12.4.2 线段垂直平分线课件 2025-2026学年华东师大版（2024） 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理及逆定理，通过对折操作让学生直观发现PA=PB，经证明得出性质定理后，引导探究逆命题并证明，形成从直观感知到逻辑推理的知识链，为几何推理学习提供支架。 其亮点在于以动手操作和问题链驱动，培养数学眼光（几何直观）与数学思维（推理意识），如性质定理与逆定理的互逆探究及规范几何语言表述。巩固练习分层设计，课堂小结结构化，助力学生构建知识体系，教师可高效实施教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

12.4.2 线段垂直平分线 M A T H 22251 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理. 2.会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题. 学习目标 M A T H 22251 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？ M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 你能给出PA=PB的证明吗？ 新知导入 M A T H 22251 M N P A C B 已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN ⊥AB, ∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义). 在△ACP和△BCP中, ∵AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC, ∴△ACP≌△BCP(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 新知探究 M A T H 22251 M N P A C B 几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 （或PC⊥AB，AC=BC）， ∴PA=PB. 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 归纳 M A T H 22251 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. A B Q M N C 写出线段垂直平分线性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，分析条件和结论，想想其逆命题是否为真命题？说说你的依据. 思考 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 M A T H 22251 逆命题 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析： 思路1：作垂线，证中点； 思路2：作中线，证垂直． A B Q M N C M A T H 22251 证明：如图，过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， ∵QA=QB，QC⊥AB， ∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 尝试写出后一种添加辅助线的证明过程 A B Q M N C M A T H 22251 证明：如图，取线段AB的中点C，连接QC， ∵QA=QB，AC=BC， ∴QC⊥AB（等腰三角形的三线合一）. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． A B Q M N C M A T H 22251 应用格式： ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 上述两条定理互为逆定理. 归纳 M A T H 22251 解：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． 又∵MB＝MC， ∴点M在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． A B C D M 如图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 巩固练习 M A T H 22251 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，说说你在操作后的发现. 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢? 试一试 M A T H 22251 分析：要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只要证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. 其思路可表示如下： B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点P在AC的垂直平分线n上 M A T H 22251 证明：如图，连结PA、PB、PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线 上的点到线段两端的距离相等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端 距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B C A P l n m 证明三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． M A T H 22251 1．关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴． 其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 B 2．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A．AB＝AD　 B．CA平分∠BCD C．AB＝BD　 D．△BEC≌△DEC C 巩固练习 M A T H 22251 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．75° B 4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 D 巩固练习 M A T H 22251 5. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上. 证明：∵∠C=90°，∠A =30° ∴∠ABC=60°， ∵BD是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的垂直平分线上. 巩固练习 M A T H 22251 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 互逆定理 课堂小结 M A T H 22251 $