2.1 等式性质与不等式性质（7大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦“等式性质与不等式性质”这一高中数学核心内容，系统构建从基础概念到综合应用的知识链条，涵盖用不等式表示现实关系、作差作商比较大小、糖水不等式模型、命题真假判断、不等式证明及待定系数法等七大题型，前后衔接紧密，层层递进。 资料设计突出数学眼光、思维与语言的融合运用，以真实情境为载体培养学生的抽象能力与逻辑推理意识，如第7题通过糖水变甜的生活现象引导学生发现并证明不等式规律，体现数学建模思想；第15题利用反证法证明至少一个大于某值，强化理性思维训练。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固知识体系，提升解题策略意识和数学表达能力。

2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：用不等式（组）表示不等关系 2 题型二：作差法与作商法 2 题型三：糖水不等式 3 题型四：判断命题真假 4 题型五：证明不等式 4 题型六：比较大小 5 题型七：待定系数法 5 02 重难点拓展 6 题型一：用不等式（组）表示不等关系 1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 3．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 题型二：作差法与作商法 4．对任意实数，试比较 与 1 的大小． 5．已知，试比较和的大小. 6．设，比较与的大小 题型三：糖水不等式 7．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 9．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 题型四：判断命题真假 10．（多选题）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 题型五：证明不等式 13．（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 题型六：比较大小 16．已知，，，则与的大小关系为 . 17．已知，，则a b．(填“>”或“<”) 18．若，，则、、从小到大的排列为 ． 题型七：待定系数法 19．（多选题）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 2．（25-26高一上·陕西·开学考试）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 9．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 10．（多选题）（24-25高一上·山东济南·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．若，，则M、N的大小关系是M N 13．设为实数，满足，则的最大值是 ． 14．（24-25高三下·北京·强基计划）已知，则的最大值为 ． 15．（1）证明：． （2）已知，且，求证：和至少有一个大于． 16．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知n，k均是正整数，且满足不等式，若对于某一给定的正整数n，存在唯一的正整数k，使该不等式成立．求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值． 17．若，试比较与的大小． 18．（24-25高一上·辽宁·期中）（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．1 等式性质与不等式性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：用不等式（组）表示不等关系 2 题型二：作差法与作商法 3 题型三：糖水不等式 3 题型四：判断命题真假 5 题型五：证明不等式 7 题型六：比较大小 8 题型七：待定系数法 9 02 重难点拓展 11 题型一：用不等式（组）表示不等关系 1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【解析】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 3．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 题型二：作差法与作商法 4．对任意实数，试比较 与 1 的大小． 【解析】 因为 ，对任意实数 ， 所以当且仅当时等号成立． 5．已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 6．设，比较与的大小 【解析】， ， ， . 题型三：糖水不等式 7．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 8．（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【解析】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 9．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【解析】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 题型四：判断命题真假 10．（多选题）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 11．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 12．（多选题）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【解析】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 题型五：证明不等式 13．（1）已知．求证：． （2）已知，求证：的充要条件是． 【解析】（1）由，所以． （2）因为，所以，又， 所以，即，充分性成立； ， 而，所以，即，必要性成立． 综上，的充要条件是． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【解析】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解析】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 题型六：比较大小 16．已知，，，则与的大小关系为 . 【答案】（或） 【解析】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为：（或）. 17．已知，，则a b．(填“>”或“<”) 【答案】 【解析】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 18．若，，则、、从小到大的排列为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 题型七：待定系数法 19．（多选题）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】记①，②，因为， 所以由①②得，A错误，B正确； 由①，②得，， 两式相加得，所以，C正确，D错误． 故选：BC. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 21．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【解析】选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西·开学考试）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项：当时，，则，不可能大于2，A错误； B选项：当时，，则，不可能大于2，B错误； C选项：当时，，则，不可能大于2，C错误； D选项：当时，取，则，存在满足的情况，D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 故选：C. 4．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A 6．（24-25高一上·山西晋城·期末）现有70人需要分成4组，要求每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍.若某组有x人，则x的最大值与最小值之和为（    ） A．24 B．32 C．38 D．40 【答案】C 【解析】设这4组人数分别为，因为总人数为70人，所以， 又因为每一组的人数不超过其他任一组人数的2倍，所以， 为了求x的最大值，我们假设，则，且， 将代入中，得到，解得， 当时，，所以x的最大值为28； 为了求x的最小值，我们要让其他组的人数尽可能大，因为x不超过其他任一组人数的2倍， 所以当x最小的时，其他组人数最多为2x，设x最小为a，则，所以， 故x的最小值为10，所以x的最大值与最小值之和为. 故选：C 7．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【解析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 9．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【解析】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 10．（多选题）（24-25高一上·山东济南·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，又，所以，B错误； 对于C，由，得，又，所以，C正确； 对于D，由，得，则， 则，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（24-25高一上·山西·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 12．若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【解析】令，则，， ， 所以. 故答案为： 13．设为实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】32 【解析】由题设，则， 所以的最大值是32. 故答案为：32 14．（24-25高三下·北京·强基计划）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 当时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．（1）证明：． （2）已知，且，求证：和至少有一个大于． 【解析】（1）要证不等式，只要证， 即证明，即证明，即证明． 显然恒成立，所以不等式成立． （2）假设和都不大于，则 又因为，所以， 所以两式相加得，与矛盾， 故假设不成立，所以和至少有一个大于． 16．（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知n，k均是正整数，且满足不等式，若对于某一给定的正整数n，存在唯一的正整数k，使该不等式成立．求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值． 【解析】根据得，所以 于是， 因对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k，使该不等式成立， 所以，解得， 又因为n为正整数，当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去； 当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去； 当时，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意， 所以正整数n的最大值是18． 对于， 当时，由，得无解， 当时，易得，对于无解， 当时，由，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意， 所以正整数n的最小值是10． 17．若，试比较与的大小． 【解析】 ， 因为，所以， 故. 18．（24-25高一上·辽宁·期中）（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【解析】（1）证明：若，则，，不合题意，. 要证，只需证， 又，只需证， 即，只需证，只需证， 成立，原式成立. （2）证明：假设，，， ，与矛盾， 假设不成立，与至少有一个大于. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $