精品解析：甘肃省平凉市华亭市皇甫学校2023年八年级下学期数学竞赛模拟试题（三）

甘肃省华亭市皇甫学校八年级数学竞赛试题（三） 满分60分，时间60分钟 一、选择题（每小题3分，共15分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在题后的括号内． 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零． 要使分式有意义，则分母不能为0，据此条件解得x的取值． 【详解】解：要使分式有意义，则，且， 即且， 的取值范围是且， 故选：D． 2. 若分式的值是负数，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 3. 无论m为何值时，直线必经过的象限是（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查直线的性质，将直线解析式变形为可找到直线恒过的定点，再根据定点的位置判断经过的象限． 【详解】解：对于直线方程，可变形为关于m的方程：， 因为无论m取何值，这个等式都成立， 所以当且时，无论m是多少，等式都成立， 解得； 解，得， 所以直线恒过定点； 在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标，所以定点在第一象限， 由于直线恒过第一象限内的点，所以无论m为何值，直线必经过第一象限． 故选：A． 4. 已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　） A. ﹣12 B. ﹣32 C. 38 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值． 【详解】原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8）， ∵可以分解成（ax+b）（8x+c）， ∴a=13，b=﹣17，c=﹣8， ∴a+b+c=﹣12． 故选A． 5. 星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家（米）与散步所用的时间（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，就回家了． B. 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了． C. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一会儿，然后回家了． D. 从家出发，散了一会步，就找同学去了，18分钟后才开始返回． 【答案】C 【解析】 【分析】根据几种说法，判断图形的形状，逐一排除． 【详解】解：A、从家出发，了一个公共阅报栏，看了一会报后，就回家了，图象为梯形，错误； B、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误； C、符合图象的特点，正确； D、从家出发，散了一会步，就找同学去了，18分钟后才开始返回，图象为梯形，错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 二、填空题（ 每小题3分，共15分）请将答案填在横线上． 6. 观察图，在第6个大三角形中白色三角形共有 ______ 个． 【答案】364 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律． 【详解】解：第1个大三角形中白色三角形有1个； 第2个大三角形中白色三角形有个； 第3个大三角形中白色三角形有个； 所以第6个大三角形中白色三角形有个． 故答案为：364. 7. 设，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的值，熟练掌握完全平方公式及分式的值是解题的关键；由可变形为，则有，然后利用整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：由可变形为， ∴，即， ∴； 故答案为． 8. 分解因式= ___________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则=_____． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键． 根据，设点的坐标为，可求出，然后可得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 ∵， ∴ 点、、、 ∵ 点在曲线上， ∴、、、、 又 ∵、、、、均为直角三角形， ∴ 每个三角形的面积为： ∴ 故答案为： . 10. 如图，在中，，于点D，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质．在上截取，连接；根据证得，再利用全等三角形的对应边，对应角相等，可得到，；又由等量代换，证得是等腰三角形，利用等边对等角，即可求得与的关系，由三角形的内角和是，即可求得结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的外角， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， ∴． 三、解答题：（每小题6分，共30分）请给出必要的文字或图形说明、推理过程、演算步骤． 11. 一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)． (1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标． 【答案】（1）y＝－2x＋4；（2）2；点P的坐标为(0，1)． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、将A、B两点的坐标代入解析式求出k和b的值，从而得出函数解析式；(2)、首先得出点C关于y轴的对称点为C′，然后得出点D的坐标，根据C′、D的坐标求出直线C′D的解析式，从而求出点P的坐标，然后根据勾股定理得出C′D的长度，从而得出答案. 试题解析：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4． ∴解析式为：y＝－2x＋4； （2）存在一点P，使PC+PD最小． ∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点， ∴点C的坐标为（1，0）， 则C关于y轴的对称点为C′（-1，0）， 又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点， ∴点D的坐标为（1，2）， 连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b， 有， 解得， ∴y=x+1是DC′的解析式， ∵x=0，∴y=1， 即P（0，1）． ∵PC+PD的最小值=C′D， ∴由勾股定理得C′D=2． 12. 小王沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆公交车，每隔迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？ 【答案】公交车总站发车间隔的时间是 【解析】 【分析】本题考查了路程问题和二元一次方程组的应用．是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，准确的找到相等关系列出方程组是解题的关键．有下列隐含的等量关系：①迎面驶来的两车距离（车速+人速）；②背后开来的两车距离（车速—人速）；③迎面驶来的两车距离=背后开来的两车距离；④同向的两车距离=车速×发车间隔时间． 【详解】解：方法一：设公交车的速度为，小王行走的速度为，发车间隔的时间为，则 化简得， 即． 把代入，得 即 解得． 所以公交车总站发车间隔的时间是． 方法二：设同向行驶的相邻两车的间距为，发车间隔的时间为，小王行走相邻两车间距所用的时间为，则 化简得 ，得 解得． 所以公交车总站发车间隔的时间是． 13. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，于．设，．试求梯形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】过O作于H，可得，，可证和为等腰三角形，则，再用梯形面积公式即可解题. 【详解】解：过O作于H， ∵ 和的平分线相交于点，于 ∴ ， ∵ ∴ ∴和为等腰三角形， ∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查了三角形角分线定理，平行线的性质，梯形面积的运算；等腰三角形的判定等相关知识点，解题关键在于熟练运用其知识点解题即可. 14. 设直线（是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，需要熟练掌握并理解.在解题中，要能根据题意找出规律是解答此题，即使用拆项的方法来解题． 依据题意，首先画出函数的草图，求出直线与两坐标轴的交点，再求出围成的图形的面积． 【详解】解：直线与轴、y轴的交点坐标分别为， 所以， 故 . 15. 证明：是平方数． 【答案】 证明： ， 又的各位数字之和为6，被3整除， 所以，被3整除，于是是整数， 故是平方数. 【解析】 【分析】本题考查了平方数的理解，运用条件代换成完全平方公式，即可求证，题型较难； 根据题意转化为，，再得到，说明即可. 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省华亭市皇甫学校八年级数学竞赛试题（三） 满分60分，时间60分钟 一、选择题（每小题3分，共15分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在题后的括号内． 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 或 D. 且 2. 若分式的值是负数，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 且 3. 无论m为何值时，直线必经过的象限是（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4. 已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　） A. ﹣12 B. ﹣32 C. 38 D. 72 5. 星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家（米）与散步所用的时间（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，就回家了． B. 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了． C. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一会儿，然后回家了． D. 从家出发，散了一会步，就找同学去了，18分钟后才开始返回． 二、填空题（ 每小题3分，共15分）请将答案填在横线上． 6. 观察图，在第6个大三角形中白色三角形共有 ______ 个． 7. 设，则_________． 8. 分解因式= ___________________________． 9. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则=_____． 10. 如图，在中，，于点D，且，求的度数． 三、解答题：（每小题6分，共30分）请给出必要的文字或图形说明、推理过程、演算步骤． 11. 一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)． (1)求该函数的解析式； (2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标． 12. 小王沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆公交车，每隔迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？ 13. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，于．设，．试求梯形的面积． 14. 设直线（是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为，求的值． 15. 证明：是平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $