1.5全称量词与存在量词课时作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1．5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 一、 单项选择题 1 (2025惠州练习)下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有(　　) A. ∃x∈R，x2－2x＋1<0 B. 有的矩形不是平行四边形 C. ∃x∈R，x2＋2x＋2≥0 D. ∀x∈R，x3＋3≠0 2 下列命题中，全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n(n≥3，n∈N*)边形的内角和是(n－2)×180°. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 (2025上海练习)下列命题中，是全称量词命题的是(　　) A. 存在一个实数的平方是负数 B. 每个四边形的内角和都是360° C. 至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D. 存在一个实数x，使得x2＝x 4 已知p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0.若p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A. {a|0<a<4} B. {a|a≤4} C. {a|a<0} D. {a|a≥4} 5 已知命题p：∃x0∈N，x<x；命题q：∀a∈R，函数y＝a(x－2)的图象过点(2，0)，则关于命题p，q的判断中正确的是(　　) A. p假q真 B. p真q假 C. p假q假 D. p真q真 6 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆(∁UC)”是“A∩B＝∅”的(　　) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7 (2025樟树中学月考)已知命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A. {m|m>－4} B. {m|m≥－4} C. {m|m>－6} D. {m|m≥－6} 二、 多项选择题 8 下列命题中，是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　) A. 有一个x∈R，使得x2>3成立 B. 对有些x∈R，使得x2>3成立 C. 任选一个x∈R，都有x2>3成立 D. 至少有一个x∈R，使得x2>3成立 9 (2024榆林期中)下列存在量词命题中，是假命题的是(　　) A. ∃x∈Z，2x＋－1＝0 B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C. ∃x∈R，|x|<0 D. 有些自然数是偶数 三、 填空题 10 能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 11 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①命题“负数的平方是正数”是存在量词命题； ②∃a∈N，使2a为质数； ③∀k∈R，函数y＝kx＋3都是一次函数； ④∀x>3，x2－4x＋3>0. 12 已知命题p：∀x≤1，a≥3x－1，命题q：∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 13 (2024许昌期中)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1) 任意两个等边三角形都相似； (2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3) 对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x<x； (4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 14 已知命题p：“∃x∈R，x2－4x＋m＝0”为假命题． (1) 求实数m的取值集合B； (2) 设A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 15 是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 一、 单项选择题 1 (2024哈尔滨期中)命题“∀x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是(　　) A. ∃x∈R，x2＋2x－4≤0 B. ∃x∈R，x2＋2x－4<0 C. ∀x∈R，x2＋2x－4<0 D. ∀x∈R，x2＋2x－4≤0 2 已知命题p：∃x0∈R，x0－2>，命题q：∀x∈R，x2>0，则下列关于命题p，q的判断中正确的是(　　) A. 命题p，q都是假命题 B. 命题p，q都是真命题 C. 命题p是真命题，命题q是假命题 D. 命题p是假命题，命题q是真命题 3 (2025邯郸期末)已知命题p：∃a∈R，ax2－2x＋1＝0有实数解，则命题p的否定是(　　) A. ∀a∈R，ax2－2x＋1≠0有实数解 B. ∀a∈R，ax2－2x＋1＝0无实数解 C. ∀a∈R，ax2－2x＋1＝0有实数解 D. ∃a∈R，ax2－2x＋1≠0无实数解 4 下列三个命题中，真命题的个数是(　　) ①若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1； ②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5 下列命题中，正确的是(　　) A. “x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件 B. ∀x∈R，x2＋1＞2x C. ∃x∈R，x2＋1＝x D. 命题“∀x∈R，x2＋1≥2x”的否定是“∃x∈R，x2＋1＜2x” 6 (2024白银期中)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. {a|a<－} B. {a|a>－} C. {a|a>} D. {a|a<} 7 (2024荆州期中)已知命题p：∀x∈R，>0，则¬p为(　　) A. ∀x∈R，≤0 B. ∃x∈R，≤0 C. ∀x∈R，≤0或x－1＝0 D. ∃x∈R，≤0或x－1＝0 二、 多项选择题 8 (2024长春期中)下列说法中，正确的是(　　) A. “m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B. 若x，y，z∈R，则“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要条件 C. 若a，b，c∈R，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立的充要条件是b2－4ac≤0 D. 命题“∀x<0，x2<0”的否定是“∃x<0，x2≥0” 9 下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法中，正确的是(　　) A. ∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1 B. ∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a C. ∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a D. ∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1 三、 填空题 10 (2024无锡期中)请写出命题“∃x∈R，x2＋3x－10>0”的否定：____________． 11 (2024南通期中)设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的x∈A，有x∉B；②对任意的x∈B，有x∉A；③存在x∈A，使得x∉B.上述三个命题的否定是真命题的序号是________． 12 某中学开展小组合作学习模式，某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数 m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？________．(填“是”或“否”) 四、 解答题 13 写出下列命题的否定： (1) 有些四边形有外接圆； (2) 末位数字为9的整数能被3整除； (3) ∃x∈R，x2＋1<0. 14 已知命题p：∃x∈R，使x2－x＋m＝0，若命题p的否定是假命题，求实数m的取值范围． 15 (2025重庆期中)已知命题p：∀x∈R，x2－6x＋a2≠0，当命题p为假命题时，实数a的取值集合为A. (1) 求集合A； (2) 设非空集合B＝{a|3m－2≤a≤m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 1．5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1. C　显然A，B，C均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意．对于A，因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以命题为假命题；对于B，因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；对于C，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故命题为真命题，故C正确． 