．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 24．下列一元二次方程中，根是的是（ ） A． B． C． D． 25．若是一元二次方程的根，则的值为 ． 26．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 27．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 28．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 29．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． (1)①图中解方程的方法是　　 ； A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　； (2)用公式法解方程：． 针对训练： 1．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 2．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 6．已知实数满足，则m的值为 ． 7．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的非负整数解有 个． 9．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的最大整数值a为 ． 11．用公式法解方程：． 12．用公式法解方程：． 13．用适当的方法解方程：． 14．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 15．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 17．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 19．下面是5个未化简的有理数：，，，， (1)依次写出这五个数的化简结果，并计算它们的平方和； (2)求这五个数的平均数； (3)在这5个数中，最大的数是m，最小的数是n．试判别方程根的情况． 20．配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.3 公式法求解一元二次方程 命题1：根据根的判别式判断一元二次方程根的情况………………1 命题2：利用一元二次方程根的情况求参数…………………………5命题3：公式法求解一元二次方程……………………………………10 针 对 训 练……………………………………………………………15 命题1： 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意． 故选：C． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 4．一元二次方程根的判别式值是 ． 【答案】25 【分析】本题可根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中、、的值，代入公式计算即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ 故答案为：． 5．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 6．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 根据判别式等于0，可知一元二次方程有两个相等的实数根，从而求得答案. 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. ∴. 故答案为：． 7．方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 先将方程整理为一般形式，然后求出，再进行判断即可． 【详解】解：将整理为一般形式，得： ， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的与判别式的关系，理解一元二次方程的判别式与根的关系是解答关键． 先求出一元二次方程的判别式，再来判断根的情况． 【详解】证明：，，， ， 该方程一定有两个实数根． 9．已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】证明：， ∵， ∴，即， ∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 10．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 命题2：利用一元二次方程根的情况求参数 11．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 12．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得到判别式，从而求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 13．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 14．关于的一元二次方程有实数解，则下列值中不能取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程解的情况求参数，由题意得，据此即可求解，掌握偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数解， ∴， ∴不能取， 故选：． 15．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．根据题意当时，方程为，有实数根，当时，得出，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围是， 故选：B． 16．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 17．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用，根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为： ． 18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 19．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】(1)k≥﹣1； (2)方程的另一根为﹣4． 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴ ； （2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 20．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值． 【答案】（1）△ABC是等边三角形，理由见解析；（2）﹣12． 【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，b，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系； （2）根据（1）求出的a，b的值，可以得到关于m的方程，解方程即可求出m． 【详解】解：（1）∵有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0． ∵方程3cx+2b＝2a的根为0， ∴a＝b． ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b， ∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0， ∴m＝0或m＝﹣12． 当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去； 当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意． 综上所述m＝﹣12． 【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的含义，等边三角形的判定方法． 21．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴此方程根的判别式，即， 则， ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 命题3：公式法求解一元二次方程 22．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【详解】∵ ∴或 ∴的值分别是或 故答案选B 【点睛】在变化为一般形式时，要注意移项变号问题 23．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 24．下列一元二次方程中，根是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 25．若是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 26．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 27．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 28．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 29．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． (1)①图中解方程的方法是　　 ； A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)B；等式的基本性质1 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）先求出根的判别式的值，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：图中解方程的方法是配方法，第二步变形的依据是等式的基本性质1，等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立． 故选：B；等式的基本性质1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 针对训练： 1．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 2．如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行求解即可． 【详解】解：由关于x的方程有实数根，可知： 且， 解得：； 故选D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．一元二次方程的根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【详解】解：∵ ∴原方程可化为， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 5．若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，方程为一元二次方程，根的情况要通过判别式来判定． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ∴，解得， 故选：B． 6．已知实数满足，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；根据题意得到，结合解一元二次方程的方法和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 时， ， ， ； 时， ， ， ∴方程无解； ∴； 故答案为：1． 7．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故答案为：． 8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的非负整数解有 个． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意，得到且，计算求解，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， ∴k的非负整数解有1． 故答案为：1． 9．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的最大整数值a为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与判别式，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，得到且，求出a的取值范围，则a的最大整数值为，即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴a的最大整数值为． 故答案为：． 11．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 12．用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求的值，判断出，然后将a，b，c的值代入求根公式即可． 【详解】解：，，， ， 此方程有两个不相等的实数根， ， ，． 13．用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法并根据方程的特点灵活选择是关键．利用公式法进行解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ． 14．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)此方程无实数根 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式（），计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定、、，计算，因，代入求根公式得两个相等实数根； （2）先将方程展开整理为一般形式，确定、、，计算，代入求根公式得两个不相等实数根； （3）先将方程整理为一般形式（或化简为），确定、、，计算，判断方程无实数根． 【详解】（1）解：方程为一般形式，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：． （2）解：展开整理为一般形式：， 即，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：，． （3）解：整理为一般形式：（化简：），，，，， ∵判别式小于0， ∴此方程无实数根． 15．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 16．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可； （2）把的值代入方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 关于的一元二次方程为， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程为， ，． 17．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1) 且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键． （1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 19．下面是5个未化简的有理数：，，，， (1)依次写出这五个数的化简结果，并计算它们的平方和； (2)求这五个数的平均数； (3)在这5个数中，最大的数是m，最小的数是n．试判别方程根的情况． 【答案】(1)－1，3，2，4，3；和为39 (2) (3)有两个不相等的实数根 【分析】（1）根据有理数的乘方运算、二次根式的化简及绝对值、负整数指数幂的化简依次计算即可；然后计算平方和即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）依次一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 这五个数依次为，3，2，4，3 它们的平方和为． （2）这五个数的平均数为： （3）由题意得，，，所以方程为， ， 所以，方程有两个不相等的实数根． 【点睛】题目主要考查实数的化简运算，平均数的计算方法及一元二次方程根的判别式，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 20．配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)代数式取得最大值是5 (2)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式． （1）根据非负数得性质得，所以当时，式子有最大值5； （2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论． 【详解】（1）解： 当时，代数式取得最大值是5； （2）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $