13.3.2 三角形的外角 课时练 2025-2026学年人教版八年级数学 上册

2025-2026学年八年级上册数学人教版课时练 13.3.2 三角形的外角 知识连接 知识点一、三角形外角的定义 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，称为三角形的外角。 （1）每个顶点有两个外角（互为对顶角，度数相等）。 （2）外角与相邻内角互为邻补角（和为180°）。 2.表示方法： 例如，△ABC中，延长边BC至点D，则∠ACD是△ABC的一个外角。 知识点二、三角形外角的性质 1.外角定理： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 符号语言：在△ABC中，∠ACD = ∠A + ∠B。 2.推论： 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角（即∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）。 知识点三、外角的应用 1.求角度： （1）已知两个内角，可直接求出外角（如∠A=50°，∠B=60°，则外角∠ACD=110°）。 （2）已知一个外角和其中一个不相邻内角，可求另一个内角。 2.证明问题： 利用外角定理证明角之间的不等关系（如∠ACD > ∠A）。 基础巩固 一、选择题 1．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解；∵，， ∴， 故答案为：A． 【分析】根据三角形外角的性质可直接求得答案。 2．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 根据题意得：，， ∴． 故答案为：C. 【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用三角形外角的性质求出∠1的度数即可. 3．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【解析】【解答】解：是的角平分线 ， ， 是的外角， ． 故选：C． 【分析】根据角平分线的定义求出=65°，根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．如图，直线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示： ∵直线a//b， ∴∠4＝∠3， ∵∠1＋∠2＝∠4， ∴∠3＝∠1＋∠2＝95°． 故答案为：C. 【分析】先利用平行线的性质可得∠4＝∠3，再利用三角形外角的性质求出∠3＝∠1＋∠2＝95°即可． 5．如图，是的外角的平分线，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵是的外角的平分线 ，， ∴， 又∵∠ACD=∠B+∠A，∠B=35°， ∴ ∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°， 故答案为：B. 【分析】先由角平分线求出∠ACD=120°，再利用三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，即可求出∠A的值。 6．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故答案为：C． 【分析】先利用角的运算求出，再利用三角形外角的性质求出即可. 7．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【分析】根据平分，得到，再根据三角形的外角和进行转化即可． 8．如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠A=50° ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB ∴∠BPE=∠DBC+∠ECB=65° 故答案为：D 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质和三角形内角和。由三角形内角和为180°和∠A=50°可知：∠ABC+∠ACB=130°由角平分线的定义可知：，即，由三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可知：∠BPE=∠DBC+∠ECB=65°，即可得出答案. 二、填空题 9．中，，那么与相邻的一个外角等于　 　． 【答案】117° 【解析】【解答】解：的外角=. 故答案为：117° 【分析】利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解. 10．如图，为的外角，若，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵∠ABC=2∠BAC， ∴， ∵∠ABC+∠BAC=∠ACD， ∴， ∴∠ABC=78°， 故答案为：． 【分析】根据三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和列式计算即可求解． 11．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】首先根据平行线的性质得出∠OFB=35°，进而根据三角形外角的性质得出∠POF=25°，进而根据对顶角相等即可得出答案。 12．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：如图，延长CD交AB于E， 故答案为：. 【分析】延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出. 再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 13．如图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=　 　度. 【答案】180 【解析】【解答】解： ， 故答案为：180. 【分析】利用三角形的内角和定理计算. 能力提升 三、解答题 14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 【答案】解：∵∠B=30°，∠ACD=100°∴∠BCA=180°-100°=80° ∠CAE=∠B+∠BCA=30°+80°=110° AD是△ABC的外角平分线 ∴∠DAE=110°=55° 【解析】【分析】根据邻补角的定义求出∠BCA=80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠CAE =30°+80°=110°，然后再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出∠DAE的度数． 15．已知，中，平分，，，求的度数． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 【解析】【分析】利用直角三角形的两锐角互余依次求出、、的度数，再利用角平分线的概念求出的度数，最后利用三角形的外角的性质可求出∠AFD的度数. 16．已知：射线是的外角的平分线． （1）如图1，延长交射线于点E，若，，求的度数； （2）如图2，射线交于点G，若，求证：平分． 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵射线是的外角的平分线． ∴， ∴； （2）证明：∵射线是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分． 【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠DCE的度数，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据角平分线的定义得到：，进而根据三角形外角性质得到，再结合已知条件得到，进而即可求解. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学人教版课时练 13.3.2 三角形的外角 知识连接 知识点一、三角形外角的定义 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，称为三角形的外角。 （1）每个顶点有两个外角（互为对顶角，度数相等）。 （2）外角与相邻内角互为邻补角（和为180°）。 2.表示方法： 例如，△ABC中，延长边BC至点D，则∠ACD是△ABC的一个外角。 知识点二、三角形外角的性质 1.外角定理： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 符号语言：在△ABC中，∠ACD = ∠A + ∠B。 2.推论： 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角（即∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）。 知识点三、外角的应用 1.求角度： （1）已知两个内角，可直接求出外角（如∠A=50°，∠B=60°，则外角∠ACD=110°）。 （2）已知一个外角和其中一个不相邻内角，可求另一个内角。 2.证明问题： 利用外角定理证明角之间的不等关系（如∠ACD > ∠A）。 基础巩固 一、选择题 1．如图，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，，，则的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，直线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的外角的平分线，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．中，，那么与相邻的一个外角等于　 　． 10．如图，为的外角，若，，则　 　． 11．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为　 　． 12．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是　 　. 13．如图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=　 　度. 能力提升 三、解答题 14．如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数． 15．已知，中，平分，，，求的度数． 16．已知：射线是的外角的平分线． （1）如图1，延长交射线于点E，若，，求的度数； （2）如图2，射线交于点G，若，求证：平分． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $