第01讲 有理数与数轴（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第01讲 有理数与数轴 知识点1：正数和负数 知识点2：有理数 知识点3：数轴 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【题型1 正数与负数】 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，熟知比0小的数叫做负数是解题的关键． 需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“” ，如果有“”就是负数，否则是正数. 【详解】解：，，是负数，有3个， 故选：D． 【变式1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 【变式2】下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了负有理数“负有理数就是小于0的有理数”，熟记负有理数的定义是解题关键．根据负有理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，则此项不符合题意； B、是负数，则此项符合题意； C、3是正数，则此项不符合题意； D、是正数，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列与1.3米最接近的是（   ） A．人的皮肤的厚度B．楼房的高度 C．地球的半径 D．书桌的高度 【答案】D 【分析】本题考查了物体长度的估算，根据生活实际即可解答，有1.3米的概念是解题的关键． 【详解】解：与1.3米最接近的是书桌的高度， 故选：D． 【题型2 相反意义的量表示】 【典例2】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出元记作元，那么收入元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题涉及正负数的意义，核心是利用正负数表示相反意义的量，支出为负时，收入就为正．根据正负数表示相反意义的量，支出记为负，那么收入就记为正，从而确定收入元的记法． 【详解】解：∵支出元记作元，支出和收入是相反意义的量， ∴收入元记作元， 故选：C． 【变式1】如果向东走，记作，那么表示 （    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】B 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．根据向东走记为正，则向西走就记为负，即可直接得出结论． 【详解】解：如果向东走表示，那么表示向西走． 故选：B． 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若收入记为正，那么支出则记为负，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负， ∴如果收入300元记作元，那么元表示支出90元， 故选：A． 【变式3】下面不具有相反意义的量是（    ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加和体重减少3千克 【答案】D 【分析】本题考查的是具有相反意义的量的含义．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进和后退是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． B、节约3吨水和浪费2吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． C、存入800元和支出500元是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． D、身高增加和体重减少3千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意． 故选：D． 【题型3 正负数的实际应用】 【典例3】家乐福出售的面粉袋上标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的概念，理解其概念是解题的关键． 根据题意求出质量的最大值和最小值即可． 【详解】解：根据题意得：标有质量为的字样， ∴最大为，最小为， 二者之差为． 故选：D． 【变式1】根据国际足联的规定，足球的标准直径为（单位：），如图，足球直径不合格的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】A 【分析】本题考查正、负数的实际应用，明确“”是解题的关键． 根据题意判断出不合格的即可． 【详解】解：“”表示足球直径最小为，最大为，，所以选1号． 故选：A． 【变式2】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是 ．①    ②    ③10    ④20 【答案】② 【分析】本题考查了正负数的应用． 根据“需拧紧琴弦”得出①②，进而找出最接近标准音的数字即可. 【详解】∵指针指向40需放松琴弦 ∴指针指向需拧紧琴弦，即指针指向负数需拧紧， ∵比更接近标准音， ∴表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是② 故答案为：②． 【变式3】某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作 分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是 分． 【答案】 88 【分析】本题考查了正数、负数的应用，熟练掌握其意义是解题的关键． 【详解】解：平均成绩为95分，把平均成绩记为0分， ，超出3， 故记作：； 小兰的成绩记作分，她的实际得分是， 故答案为：，88． （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【题型4 有理数的概念辨析】 【典例4】给出下列各数：，1.01，，5，0.101001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，逐一分析所给的数，判断其是否为有理数，进而确定有理数的个数. 【详解】解：是有理数，根据有理数的定义，分数属于有理数，选项正确，符合题意; 1.01可以写成分数形式，是分数，所以1.01时有理数. 是分数，所以是有理数. 5是正整数，根据有理数的定义，整数属于有理数，所以5是有理数. 0.101001…是无限不循环小数，它既不是整数也不是分数，根据有理数的定义，它不属于有理数. 所以，共有4个有理数. 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的定义，解题的关键是抓住“整数和分数统称为有理数”. 【变式1】在，π，0，这些数中，属于有理数的有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的定义，掌握其分类是解题的关键．根据有理数的定义得出结论即可． 【详解】解：在，π，0，这些数中，属于有理数的是：，0，，共5个， 故选：D． 【变式2】在、、，0、（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，0这三个数都是有理数， 故选：B． 【变式3】下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，正确理解有理数的定义是解本题的关键．根据有理数的定义，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； ，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加）不是有理数； 即有理数的个数是4， 故选：B． 【题型5 有理数的分类】 【典例5】把下列各数填在相应的数集内：1，，，0，，，，， (1)正整数集合{      　…} (2)正分数集合{    　…} (3)负分数集合{            　…} 【答案】(1)1， (2)， (3) ， 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类和概念是关键． （1）根据大于0的整数是正整数，可得正整数集合； （2）根据大于0的分数是正分数，可得正分数集合； （3）根据小于0的分数是负分数，可得负分数集合． 【详解】（1）解：正整数集合{ 1， } （2）解：正分数集合{， } （3）解：负分数集合{ ， } 【变式1】把下列各数填入相应的大括号内： 正数：{                             …}． 负数：{                             …}． 整数：{                             …}． 负分数：{                             …}． 【答案】见解析 【分析】根据大于零的数是正数，小于0的数是负数，整数的定义，负分数的定义选择填写即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． 【详解】解：正数： 负数：． 整数：． 负分数 【变式2】把下列各数填入相应的集合中： ，0.5，，28，0，， (1)负分数集合{                      } (2)正整数集合{                      } (3)非负有理数集合{                      } 【答案】(1)， (2)28 (3)0.5，28，0， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题过程中重点在于做到不重不漏．根据有理数分类进行填空即可． 【详解】（1）解：负分数集合：{，}； （2）解：正整数集合：{28}； （3）解：非负有理数集合：{0.5，28，0，}． 【变式3】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 2，，，，，0，20%． (1)整数集合：{                       …}； (2)分数集合：{                       …}； (3)非负数集合：{                       …}； (4)有理数集合：{                       …}． 【答案】(1)2，，0 (2)，，20% (3)2，，，0，20% (4)2，，，，0，20% 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负数包括正数和0，负有理数为小于0的有理数数，进行作答即可． 【详解】（1）解：整数集合：{2，，0，…} （2）解：分数集合：{，，20%…} （3）解：非负数集合：{2，，，0，20%…} （4）解：有理数集合：{ 2，，，，0，20% …} （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 【题型6 数轴的画法及应用】 【典例6】下列数轴画法，规范的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少正方向，故此选项不符合题意； B、单位长度不一致，故此选项不符合题意； C、缺少原点，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：A、此数轴表示正确； B、此数轴单位长度不统一，错误； C、此数轴无方向，错误； D、此数轴单位标注错误，故错误； 故选：A． 【变式2】如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画数轴，熟练掌握数轴有三要素：原点，单位长度和正方向，根据三要素进行判断即可． 【详解】解：A、没有原点，故A不符合题意； B、单位长度不统一，故B不符合题意； C、没有正方向，故C不符合题意； D、所画数轴正确，故D符合题意 故选：D． 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 【题型7用数轴上的点表示有理数】 【典例7】在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． 【变式1】如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，先把分数化为小数，再得出，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则 ∴不在与2之间， 故选：C 【变式2】如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解． 【详解】解：数轴上点A表示的数是． 故选：B 【变式3】如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数为5，则线段的中点位置所表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查数轴上数的表示两点间的距离．根据B所表示的数可得原点的位置，然后确定点A、B的中点位置，即可得到结果． 【详解】解：∵点B表示的数为5， 如图， 则A点所表示的数为， ∴线段的中点位置所表示的数是， 故答案为：． 【题型8利用数轴比较有理数的大小】 【典例8】在数轴上把下列各数：、 、、表示出来，并按照由小到大的顺序用“”进行排列． 【答案】数轴上表示见解析，． 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，在数轴上比较有理数的大小，先将各数在数轴上表示出来，然后从左向右顺次排列，再用小于号连接即可，正确的标出有理数和理解在数轴上越往右表示的有理数越大是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴． 【变式1】在数轴上表示下列各数：，，3，，，0，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 【变式2】在数轴上表示下列各数：，4，，2.5，0，并把它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】见解析 【分析】先明确各数在数轴上的位置，将其准确表示出来，再根据数轴上数的大小规律进行排序．本题主要考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的分布规律是解题的关键． 【详解】解：将、、、、在数轴上表示出来，如图， ∵数轴上左边的数小于右边的数 ∴． 【变式3】先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、数轴等知识点，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案，熟练掌握利用了数轴比较有理数的大小的方法是解决此题的关键． 【详解】解∶如图， 按照小到大排列，并用“<”连接如下： ． 【题型9数轴上两点之间的距离】 【典例9】点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 【变式1】点A在数轴上的位置如图所示，若点B到点A的距离是3个单位长度，则点B在数轴上代表的数字是 ．    【答案】或1 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离，根据数轴上两点间的距离公式，分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；分别求解即可． 【详解】解：由数轴可得点表示的数为， ∵点B到点A的距离是3个单位长度， ∴当点在点的左边时，表示的数为；当点在点的右边时，表示的数为； 综上所述，点B在数轴上代表的数字是或1， 故答案为：或1． 【变式2】在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，分别表示的数是和， 线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 【变式3】数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的计算方法的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题可以采用两种方法：第一种方法在数轴上直接表示出、和的数，然后即可求出两点之间的距离；第二种方法就是直接用较大的数减去较小的数，在数轴上越靠右的数越大，然后即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； 故答案为：2；6． 【题型10数轴上的动点问题】 【典例10】为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减运算，一般地：点在数轴上平移，向左平移几个单位，则用该点表示的数减几，即得平移后点表示的数；向右平移几个单位，则用该点表示的数加几，即得平移后点表示的数．分向左平移或向右平移两种情况讨论计算即可求解． 【详解】解：若点向左平移个单位，点表示的数是， 若点向右平移个单位，点表示的数是， 点表示的数为或． 故选：D． 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上点的平移，正确记忆平移规律是解题的关键． 利用A点位置结合平移规律依次求得点B，C表示的数． 【详解】解：点A表示的数是3， 由点A向右移动2个单位长度到点B，点B表示的数是， 由点B向左移动9个单位长度到点C，点C表示的数是． 故答案为：． 【变式2】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 【题型11数轴上覆盖整数点】 【典例11】小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是数轴的认识以及整数的概念．先将分数化为小数，然后找出数轴上被墨迹遮盖部分的范围，进而确定其中的整数． 【详解】解：∵， 即：在数轴上，大于且小于的整数有，，，共个． 故答案为：． 【变式1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有 个． 【答案】或/或 【分析】本题考查数轴上整点覆盖问题，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．根据题意，按照端点是否为整点进行分类讨论即可． 【详解】解：若点所在位置不是整点，则线段盖住的整点有个， 若点所在位置是整点，则线段盖住的整点有个， 故答案为：或． 【变式2】数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 【变式3】数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 1．在，，0，6这四个数中，既是正数又是分数的是（   ） A．6 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，解答本题的关键是掌握正数和分数的定义． 根据正数和分数的定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：6是正数，但不是分数，故不符合题意； 选项B：是分数，也是正数，故符合题意； 选项C：0不是正数，也不是分数，故不符合题意； 选项D：不是正数，也不是分数，故不符合题意． 故选：B． 2．收入8元记作元，那么支出9元记作（　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，在具有相反意义的量中，如果把一种意义的量规定为正，那么另一种意义的量就用负表示． 题中收入记作正数，那么支出就记作负数． 【详解】解：收入8元记作元，那么支出9元记作元． 故选：C． 3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解题意是解题关键．分别计算三种品牌面粉的最大质量和最小质量，再用三种品牌面粉中最大质量与另两个品牌最小质量作差，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 第二种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 第三种品牌面粉的最大质量为，最小质量为； 从中任意拿出不同品牌的两袋，它们的质量最多相差， 故选：A． 4．在世界数学史上，中国古代数学著作《九章算术》首次正式引入负数．如果盈利80元记作元，那么元表示（   ） A．亏损25元 B．亏损55元 C．盈利25元 D．盈利55元 【答案】A 【分析】此题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：如果盈利80元记作元，那么元表示亏损25元， 故选：A． 5．立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是．若小红跳出，记为，则珍珍跳出，应记为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，关键是掌握正数和负数实际意义．由正数和负数表示的实际意义，即可得到答案． 【详解】解：， 即珍珍的成绩比满分标准低， ∵若小红跳出，记为， ∴珍珍的成绩应记为． 故选：A． 6．关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的初步认识，0的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即可． 【详解】解：0是整数，也是有理数， 0不是正数，也不是负数， 0也是自然数． ∴（1）（2）正确 故选：C． 7．若气温为零上记作，则气温为零下记作 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握相反意义的量的意义是解决本题的关键． 根据零上记作，由此可表示零下． 【详解】解：∵零上记作， ∴气温为零下记作 故答案为： ． 8．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，某公司买进抗疫物资5吨，记为＋5吨，那么卖出抗疫物资6吨应记为 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运算的符号是解决本题的关键．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：买进抗疫物资5吨，记为吨，那么卖出抗疫物资6吨应记为吨． 故答案为：． 9．科学鉴定显示，兴县大明绿豆含脂肪，含蛋白质，并含有6种人体必需的氨基酸．王叔叔买了一袋兴县大明绿豆，袋上标有“”的标记，这袋绿豆最轻 ，最重是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单位的换算，理解题意是解题的关键．根据题意可知，最轻是，最重是，再根据单位的换算即可得出答案． 【详解】解： ∴这袋绿豆最轻，最重是． 故答案为：；． 10．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作元，则支出50元记作 【答案】元 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键． 由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：∵收入与支出是互为相反意义的量， ∴支出50元记为元， 故答案为元． 11．如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多 ． （2）平均体重记作，的体重可记作 ． （3）若平均体重是，那么的体重是 ． 【答案】 10 35 【分析】本题考查的是统计图的应用． （1）由图可知，A的体重比平均体重多，D的体重比平均体重少，由此解答本题； （2）A的体重比平均体重多，B的体重比平均体重少，D的体重比平均体重少，则C的体重比平均体重多，由此解答本题； （3）B的体重比平均体重少，由此解答本题． 【详解】解：（1）， 答：A的体重比D的体重多． 故答案为：10； （2）C的体重比平均体重多：， 答：平均体重记作，C的体重可记作． 故答案为：； （3）， 答：若平均体重是，那么B的体重是， 故答案为：35． 12．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 【答案】，，；，，；，，，，，，，，；， 【分析】本题主要考查了有理数及其分类．根据分数、整数、负数、正数和有理数的概念分析判断即可． 【详解】解： 非负分数集合{，，，…}； 整数集合{，，，…}； 有理数集合{，，，，，，，，，…}； 非正整数集合{，，…}． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数与数轴 知识点1：正数和负数 知识点2：有理数 知识点3：数轴 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【题型1 正数与负数】 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【变式3】下列与1.3米最接近的是（   ） A．人的皮肤的厚度B．楼房的高度 C．地球的半径 D．书桌的高度 【题型2 相反意义的量表示】 【典例2】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出元记作元，那么收入元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】如果向东走，记作，那么表示 （    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【变式3】下面不具有相反意义的量是（    ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加和体重减少3千克 【题型3 正负数的实际应用】 【典例3】家乐福出售的面粉袋上标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 【变式1】根据国际足联的规定，足球的标准直径为（单位：），如图，足球直径不合格的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式2】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是 ．①    ②    ③10    ④20 【变式3】某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作 分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是 分． （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【题型4 有理数的概念辨析】 【典例4】给出下列各数：，1.01，，5，0.101001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】在，π，0，这些数中，属于有理数的有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在、、，0、（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5 有理数的分类】 【典例5】把下列各数填在相应的数集内：1，，，0，，，，， (1)正整数集合{      　…} (2)正分数集合{    　…} (3)负分数集合{            　…} 【变式1】把下列各数填入相应的大括号内： 正数：{                             …}． 负数：{                             …}． 整数：{                             …}． 负分数：{                             …}． 【变式2】把下列各数填入相应的集合中： ，0.5，，28，0，， (1)负分数集合{                      } (2)正整数集合{                      } (3)非负有理数集合{                      } 【变式3】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 2，，，，，0，20%． (1)整数集合：{                       …}； (2)分数集合：{                       …}； (3)非负数集合：{                       …}； (4)有理数集合：{                       …}． （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 【题型6 数轴的画法及应用】 【典例6】下列数轴画法，规范的是（） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【题型7用数轴上的点表示有理数】 【典例7】在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【变式1】如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【变式3】如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数为5，则线段的中点位置所表示的数是 ． 【题型8利用数轴比较有理数的大小】 【典例8】在数轴上把下列各数：、 、、表示出来，并按照由小到大的顺序用“”进行排列． 【变式1】在数轴上表示下列各数：，，3，，，0，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【变式2】在数轴上表示下列各数：，4，，2.5，0，并把它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． 【变式3】先在数轴上表示下列各数，再把它们按照从小到大的顺序排列，并用“”连接 3.5， ，， 0， 【题型9数轴上两点之间的距离】 【典例9】点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【变式1】点A在数轴上的位置如图所示，若点B到点A的距离是3个单位长度，则点B在数轴上代表的数字是 ．    【变式2】在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 【变式3】数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【题型10数轴上的动点问题】 【典例10】为数轴上表示的点，将点沿数轴平移个单位到点，则点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【变式2】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【题型11数轴上覆盖整数点】 【典例11】小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨迹遮盖住的整数共有 个． 【变式1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有 个． 【变式2】数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【变式3】数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 1．在，，0，6这四个数中，既是正数又是分数的是（   ） A．6 B． C．0 D． 2．收入8元记作元，那么支出9元记作（　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（   ） A． B． C． D． 4．在世界数学史上，中国古代数学著作《九章算术》首次正式引入负数．如果盈利80元记作元，那么元表示（   ） A．亏损25元 B．亏损55元 C．盈利25元 D．盈利55元 5．立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是．若小红跳出，记为，则珍珍跳出，应记为（　　） A． B． C． D． 6．关于“零”的说法正确的是（　　） （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（1）（3） 8．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，某公司买进抗疫物资5吨，记为＋5吨，那么卖出抗疫物资6吨应记为 吨． 9．科学鉴定显示，兴县大明绿豆含脂肪，含蛋白质，并含有6种人体必需的氨基酸．王叔叔买了一袋兴县大明绿豆，袋上标有“”的标记，这袋绿豆最轻 ，最重是 ． 10．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作元，则支出50元记作 11．如图，以、、、四人的平均体重为基准，已用条形统计图表示出、、三人的体重（整千克数）． （1）的体重比的体重多 ． （2）平均体重记作，的体重可记作 ． （3）若平均体重是，那么的体重是 ． 12．将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $