3.1.1.3函数的值域 微专题难点训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1.3函数的值域 难点训练微专题 (详解版) 突破通法： 1.强调概念：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.初步求函数值域的方法： (1)观察法：适合一次函数等基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. (2)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (3)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； （4）反解法：适合分子分母都是一次的分式函数； （5）换元法：通过换元，转换成一次，二次等基本函数； （6）判别式法：适合分子分母都是二次多项式的分式函数； （7）基本不等式法：适合可化为“和定积最大”或“积定和最小”的形式. 3.注意：定义域要优先考虑. 微专题训练 一、单选题 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 2．函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 5．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可得到答案. 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据函数的定义确定．，只要在定义域中，中至少有一个，中至少有一个即可． 【详解】值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况. 故选：C． 7．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 二、多选题 9．下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 10．若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可容易求得结果. 【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 故，又， 故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC. 故选：BC. 11．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 三、填空题 12．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 13．若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 【答案】 【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴，∴. 故答案为：. 14．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 四、解答题 15．求函数的值域． 【答案】 【分析】根据换元法，结合二次函数即可求值域. 【详解】令，则， 所以， 故函数的值域为． 16．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1.3函数的值域 难点训练微专题 (学生版) 突破通法： 1.强调概念：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.初步求函数值域的方法： (1)观察法：适合一次函数等基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域. (2)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (3)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； （4）反解法：适合分子分母都是一次的分式函数； （5）换元法：通过换元，转换成一次，二次等基本函数； （6）判别式法：适合分子分母都是二次多项式的分式函数； （7）基本不等式法：适合可化为“和定积最大”或“积定和最小”的形式. 3.注意：定义域要优先考虑. 微专题训练 一、单选题 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 7．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 10．若函数在定义域上的值域为 ，则区间可能为（　　） A． B． C． D． 11．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的定义域为 ，其最大值是 ． 13．若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 14．函数的值域为 ． 四、解答题 15．求函数的值域． 16．求下列函数的值域： (1) (2) (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $