四川省内江市第六中学2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

内江六中2025-2026学年（上）高2027届入学考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 2. 为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法不正确的是（ ） （第2题图） (第7题图) (第10题图) A. 讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B. 讲座后问卷答题得分的众数为90 C. 讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差 D. 讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差 3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度沿正东方向前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 7. 如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ）A. B. C. D. 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 10. 如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 是在上的投影向量 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ） A. 正八面体的内切球表面积为 B. 正八面体的外接球体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，那么的面积为______． 13. 著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 14. 中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为__________. 四、解答题（本题5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 本小题13分已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设，在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的模． 16. 本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A；（2）若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值． 17. 本小题15分文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；（2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 本小题17分在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． （1）求B；（2）若，，求的面积；（3）求的取值范围． 19.本小题17分“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点P，连接PA，PB，PC，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点C顺时针旋转，得到，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标; 在中，，，，借助研究成果，直接写出的最小值; 已知点，，，求的费马点P的坐标. 高2027届、数学试卷  第3-4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $内江六中高2027届高二第一学期入学考试数学试题参考答案 22:13号（度04：4【答案】25【解行1【详解1由历C=号元玩-片所以 2 1.B.;2.B:3.B:4.A:5.D:6.A:7.D:8.【答案】C【详解】由题中所给定义可知， f (x)=4sin'x+2cos'x+2sinxcosx 2a=2sin'x+2+sin2x+2a 历+网C=-片0，所以P在C的垂直平分佳上.设K为C的中点，可（灰+团）-2跃：-吉 AB 34an2-m23-2a2号3o引ma-吾 2BR2=1 所以BK=方，从而BC=1，由正弦定理可得 sin∠BAC sin∠ABC ，所以 Γ4 sm∠R4C-BCx4CB=5m∠ACB,当sim∠ACB=l,om/BAC-5 又要使tan/BAC的 所以2x-到，所以a+2a+,当a2-1时， AB 2 2a+2≥0 值最大时，则∠B4C为锐角，所以∠B4C=子从面A4BC为等腰直角三角形，所以4C=1,所以0、H均在 f)/)2a+2,(2a+4）所以(2a+2f<号<(2a+4.解得-1sa< 4 斜边4B的垂直平分线上，印OH为内切圆的半径，设内切圆半径为，所以(4C+2C+4r=4C,8C, 2 当<a<-1时，1k2a+2<0,12a+4<2,f)s)[0(2a+4i）】 所以2a+,解用子a<-1,综上，a的取值商相（一》成流c a1--号rg2,0a2 2 15.【小间1详解】因为==3+i,所以1=1+31)==(1+31)(3+m=3+i+9i+3i2=3-3m+(9+mi, 9.BCD:10.AD:11.【答案】ACD【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为r,由内切球的性质可知正 八面体的体积y=8x××2x2×sin60r=2××2×2×V2:-(√2列，解得r=6,故它的内切球表面积为 3分)又因为为纯虚数，所以3-3=0 9+m≠0 ,(5分)解得，m=1,所以==3+i;(6分) 32 3 【小问2详解】由(1)可知，==3+i,z2=(3+i)2=8+6i,所以A(3,1),B(8,6,(8分，各1分) 4元× /8还，故A项正确：对于B项，设该正八面体外接球的半径为R,由图知，ABCD是正方形， 3 3 所以OA=(3,1),OB=(8,6),(9分) Q4=OB=0C=OD=5×2=5,在R△B0B中，OB=VBB-OB-V5,利用对称性知OP=5,枚点 所以向量OA在向量OB上的投影向量的模为 1.08_3×8+1x6_30=3.(13分) 2 0Bv82+6210 O为正八面体外接球的球心，则R=2,所以正八面体外接球的体积为8V2,枚B项错误：对于C项，如图，16.【小问1详解】c0s1-c0s4,由正弦定理可知：s4(1c0s_-5 3 22 2 sin4(sinBcosC+sinCeosB) 因△ABE与△BCE是边长为2的全等的正三角形，可将aBCE翻折到△BCE',使其与△ABE共面，从而得到一个(2分)又sin4>0,化简得：1-co8A=√5((sin BcosC+sinCcosB),即1-co3A=V5in(B+C)=V5sinA, 菱形HBCE.连接4C与BB相交于点P,此时AP1B.,CP1EB,4P=CP=5×2=5,则AP+CP取得 2 分)：o=24r}1,甲如月方G分)因为4：到后习》所 最小值为25，放C项正确：对于D项易知AF/BC,因为4：平面EBC,CC平面BC,所以4仰面A+-及，从而4=：？分) 6 6 aC,所ye=ee-ee-兮分225-29柜放D原疏 3 小问2详】解由题意可得：S+S且AD=1,n写血hn2纪9分) 32 故选：ACD 化简得b+c=bc,(10分)而b+c=bc≥2bc,解得bc≥4，等号成立当且仅当b=c=2,(13分) A1BC的面积S=bcmA=5c≥V5,等号成立当且仅当b=c=2,综上所述，A4BC的面积的最小值为5. 4 32 21 32 (15分) 17.【小问1详解】根据题意可得(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1,解得a=0.030:(2分) inCC0C 2W5 3 因为前几组的频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25，所以样本成绩的第80百分位数在80,90)内，且为 =n2c+1上e2c-cmrc-5mc-子c+}52mc+剖 3 3 80+08-0.0501-0.2-03=865分) 0.025 【小问2详解】本成绩的平均数为45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74：(7分) 因为前几组的频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3，所以样本成绩的中位数在70,80)内，且为 6(314 70+05-0.0501-02-75:（9分》样本成绩的众数为70+80=75.(10分) 0.03 2 整信严--新吕当孩4是为吕 a a 【小问3详解】因为50,60)与60,70)的频率之比为0.1：0.2=1：2，又落在50,60)的平均成绩是55，方差是7， 落在[60,70)的平均成绩为67，方差是4，所以两组成绩合并后的平均数三=55x+67×?=63:(13分) 当1=1时，的匹取用装大值，数大值为1南匹伦家位阳足[吕小分剂 a" _a 所以两组成续合并后的方差=[7+(5-63门兮[4+(67-63门号37.(15分 19.解：(1A店=(W2,-2V②，正绕者点A顺时针旋转，即逆时针旋转，代入公式， l8.【小问1详解】（亿-a(sinB+sinA)=c(sinC-sinA),由正弦定理，得（亿-a)(b+ad)=c(c-), p=m-(-2v2票v+(-2Vs码=(-1-，4分) :d+C-6=c.3分)由余弦定，得cosB=+C公=)：B∈0利，8=号5分) .0P=0A+AP=(1,2)+(-1,-3)=(0.-1),点P的坐标为(0.-1：(5分) 2ac2ac 2 (2)由费马点的求法知：CA绕着点C顺时针旋转60°，与CE重合，∠ACB=30°， 【小问2详解】在A4BC中，a=2,b=25,B=号由余弦定理d+c2-2acc0sB=b,得 △ACE为等边三角形，连接BE,PA+PB+PC的最小值为BB,由勾股定理易得BE=13:(10分) 4+c2-2×2cc087=12,即c2-2c-8=0,解得c=-2(舍)或c=4.(9分) (3)BC=(-1.2),B乙绕着点B顺时针旋转，得到BD,代入公式， 3 a-48C的面积为ac血B=x2x4m子-2W5.（10分 2 3 BD=(←m-2-s智+2=（号+1+ .5π 5开 2, 【小间3详解】由(1)知B=子。 0m=0丽+丽=10+(+va1+9=+a1+9 ac-bc-ab sin Asinc-sin B sinc-sinAsin B sinAsinc(in4+sinc n店+a1+9,(s分) 2 b2 sin'B 3 △ABC中，BC与AC关于y轴对称，.旋转后BD与AE也关于y轴对称，由图形的对称性知费马点P必在y轴 4 上，设P0m,:A,卫D,三点共线，D=m,D=号+V1+ 3 3 v网=1+受m-9,a号，可以am分列