第8节抛物线的简单几何性质及应用-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第八节抛物线的简单几何性质 核心基础导学 【1】D 解析：由题意可知该抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，-1) 所以其对应标准方程为为x2=4y或x2=-4y.故选：D 【2】C 解析：，抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称， ∴抛物线C的方程为x2=4y ∴.抛物线C的准线方程是y=1.故选：C 【3】C 解析：当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y=-号 点M53)到准线的距离为3+号=6，解得a=12 所以抛物线方程为x2=12y 当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y=-子， 点M6,3)到准线的距离为3+4 a =6,解得a=-36或a=12(舍去)， 所以抛物线方程为x2=-36y 所以抛物线的方程为x2=12y或x2=-36y.故选：C 【4】ACD 解析：由已知抛物线标准方程是x2=8y,2p=8,p=4, 所以焦点坐标为(0,2)，开口方向向上，A正确，B错误 焦点到准线的距离为p=4,C正确： 准线方程是y=-2,D正确.故选：ACD. 【5】BD 解析：由抛物线y2=10x的焦点坐标为F(弓，0)，位于x轴上，所以A不 满足，B满足： 对于C中，设M(Ly)是抛物线y2=10x上一点，F为焦点， 则1+号=1+子子6，所以c不满足 对于D中，由于抛物线y2=10x的焦点为F(弓，0)，若由原点向该直线作 垂线，垂足为2山，设过该焦点的直线方程为y=收-，则t=-2,此 时该直线存在，所以D满足.故选：BD. 【6】y2=4V6x 、解析：由已知，椭圆2x2+5y=20,可化为：。+少 4 所以其焦点坐标为(6.0)和（√60）， 地物线产=2(0>0，其熊点坐标为[台。} 因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以号=V6→P=2W6 所以抛物线的标准方程为：y2=4√6x。 【7】y2=4x 解析：依题意，易知圆心O到直线DE(即抛物线C的准线x=-号)的 距离为4=号 不妨设圆心O到直线AB的距离为d,, 则A=2FP-dξ，1D=2VF2-d正， 又因为=4，所以4=4=号 则由圆与抛物线的对称性可知，AB⊥x轴 故直线A8的方程为x=片，即过抛物线℃的焦点侣0 所以4++p=号+号+p=2p=4,故p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x. 【8】(1)m=2√6，抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2: (2)y2=4W2x或y2=-4W2x: (3)y2=3x或y2=-3x. 解析：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m,-3)位于第三或第四 象限，故可确定所求抛物线的开口向下 个 如图所示，设抛物线方程为广=2(>0叭，则焦点为：0号)，准线 1:号 过点M作0wLL,垂足为N,则=M=5, 而=3+号，所以3+号=5，解得p=4. 又点M在抛物线上，所以m2=24,解得m=±2√6 故m=2√6，抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2 (2)由题意，可设抛物线的方程为广=2(+0)，则焦点为F号0】 直线：x=号 所以直线1与抛物线的交点的坐标分别为号P,(侵P所以 4B=2pl 因为0A8的面积为4所以；卫4，所以P=25 22 故所求抛物线的标准方程为少2=4V2x或少2=-4V2x (3)由题意设所求抛物线的方程为y2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0) 抛物线与圆的交点A(:y),B()>0,y2<0) 由对称性，知x=x2,乃=-乃， 则+=25，即y-为2=2，=25，得y=5 将为=V3代入x2+y2=4,解得x,=1. 所以点(LV5在抛物线y2=2x(p>0)上，点(-L在抛物线 y=-2p(p>0)上，求得p=子故抛物线方程为y2=3或)2=-3。 重点题型专练 【9】B 解析：当“1与C只有一个公共点时，如图， 直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点， 但是此时1与C不相切.所以“！与C只有一个公共点”是“！与C相切 的不充分条件： 当“1与C相切时，1与C只有一个公共点， 所以“！与C只有一个公共点是“！与C相切的必要条件 综上，“！与C只有一个公共点是“！与C相切的必要不充分条件.故 选：B 【10】C 解析：联立直线：y=k(c+1)和抛物线C:y2=4x方程可得 k2(6+1)2=4x, 整理可得2x2+(2k2-4)x+k2=0 直线！与C有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当飞=0时，方程为4x=0仅有一解，符合题意： 当k≠0时，一元二次方程2x2+(2k2-4)x+2=0仅有一解， 即△=(2k2-4-42,k2=0,解得k=1 所以满足题意得直线有三条，即y=0,y=x+1和y=-x-1.故选：C 【11】ABC 解析：(1)当过点P(0,1)的直线1的斜率存在时，设其方程为y=:+1 由方程组 直，消去y得+2-2)x+1=0, 0清：=0，则-2x1=0,解得=片 此时直线与抛物线只有一个交点，直线！的方程为y=1,A正确： ②若0，令A=(-2-42=0,解得= 此时直线与抛物线相切，只有一个交点， 直线1的方程为y=,x+1,即x-2y+2=0,B正确。 (2)当过点P(0,1)的直线！的斜率不存在时，方程为x=0 与抛物线相切，只有一个交点，C正确. 综上，直线1的方程为y=1,x-2y+2=0或x=0.故选：ABC. 【12】（-,-U(W5,+ 解析：当1=0时，直线1：x=0,与抛物线=之有交点所以140。 设直线A8的方程为y=x-1, =4x- 联立直线与抛物线方程，得 ,消元整理，得22-4x+1=0, 1 由于直线与抛物线无公共点，即方程2-兰+1=0无解 故有（←-8<0，解得>反或t<-反.故(m2)U5, 【13】详见解析 解析：2 22 若直线1斜率不存在，此时！为y轴，与抛物线有且仅有一个交点(0,0)： 若直线！的斜率存在，记为k,则可设直线！的方程为：y=a-2 由化么2得-0+40 ①当=0时，2x2-(4k+2)x+4=-2x+4=0,解得：x=2,此时y=-2 ·.直线1与抛物线有且仅有一个公共点(2，-2) ②当k≠0时，方程2x2-(4k+2)x+4=0的判别式 △=(4k+2)-16k2=16k+4: 若A<0,即<子方程以-(+2小水+4=0无实根则直线1与抛 物线无交点： 若△=0，即飞=子，方程-（化+2+4=0有两个相等实根则直 线！与抛物线相切，有且仅有一个公共点： 若△>0，即k>-二且k≠0时，方程x2-(4+2)小x+4=0有两个不等 实根，则直线！与抛物线有两个不同交点： 综上所述：当直线！斜率不存在或直线1斜率：=0或-三时，直线！与 抛物线有且仅有一个公共点：当直线1斜率女<时，直线1与抛物线 无公共点：当直线斜牌上>青且上+0时直线！与抛物线有两个公共点 【14】详见解析 解析：(1)由题意知，直线的斜率存在。 设直线斜率为k,则切线方程为y-1=(x+1), 由火+)+1消去得2-2y+2亚+2=0。 2=2x 当k=0时，此时直线y=1,与抛物线只有一个公共点（兮）： 当k0时，所以△=4-42比+2)=0，解符k=1±5，即过M点的切 2 线有两条。 所求直线1的方程为(V3-1x-2y+3+1=0或 (1+5+2y+V5-1=0. 综上所述，所求直线1的方程为y=1,或(V3-1x-2y+√3+1=0，或 (1+V3x+2y+V5-1=0. (2)因为直线1与曲线C恰好有一个公共点， 所方脂粗仁：-只有宝实数职 消去，得(a+1)x-1=ax,即(a+)x2-(3a+2)x+1=0①. 当a+1=0,即a=-1时，直线为=-1，直线与曲线恰一个公共点 (-1-1): 当a+1≠0，即a≠-1时， 由△=(Ba+2-4a+1旷=a6a+4)小0，解得a=0(金去)或a=-专 当a=-号时，由方程①化为+5=0，解得x=-5, 代入直线方程为y=宁-1，解得)-2，即此时直线与曲线恰一个公共 点5，-2).综上，实数a的取值集合是1- 4 【11子 [y=x+b 解析：联立方程组=2，整理得x产-2x-5=0 设直线1与曲线y=子的交点为46X以6%， 可得4=(2+86>0，解得6>片且+=2=-2边， 由弦长公式可得 A到=+，-x=E·G,+x,广-4x, =√反·V22-4x(←25)=5.V4+85 因为直线1与曲线y=2之截得的弦长为45， 可得54+西=45，解得6=子，所以实数6的值为 【16】y2=-4x或y2=12x 解析：设抛物线方程为y2=2Px,直线y=2x+1与抛物线交于 A()8(2), 由2+1得：4+4-2p5+1=0, ly2=2px 则△=(4-2p-16=4p(p-4)>0,解得：p<0或p>4 1 -21=5 4+2×G+广-4=5×4 解得：p=-2或p=6,满足△>0， 抛物线的方程为：y2=4x或y2=12x, 【17】(1)4w6;(2)2W3 解折：(1)由2消去y整理得子-8+4=0， y2=4x 其中△=64-4×4=48>0 设A(玉)，B(在) 则x+x2=8,不=4 所以-x=V+x-4xx=4W5, 所以4到=+下-x=巨×4W5=46 (2)由题意得点F(1,0) 故点F到直线的距离d上-巨 V22 所以=hld=×4W6x25. 2 即△4BF的面积为2√5 【u81ay日：2)h-16w5 解折：（1)由题意，直线1的方程设为y=-少， 联立直线与抛物线方程y2=4x,可得x2-2女-16x+t2=0, △=(2t+16)2-42>0,可得t>4, 设A(,),B(2,),x+=2t+16,西=， 因为|AF1+|BF卡20，所以x1+x2+p=20,可得2边+16+2=20，可得 t=1, 所以直线1的方程为：y=之-).即y行号 (2)直线1的方程设为y=支-。 令y=0,可得x=t,所以Pt,0), 所以AP=t-x,y),西=(，-t,), 因为AP=3P昭，所以：6-x,-y)=3(x2-t,2), 所以，=-3y, %=5-0,为=26，-0， 化简可得x1=-3x2+4t,x+2=2+16,x52=, 可得t=12,x=36,x2=4, 4到-F-+牙06-=16w5 【19】(1)y2=4x:(2)2x-y-3=0. 解析：(1)令抛物线E的方程：y2=2px(P>0) 因为抛物线E的焦点为L,0),p=2..抛物线E的方程：y2=4x (2)设A(x,另)，B(22),则y=4x片=4x2, 两式相减，得(+)，-)=4(s-,) :线段A8恰被M(2,所平分，y+,=2立=2，即直线AB的 x1-x2 斜求为2 .AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0。 【20】2x-y-1=0 解析：因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为=-1， 所以易得抛物线的方程为y2=4x, 设M(xy),N(xy2）, 因为线段W的中点为2(11) 故x+x2=2,y+乃=2 则，由好=4 =4x 两式相减得片-片=46-x,所以五= 4 一=2 %1-%:+ 故直线1的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, 故答案为：2x-y-1=0 VA 【21】3x-2y-5=0 解析：因为P(3,2)在抛物线C内部，又PA=P,所以P是AB的中 点 设A6y)(6),所以+立=2，即%+为=4， 又A(),B(玉22)在抛物线C上，所以y=6x=6x,,两式作差，得 6+为)=6，所以二= X1-X2 2 所以直线1的方程为y-2=2-3列，即3x-2y-5=0. 2 故答案为：3x-2y-5=0 【22】C 解折：设4,6则6，所以-=6-6，整理 得名五=当+玉 X-X2 6 因为弦48的中点为)，所以式。产名号，即直线1的斜 X-x2 6 率为行故选：℃ 【23】x+2y-3=0 解析：设A(任y),(任水)，由题意，≠x, 因为A,B是抛物线C:x2=4y上的两点，则易知M在抛物线内部， 所以，两式相减得，-=4坊4，整理得】 出一片=+2 x1-x2 41 因为线段AB的中点为M(-L,2), 所以+五=-1，即x+x=-2, 2 又=兴，所以w=子-月 x-x2 所以直线4B的方程为y-2=-6+山，即x+2y-3=0. 故答案为：x+2y-3=0 【24】月 解析：由题意，A,B为抛物线y=2x上的两点，且线段AB中点的纵坐标 为2， 设A(y)B(),线段AB中点为D, [2=2x ,y+y2=2×2=4, y:=2x, 疗对=%+动46%小%)即等学号 “直线3的斜率为：行枚答案为：时 【2511)证明见解析：(2)号 解析：（(1)因为的焦点为台0 且直线1：y=2x-p经过点 号，0，所以1经过M的焦点 y2=2px 联立=2-p·得4r-6pr+p=0. 设46.)，则+= 则h++p=号-5，解得P=2 所以M的方程为y2=4x （2)设c(s,D房)，则 y=4x 两式相减，得(y-yy,+y,)=4(x-x,) 因为y+4=2×(-3)=-6, 所以'的斜率为当二立=4 12=4x o 3- D 【26】(1)抛物线C的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1:(2)证 明见解析 解析：(1)因为a2=4,b2=3,所以c2=a2-b2=4-3=1, 所以c=1,可得输圆苦+号1的右焦点为0. 可得抛物线C的焦点为F(1,0),∴.p=2, 所以抛物线C的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1: (2)由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设M(-1,t) 因为直线MA,MB的分别与抛物线C相切于点A,B点可知 直线MA,MB的斜率存在，且不为0， 设过点M(-1t)的直线方程为y=(x+1)+t 联立4 =(+)+t,消去x得：2-4y+4+4=0, 其判别式△=16-16k(化+t),令△=0，得k2+k-1=0, 由韦达定理知k,+k,=-t,kk2=-1,故k,·k为定值一1. 【27】详见解析 解析：（1)由y产=2(>0)知，抛物线的准线方程为x=-号，而F是 该抛物线的焦点， 又M=4,因此3-←)=4，解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x」 (2)显然直线【不垂直于y轴，设直线：x=y+m,A(x,乃)，B(22), 由+m消去x并整理得y广-4y-4m=0,△=16+16m>0,即 y2=4x n2+m>0 于是 另+y2=4n,y2=-4m, xx=(y+m)(y2+)=n23y+n·(y+y2）+2 由OAOB=-4,得xx2+yy,=-4,则有 n2另32+(y+y2)+m2+yy2=-4, 即(n2+1)y32+n(y,+y2)+m2+4=0,因此 -4(n2+1+4nm2+m2+4=0 则m2-4m+4=0,解得m=2,满足△>0，直线1：x=y+2过定点 (2,0),所以直线1恒过定点(20) 【28】详见解析 解折：a设点(.则y-o+-+司 平方并整理得 21 2 :曲线C的方程为产 (2)证明：由题意可知直线AB的斜率一定存在，否则不与曲线C有两 个交点 设A8的方程为y=在+m(m≠0)，A5),房)，联立=红m y=2x2, 得2-么-m=0,其中△=+8m>0,则+=专5=子 由2宁，得%=2，=2号 =22=4=4(= :直线AB过△OAB的外心，∴.OA⊥OB」 OO丽=5+，=0，即-？+m=0,解得m=号或m=0(舍去). 当m=片时，满足4>0.直线A妇的方程为y=在+分 直线a过定点》 【29】详见解析 解析：（1)由抛物线方程和焦点坐标可得：子-1，解得：a=4。 (2)由题意知：直线1斜率存在，设1：y=a+1,A(y),B(出)， 由F=4得：2-4你-4=0，则△=162+16>0 y=kx+1 x+x2=4k,x2=-4; AD=(-1-x,2-%),8D=(1-x,2-), AD.历=（1-x)-1-x)+(2-)2-)=5+(+x)+x5-2(+)+ =5+(+x)+x西-2((G+x)+2+(,+1)%,+1) =2+(1-k)(x,+x2)+(2+1xx2=2+4k1-k）4(k2+1】 -+--e- 当女=宁时，而而取得最大值号 【30】(1)y2=4x:(2)证明见解析 解析：(1)设圆心C(x,y),半径为r, 由圆心为C的动圆过点(2,0)，所以(x-2)2+y2=2 又圆心为C的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以x2+22=2, 此时(x-2)2+y2=x2+4,解得y2=4x, 所以曲线E是抛物线，其方程为y2=4x: (2)易知直线BD的斜率不为0， 设直线BD的方程为x+3=(0y-2),即x=-2生-3， =少-2-3，消去x得y2-4炒+8+12=0， y2=4x △=162-4(+12)>0→t<-1或t>3, 设B(6y),D(乃)，则%+=4tyy,=8+12， 7发224 k=-2--24 x-1生-1为+2， 4 所以 飞+k= 4 440+2+4)=4G+2)+16=16t+161 %+2y+2G+20,+2)%+2y+%)+41t+16 即飞+飞2为定值1. 3.2 【31】详见解析 解析：(1)如图所示： 由题意可知，因为丽=2，A=4=3 由丽=2通，=号号可得=p 由抛物线的定义可知，A=p+号=3，解得p=2。 则C的方程为y2=4 (2)如图所示： 14 E(x。,2)在抛物线C上，所以x。=1, 设直线MW的方程为x=y+n,M(x,),W(x2,2) 将x=少+n代入y2=4x,得y2-4-4n=0 则y,+y2=4,yy2=-4n k=当+2=+2.4 1-1一1y-2,同理w=,二2 4 4 4 4(y,+2)-16 16t-16 kEM +kgn= y-2%-2y,-2(%+为)+4 整理得，n=-6+5, 直线W的方程为x=少-6+5，所以直线W过定点T(5,6) 当7L0W时，点E到直线MW距离最大， 且最大距离为=5-1+(6+2=4W5, 经检验符合题意， 【32】(1)C:y2=2x(2)直线1过定点(3,0) 「2pm=1 解析：(1)依题意可得 m+号=1解得m=0.5 =1,所以抛物线方程 2 为：C:y2=2x: (2)设直线1：x=y+n,t显然存在，P(1片)，2(x22) 吸这方仁 ,化简可得y2-2-2n=0 所以△=42+4n>0,y+为=2，%y=-2n 在抛物线C上，故 y2=2x 片=2x O丽.O0=x,+%,=6,)广+y,=3→m2-2n-3=0,解得n=-1或 4 n=3 因为y,<0,所以yy2=-2n(0→n)0,得n=3 所以直线1过定点(3,0) 【33】(1)证明见解析：(2)√2 解析：(1)设A(y),B(22),D(。y。) 由=8y得)=，则C在点A处的切线方程为-%=-3， 将x2=8y代入上式得xx=4y+4y1, 。=4y。+4y1 同理x。=4。+42, .A,B两点都在直线x。=4y。+4y上， 所以直线xx。=4y。+4y与直线y=:+1同一直线， ∴.x。=4k,y。=-1,即点D在定直线y=-1上」 (2)由(1)可知，x。=4k,即D为(4k,-1),E为(4k,2k2) 将y=G+1与x2=8y联立得x2-8-8=0,△=64k2+32>0, .x1+x2=8k,xx2=-8, 线段AB的中点为P(4k,42+1, ∴，D,E,P三点共线，且E为DP的中点 :4=1+6+x)-4xx,=421+2V22+1, D到直线)=在+1的距离d.22+ V1+k2 o=子Ad=4W55P+1(22+245(当k=0时取等) .△ADE面积的最小值为√2 综合巩固提升 1.【答案】D 解析 由题意，设A(出)，水) 由抛物线范围可知，x≥0 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由48中点M在1上，可知1，即=2-， 所以x1≤2，即如图2，当点B在原点时，点A横坐标有最大值为2. 故选：D. 2.【答案】B 解析：根据抛物线的定义可得引ADHAF=4,又∠DAF=60°， 所以4D-P4F1cos60°=AF1,所以4-p=2,解得p=2,所以通 径2p=4.故选：B 3.【答案】A 解析：设A(x,y),B(2) 曲每=-6+56动 线段AB的中点为(14)，x-x≠0，x+x2=2, :五立=26+x)=4,即直线1的斜率为4， x1-x2 直线1的方程为：y-4=4x-1),即4x-y=0.故选：A 4.【答案】A 解析：如图， M E 过点A,B分别作准线的垂线，垂足分别为N,E,根据抛物线的定义得 |AF曰AW1,|BFHBE1,因为F为AM的中点，所以 IBF|IBE||AW川_IAF|1 AF==8M+1,x BMBM AMIAM2 lAL=BL+1=+1=3 所以BMBM1 2 所以2=子故选A 5.【答案】D 解析：设P(x。),则=2x。,圆C的圆心C(4,0),半径r=1 由PA,PB切圆C于点A,B,得PC⊥AB,PA⊥AC 砂 IABIIPCI=2Sm=4Sm=21PAI-AC2PCI2-1=2x-4)+y-1 =2√居-6x。+15=2√。-3y+6≥26，当且仅当x,=3时取等号， 所以AEPC的最小值为2√6，ABC不是，D是.故选：D 6.【答案】BC 解析：由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,),准线方程为y=-1,设 P(。) 因为P-,=+1-%=1<2,因此A不正确： 因为，三，则点P到直线y=x-3的距离为 6。-22+8、8」 4v5 当x。=2时取等号，可得点P到直线y=x-3的最小距离为√互，因此B 正确： 设即的中点为M,则。兰-P叫，于是以F为直径的圆与 x轴相切， 因此C正确： H。,-),令P=,则。+1=√+(1-，x=4少。，解得 y。=3, 此时|PH曰PF=F阳=4，△PH是正三角形，因此D不正确， 故选：BC 7.【答案】 (10)√5 解析：抛物线C:y2=4x的焦点为F(L0),准线方程为x=-1, 设A(。y),则|AF=x。+1=4,解得x。=3,于是 8=4x。=12,%卡2W5, 所以△OAF的面积为S=OFH以卡1x25=5 故答案为：1,0)：√3 XB 8.【答案】5 解析：由题意抛物线焦点F(L,0),且直线AB斜率不为0，设 AB:x=+1, 联立抛物线得y2-4y-4=0,△>0，故y4+y。=4,yy:=-4, 所以+，=0+，+2=2x子3，即=子 则148+F-.卡+.+-4=5M+6=5 故答案为：5 9.【答案】(1)(x+7)2+y2=3(2)√3-5 解折：1)抛物线8：y产=-2的准线为：x=号 圆C:(x+a)2+y2=r2(a>0)的圆心C(-a,0), 因为a>0,所以(-)=片，解得a=7, 又C(-7,0)到直线1的矩离d-上7+四 102 所以2F-正=反，则户=+分3， 所以圆C:(K+7)2+y2=3. (2)设2(x。,%),则=-2x。 所以 |g+7+%=+7-2x,=g+12x,+49=。+6矿+13 当x。=-6时，Cg取最小值√3， 又圆C的半径为√3， 所以圆C与抛物线E无公共点，且Pg的最小值为√-√5 10.【答案】详见解析 解析：(1) 当点P在第一象限时，设P(,2F),>0), 则20一2 22 t+2 f+2 2√22，（当t=5时取等号)， 2] 同理，当点P在第四象限时，k∈ 2 0 综上所述，直线PA的斜率的取值范围是 (2)设直线！的方程为y=+b(化≠0)， 联立方程=红+6，得-4y+46=0.A=16-16始>0， y2=4x, 4 4b 设P6出)，则片+%=w:= ,∠PA0=∠QAO, kw+ke+2,+2 s+2++2-0. （x1+2x2+2) 即3(x2+2+乃，(x+2)=0, 即(+)+8(3+)=0 即(y,+y)yy+8)=0, 即4b+8k=0, ∴.b=-2k,满足△>0， .y=G-2k=(-2), ∴.直线1过定点(2,0) 第八节 抛物线的简单几何性质 202 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:四种抛物线的几何性质 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 ［对应练习:基础1］ ▍知识点2:焦半径与焦点弦公式 设抛物线上一点的坐标为,焦点弦端点,,焦点为. 标准方程 焦半径 焦点弦 注意:在使用焦半径公式时,先要明确抛物线的标准方程的形式,不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. ［对应练习:在下一节焦点弦性质专练］ ▍知识点3:直线与抛物线的位置关系 以抛物线与直线的位置关系为例: （1）直线的斜率不存在,设直线方程为, 若,直线与抛物线有两个交点; 若,直线与抛物线有一个交点,且交点既是原点又是切点; 若,直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线,抛物线, 直线与抛物线的交点的个数等于方程组,的解的个数,即二次方程 （或）解的个数. ①若, 则当时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当时,直线与抛物线相切,有个公共点; 当时,直线与抛物线相离,无公共点. ②若,则直线与抛物线相交,有一个公共点. ［对应练习:题型1］ ▍知识点4:直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长公式: 设为的弦,,, 或（为直线的斜率,且） （2）点差法:设为抛物线的弦,,,弦AB的中点为. ①设抛物线的弦为,弦的中点为,则 ②设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ③设抛物线的弦为,弦的中点为,则. ④设抛物线的弦为,弦的中点为,则. 证明:设抛物线的弦为, ,弦的中点为,则有,两式相减,得,即.代入上式并整理,得. ［对应练习:题型2、题型3］ ▶练基础 抛物线的简单几何性质 1 【典例▪1】已知抛物线的焦点在轴上,且焦点到坐标原点的距离为1,则抛物线的标准方程为（ ） A. B.或 C. D.或 【练习▪2】抛物线C与抛物线关于轴对称,则抛物线C的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪3】点到抛物线的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是（ ） A. B.或 C.或 D. 【练习▪4】（多选）对于抛物线上,下列描述正确的是（ ） A.开口向上,焦点为 B.开口向上,焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为 【练习▪5】（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线的有（　　） A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为 【练习▪6】椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则抛物线的标准方程为 . 【练习▪7】（2023·高二课时练习）已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线:相交于不同的两点,与抛物线的准线相交于不同的两点,且.求抛物线的方程. 【练习▪8】（2024·全国）求抛物线的标准方程. （1）已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上一点到焦点的距离为5,求的值、抛物线方程和准线方程. （2）已知抛物线的焦点在轴上,直线过且垂直于轴,与抛物线交于两点,为坐标原点,若的面积等于4,求此抛物线的标准方程. （3）已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长为,求抛物线的方程. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 直线与抛物线位置关系的判断 1 【典例▪9】已知直线与抛物线,则“与只有一个公共点”是“与相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪10】直线,抛物线,l与有一个公共点的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.1条、2条或3条 【练习▪11】（多选）已知直线l过定点,则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪12】已知抛物线C方程为,过点和点的直线l与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是_____________. 【练习▪13】已知抛物线,直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【练习▪14】（1）求过定点,且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l:与曲线C:（）恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合. ▍练题型 抛物线的弦、弦中点问题 2 ▷角度1:抛物线的弦长问题 【典例▪15】已知直线被曲线截得的弦长为,求实数的值. 【练习▪16】已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为,求该抛物线的方程. 【练习▪17】已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点. （1）求弦长; （2）求的面积. 【练习▪18】已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与交于两点,与轴交点为P. （1）若,求的方程; （2）若,求. ▷角度2:弦中点与点差法 【典例▪19】已知、为抛物线上不同的两点,若抛物线的焦点为,线段恰被所平分. （1）求抛物线的方程; （2）求直线的方程. 【练习▪20】已知抛物线的顶点为坐标原点,准线为,直线与抛物线交于两点,若线段的中点为,则直线的方程为 . 【练习▪21】已知抛物线,过的直线交抛物线于两点,且,则直线的方程为 . 【练习▪22】已知抛物线C:,直线l与C交于A,B两点,若弦的中点为,则直线l的斜率为（       ） A. B.3 C. D.－3 【练习▪23】已知A,B为抛物线C:上的两点,,若M为线段AB的中点,则直线AB的方程为 . 【练习▪24】已知为抛物线上的两点,且线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为 . 【练习▪25】（2023·陕西）直线:与抛物线:交于,两点,且 （1）求抛物线的方程; （2）若直线与交于,两点,且弦的中点的纵坐标为,求的斜率. ▍练题型 抛物线的综合问题 3 【典例▪26】已知抛物线C:的焦点F与椭圆的右焦点重合,点M是抛物线C的准线上任意一点,直线MA,MB分别与抛物线C相切于点A,B.   （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程; （2）设直线MA,MB的斜率分别为,,证明:为定值. 【练习▪27】已知F是抛物线C:的焦点, 是抛物线上一点,且. （1）求抛物线C的方程; （2）直线l与抛物线C交于A,B两点,若（O为坐标原点）,则直线l否会过某个定点？若是,求出该定点坐标. 【练习▪28】（2023·新疆昌吉高二统考期中）已知动圆P过点且与直线相切,圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程; （2）若A,B是曲线C上的两个点,且直线AB过的外心,其中O为坐标原点,求证:直线过定点. 【练习▪29】已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,且点. （1）求的值; （2）求的最大值. 【练习▪30】在平面直角坐标系中,已知圆心为的动圆过点,且在轴上截得的弦长为4,记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）已知及曲线上的两点和,直线经过定点,直线的斜率分别为,求证:为定值. 【练习▪31】已知抛物线:的焦点为,为上一点,为准线上一点,, （1）求的方程; （2）,,是上的三点,若,求点到直线距离的最大值. 【练习▪32】在平面直角坐标系中,点在抛物线上,且A到的焦点的距离为1. （1）求的方程; （2）若直线与抛物线C交于两点,,且,试探究直线是否过定点,若是,请求出定点坐标,否则,请说明理由. 【练习▪33】（2023·广东汕头高二校考期中）已知直线与抛物线C:交于A,B两点,分别过A,B两点作C的切线,两条切线的交点为D. （1）证明点D在一条定直线上; （2）过点D作y轴的平行线交C于点E,求面积的最小值. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知线段AB是抛物线的一条弦,且AB中点M在上,则点A横坐标（    ） A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C.无最大值,无最小值 D.有最大值,有最小值 2.已知抛物线的焦点为,准线为,点是抛物线上一点, ,交于.若,则抛物线的通径（过焦点垂直于对称轴的弦长）为（    ） A. B. C. D. 3.已知直线与抛物线相交于两点,若线段的中点坐标为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于点A,B,与抛物线的准线交于点M,且点A位于第一象限,F恰好为AM的中点,,则（    ） A. B. C. D. 5.（2024·江西景德镇三模）过抛物线上的一点作圆:的切线,切点为, ,则可能的取值是（    ） A.1 B.4 C. D.5 二、多选题 6.设抛物线的焦点为,是上的一个动点,则下列结论正确的是（    ） A.点到的距离比到轴的距离大2 B.点到直线的最小距离为 C.以为直径的圆与轴相切 D.记点在的准线上的射影为,则不可能是正三角形 三、填空题 7.已知抛物线的焦点为,则的坐标为 ;过点的直线交抛物线于两点,若,则的面积为 . 8.已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A,B两点,若弦的中点M的横坐标为,则弦的长 . 四、解答题 9.已知圆,圆心到抛物线的准线的距离为,圆截直线所得弦长为. （1）求圆的方程. （2）若、分别为圆与抛物线上的点,求、两点间距离的最小值. 10.（2023·高二单元测试）已知O为坐标原点,抛物线,点,设直线l与C交于不同的两点P,Q. （1）若直线轴,求直线的斜率的取值范围; （2）若直线l不垂直于x轴,且,证明:直线l过定点. $