2. C　命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题．故全称量词命题的个数是2. 3. B　显然A，C，D均为存在量词命题；B是全称量词命题． 4. B　因为p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0是真命题，所以方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，故实数a的取值范围为{a|a≤4}． 5. A　由x<x，得x(x0－1)<0，解得x0<0或0<x0<1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；因为对任意的a∈R，均有x＝2时，y＝0，所以命题q为真命题． 6. A　因为C∩(∁UC)＝∅，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”可以推出“A∩B＝∅”；反过来，若A∩B＝∅，取C＝A，则A⊆C，B⊆∁UC，所以“A∩B＝∅”可以推出“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”，故选A. 7. D　若“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是真命题，即当－3≤x≤－2时，m<恒成立，则m<min，其中x∈{x|－3≤x≤－2}，由－3≤x≤－2，得－≤≤－，所以－6≤≤－4，m<－6，所以命题“∀x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则实数m的取值范围为m≥－6. 8. ABD　显然C是全称量词命题，A，B，D符合题意．故选ABD. 9. AC　对于A，2x＋－1＝0，即(2－1)(＋1)＝0，解得x＝∉Z，所以A是假命题；对于B，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；对于C，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以C是假命题；对于D，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．故选AC. 10. (2，4)(答案不唯一)　由a2－ab＋b＝0，化简，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1).当a＝2时，b＝4，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 11. ②④　命题“负数的平方是正数”是全称量词命题，故①错误；当a＝1时，2a＝2为质数，故②正确；当k＝0时，函数y＝3是常数函数，不是一次函数，故③错误；当x＞3时，x－3＞0，x－1＞0，所以x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＞0，故④正确． 12. {a|a<2}　{a|2≤a≤4}　若命题p：∀x≤1，a≥3x－1为真命题，则a≥(3x－1)max＝2，所以若命题p是假命题，则a<2.若命题q：∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是{a|2≤a≤4}． 13. (1) 全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． (2) 存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． (3) 全称量词命题，存在x1＝－5<x2＝－3，但(－5)2>(－3)2，该命题是假命题． (4) 存在量词命题，由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，该命题是假命题． 14. (1) 因为关于x的方程x2－4x＋m＝0无实数根， 所以Δ＝16－4m<0，解得m>4，即B＝{m|m>4}． (2) 因为A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合， 所以3a<a＋4，即a<2. 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以AB， 所以3a≥4，即a≥. 综上可得≤a<2，即实数a的取值范围是{a|≤a<2}． 15. 假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题． 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5<3－4m<，解得<m<2. 又m为整数，所以m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－，－5<3－4m<x＋1”是真命题． 1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1. A　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x－4≤0”． 2. C　当x0＝9时，x0－2>，故命题p为真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题． 3. B　由存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题p的否定是∀a∈R，ax2－2x＋1＝0无实数解． 4. D　对于①，假设a<1，b<1，则a＋b<2，与条件矛盾，故①是真命题；对于②，当a＝b＝2时，a＋b＝ab，故②是真命题；对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故真命题的个数是3. 5. D　对于A，由x2－3x＋2＝0，得x＝2或x＝1，所以“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故A错误；对于B，取x＝1，x2＋1＞2x不成立，故B错误；对于C，x2＋1＝x，即x2－x＋1＝0，此方程没有实数解，故C错误；对于D，全称量词命题的否定是存在量词命题，故D正确． 6. C　命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－1)2－a2<0，解得a>. 7. D　根据全称量词命题的否定为存在量词命题知命题p：∀x∈R，>0的否定¬p为∃x∈R，≤0或x－1＝0. 8. ABD　对于A，令f(x)＝x2＋x＋m，方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根，则f(0)<0，解得m<0，所以“m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A正确；对于B，当y＝0，x>z时，则xy2＝zy2，若xy2>zy2成立，则y≠0，则y2>0，所以x>z，所以“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当a<0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0恒成立，故C错误；对于D，命题“∀x<0，x2<0”的否定是“∃x<0，x2≥0”，故D正确．故选ABD. 9. BD　二次函数y＝(x－2)2－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，且最小值为－1.对于A，因为y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1不成立，故A错误；对于B，因为∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a成立，故B正确；对于C，因为y＝(x－2)2－1≥－1，所以∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a不成立，故C错误；对于D，根据二次函数图象的对称性可知，∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1成立，故D正确. 故选BD. 10. ∀x∈R，x2＋3x－10≤0　“∃x∈R，x2＋3x－10>0”的否定为∀x∈R，x2＋3x－10≤0. 11. ①②　根据题意，设A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A与B之间不存在包含关系．因为3∈A且3∈B，所以①②是假命题；由A，B≠∅，若A∩B＝∅，即∀x∈A，都有x∉B，若A∩B≠∅且A，B不存在包含关系，则必∃x∈A，使x∉B，所以③是真命题．综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题． 12. 是　因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的． 13. (1) 所有的四边形都没有外接圆． (2) 存在一个末位数字为9的整数不能被3整除． (3) ∀x∈R，x2＋1≥0. 14. 命题p的否定是假命题，则命题p是真命题， 所以关于x的方程x2－x＋m＝0有实数解， 所以Δ＝1－4m≥0，解得m≤， 所以实数m的取值范围是{m|m≤}． 15. (1) 由题意，得¬p：∃x∈R，x2－6x＋a2＝0为真命题， 所以Δ＝36－4a2≥0，所以－3≤a≤3， 即集合A＝{x|－3≤x≤3}． (2) 因为集合B非空，所以3m－2≤m－1，即m≤. 因为B⊆A，所以解得－≤m≤4， 所以－≤m≤， 所以实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $