2.1 等式性质与不等式性质（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、符号法则与比较大小 5 知识点二、不等式的性质 5 知识点三、比较两代数式大小的方法 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：用不等式（组）表示不等关系 7 题型二：作差法与作商法 8 题型三：糖水不等式 12 题型四：判断命题真假 15 题型五：证明不等式 17 题型六：比较大小 21 题型七：待定系数法 22 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 性质 内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 ； 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 （） 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 【例题2】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得. 故选：D 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解析】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【变式2】下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 【变式3】（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 题型二：作差法与作商法 【例题3】（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【解析】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 【例题4】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【解析】（1）， 则. （2）， 则 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式4】（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【解析】（1）法一： ． 由于， 所以当时，，，  即 法二：因为，所以 所以，则     即 法三：因为，要证 即证 即证 由于，   所以原不等式成立 （2）因为，， 所以 因为，且，所以，， 所以，即 【变式5】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【解析】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 【变式6】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解析】① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型三：糖水不等式 【例题5】（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 【例题6】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 【方法技巧与总结】 糖水不等式:若,则 【变式7】（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【解析】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 【变式8】已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【解析】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 【变式9】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【解析】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 题型四：判断命题真假 【例题7】（多选题）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 【例题8】（多选题）（25-26高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式10】（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 【变式11】（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，又，故，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 【变式12】（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】取，则，A错误； 由题设，得，B正确； 由于,故, 则，C正确； 取，则，D错误． 故选：BC 题型五：证明不等式 【例题9】（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【解析】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 【例题10】设，，，证明：． 【解析】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式13】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式14】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【解析】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【变式15】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【解析】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 题型六：比较大小 【例题11】若正实数满足不等式组，则的大小关系为 （按由小到大排列） 【答案】 【解析】由不等式组及均为正实数，得， 则，即， 所以. 故答案为： 【例题12】有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 【答案】 丁 丙 【解析】由，，可得， 再由，代入，可得：， 再由，因为，所以，即， 所以四个小球中最重的是丁，最轻的是丙， 故答案为：丁，丙. 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式16】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【解析】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 【变式17】已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【答案】④ 【解析】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 【变式18】（24-25高一上·四川泸州·期中） ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【解析】，， ∵且 ∴， 则． 故答案为：＜ 题型七：待定系数法 【例题13】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 【例题14】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式19】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 【变式20】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 【变式21】已知，，，求函数的最大值和最小值． 【解析】令， 即， 所以解得， 分别用乘以三个已知条件，得， 这三个式子相加得，即． 故的最大值和最小值分别为和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、符号法则与比较大小 4 知识点二、不等式的性质 4 知识点三、比较两代数式大小的方法 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：用不等式（组）表示不等关系 6 题型二：作差法与作商法 7 题型三：糖水不等式 8 题型四：判断命题真假 9 题型五：证明不等式 10 题型六：比较大小 11 题型七：待定系数法 12 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 性质 内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 ； 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 （） 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例题2】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【变式2】下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 题型二：作差法与作商法 【例题3】（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【例题4】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式4】（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【变式5】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【变式6】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型三：糖水不等式 【例题5】（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题6】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 糖水不等式:若,则 【变式7】（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【变式8】已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【变式9】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 题型四：判断命题真假 【例题7】（多选题）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例题8】（多选题）（25-26高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式10】（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式11】（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式12】（多选题）（25-26高一上·全国·课前预习）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型五：证明不等式 【例题9】（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【例题10】设，，，证明：． 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式13】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式14】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【变式15】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 题型六：比较大小 【例题11】若正实数满足不等式组，则的大小关系为 （按由小到大排列） 【例题12】有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式16】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）比较大小： （填“<”或“>”）. 【变式17】已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【变式18】（24-25高一上·四川泸州·期中） ．（填“＞”或“＜”） 题型七：待定系数法 【例题13】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题14】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式19】已知，，则的范围是 . 【变式20】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【变式21】已知，，，求函数的最大值和最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $