5.4正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质（1）周期性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）—周期性 1 1.能画出 三角函数 的图象. 2.了解三角函数的周期 性、单调性、奇偶性、 最大（小）值. 3.借助图象理解正弦函数、余 弦函数在 上,正切函数在 , 上的性质. 01 问题：如何作出正弦函数的图象？ 02 正弦函数的图象 若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为 x y 0 -1 1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 五点画图法 02 正弦函数的图象 五点作图法作正弦曲线的一般步骤： (1) 列表(列出五点坐标) x 0 2 y=sinx 0 1 0 -1 0 (3) 连线(用光滑的曲线连接) (2) 描点 y x 1 -1 o 函数y=sinx, xR的图象 正弦曲线 y=sinx ，x[0,2] y=sinx, xR 即： sin(x+2k)=sinx, kZ 终边相同角的三角函数值相等 利用图象平移 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  02 正弦函数的图象 思考：如何由y=sinx，x[0,2]的图象得到y=sinx，xR的图象？ 如何根据y=sinx，x∈R的图像得到y=cosx，x∈R的图像呢？ 思考 ？ y -1 x 1 π 2π 0 y=sinx y=cosx 03 正弦函数的图象 - - - -1 1 - -1 问题： 类比正弦函数，确定余弦函数在[0,2π]上的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 与x轴的交点 最高点 最低点 03 余弦函数的图象 五点作图法作余弦曲线的一般步骤： x 0 2 y=cosx 1 0 -1 0 1 (3) 连线(用光滑的曲线连接) (2) 描点 y x 1 -1 o (1) 列表(列出五点坐标) 03 余弦函数的图象 正弦、余弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦函数的图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  余弦曲线 正弦曲线 形状完全一样只是位置不同 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R) 图像 关键点 -1 1 0 0’ 作法: 2、利用单位圆作正切线 3 、平移正切线 4 、用光滑的曲线连接正切线的交叉点 把单位圆右半圆分成8等份。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A T 1、选择一个周期 画一个周期内正切函数图像 渐近线 渐近线 得到正切函数的图象，并把它叫做正切曲线 根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右平移，（每次平移 个单位长度) · · · 三点两线作一个周期图象，然后有周期性左右平移得到整个定义域内的图象 正切曲线被无穷多支相互平行的直线 隔开的无穷多支形状相同曲线组成的 5.单调性: 6.对称中心： 无最值 新知2：正切函数y=tanx的性质 1.定义域: 3.奇偶性: 奇函数 4.周期性: 2.值域 : R 能否认为函数 在它的定义域内为增函数？ 答案 不能，应该说函数在区间, 内 为增函数，这些区间是不连续的 提醒（1）写单调区间时,不要忘记 . （2） 无单调递减区间. （3）正切函数的图象是由直线 隔开的无穷多条 曲线组成的. 思考 04 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中的 ） 函数 图象 ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ ______________________________________ 定义域 第 29 课时 三角函数的图象与性质 15 函数 值域 _______ _______ 最小正周 期 ____ ___ 奇偶性 ________ ________ 奇函数 单调递增 区间 ， ______________ ， 奇函数 偶函数 第 29 课时 三角函数的图象与性质 16 函数 单调递减 区间 ， ______________ 对称中心 _______ ， ， 对称轴方 程 ________ 无 无 第 29 课时 三角函数的图象与性质 17 图象角度：可以发现，在正弦函数图象上， 横坐标每隔个单位长度， 就会出现纵坐标相同的点, 这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律. 代数角度：从三角函数的定义、诱导公式中 发现——自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等. 数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 周期性 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数， 使得对每一个都有，且， 那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 周期性 知识一 作图感受：已知, 请作出在上的图像。 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数， 使得对每一个都有，且， 那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 周期性 知识一 思考：一个周期函数的周期只有一个吗？请用图像、举例或者证明的方法进行说明 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数， 使得对每一个都有，且， 那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 注意：周期函数的周期不止一个. 例如以及等.都是正弦函数的周期. 事实上，由，我们可知： 常数都是它的周期. 若函数的周期是，则也是的周期. 周期性 知识一 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 根据上述的定义，我们有： 所以正弦函数是周期函数，都是它的的周期， 最小正周期是. 最小正周期 知识二 思考：请你判断并描述正弦函数的周期性 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 思考：类比于正弦函数，探究余弦函数的周期性. 类似的，由，可知，余弦函数也是周期函数. 即常数都是它的周期，最小正周期是. 最小正周期 知识二 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 思考：试判断函数的周期性，并用定义证明 最小正周期 知识二 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 最小正周期 知识二 注意：最小正周期是指能使函数值重复出现的单一自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的， 如的最小正周期是 因为， 即是使函数值重复出现的自变量加上的最小正数，是针对而言的，而非 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 最小正周期 知识二 注意： 并不是所有的周期函数都有最小正周期， 例如，常数函数，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期. 判断正误. (1)若，则是函数的一个周期.（ ） (2)所有的周期函数都有最小正周期.（ ） (3)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　) 定义辨析 ✓ × × 例1.求下列函数的周期： (1) (2) (3) 解：(1)有 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 典例研究 (2) 因为的周期为，于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 不加以特殊说明，一般题目中提到的周期就是指最小正周期 解：(3) 因为的周期为， ，∴ 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？ 函数(其中为常数，且 )的最小正周期为：． 仿照上述分析过程可得: 探究思考 函数的周期只与的系数有关. 求函数最小正周期的常用方法 归纳总结 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 形如<m>(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝ (3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．　　 30 $