第6节直线与双曲线的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第六节 直线与双曲线的位置关系 189 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:直线与双曲线位置关系的判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程: （1）当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点; （2）当,即时,设该一元二次方程的判别式为, 若,直线与双曲线相交,有两个公共点; 若,直线与双曲线相切,有一个公共点; 若,直线与双曲线相离,没有公共点; 注意:直线与双曲线有一个公共点时,可能相交或相切. ［对应练习:题型1］ ▍知识点2:弦长公式 若直线与双曲线交于,两点 则或. ▍知识点3:双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为. 注意:若焦点弦与双曲线的交点在同一支上,则最短弦长是通径长; 若焦点弦与双曲线的交点在两支上,则最短弦长是. ［对应练习:题型2］ ▍知识点4:中点弦与点差法 点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过双曲线（）上两点、,其中中点为,则有. 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴ ∴. 特殊的:直线（存在斜率）过双曲线（）上两点、,线段中点为,则有. ［对应练习:题型3、题型4］ ▍练题型 直线与双曲线的位置关系 1 ▷角度1:求直线与双曲线的位置关系 【典例▪1】（2024·全国）讨论直线与双曲线的公共点的个数. 【变式▪2】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【变式▪3】直线与双曲线的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 【变式▪4】（24·全国）已知双曲线与椭圆共焦点,且双曲线与直线相切,则（       ） A. B. C. D.1 【练习▪5】直线与双曲线的交点个数是（    ） A.0 B.1 C.2 D.3 【练习▪6】已知点和双曲线,过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 【练习▪7】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【练习▪8】已知双曲线与点,讨论过点的直线的斜率的情况,使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点. ▷角度2:由直线与双曲线的位置求参数 【典例▪9】已知直线与双曲线没有公共点,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式▪10】若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则的取值范围为 . 【练习▪11】（2024·全国高二专题）已知双曲线,直线,若直线与双曲线的右支有两个交点,求的取值范围 . 【练习▪12】（2023·高二专题）已知双曲线,直线,若直线与双曲线的交点分别在两支上,求的范围 . 【练习▪13】（2024·武汉）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点,则直线斜率的取值范围为（       ） 【练习▪14】若直线与双曲线的左支交于不同的两点,则的取值范围为 . 【练习▪15】已知直线与双曲线相交于A, B两点,当a为何值时,点A, B在双曲线的同一支上？当a为何值时,点A, B分别在双曲线的两支上？ ▍练题型 直线与双曲线相交的弦长 2 ▷角度1:双曲线的弦长问题 【典例▪16】已知双曲线的实轴长为2,右焦点为. （1）求双曲线的方程; （2）已知直线与双曲线交于不同的两点,,求. 【练习▪17】已知双曲线的焦距为6,且虚轴长是实轴长的倍. （1）求双曲线的方程; （2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A,B两点,求. 【练习▪18】已知双曲线经过点,它的左焦点为,且到其渐近线的距离是. （1）求的方程; （2）过点的直线交左支于一点,且的斜率是,求长. 【练习▪19】设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为,记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）若为坐标原点,直线交曲线于两点,求的面积. 【练习▪20】已知双曲线C与椭圆有公共焦点,其渐近线方程为. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若直线与双曲线C交于A,B两点,且,求实数m的值. 【练习▪21】已知为坐标原点,,,直线,的斜率之积为4,记动点的轨迹为. （1）求的方程; （2）直线经过点,与交于,两点,线段中点为第一象限,且纵坐标为,求的面积. ▷角度2:双曲线的通径问题 【典例▪22】（2024·高二江西南昌阶段练习）设是双曲线C:的右支上的两点,轴,且经过双曲线的焦点,若弦的长恰好与双曲线的虚半轴长相等,则双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 【变式▪23】设双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线交双曲线左支于,两点,则的最小值为 . 【练习▪24】经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点,若,则这样的直线的条数为（        ） A.条 B.条 C.条 D.条 【练习▪25】双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A.8条 B.4条 C.2条 D.1条 【练习▪26】已知双曲线,过其右焦点的直线与双曲线交于、两点,已知,若这样的直线有4条,则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪27】过双曲线的两焦点且与轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为 . 【练习▪28】（2023·高三全国专题）已知双曲线的右焦点F,过点F的直线交双曲线C于A,B两点,当直线垂直于x轴时,,则此双曲线的离心率为________. 【练习▪29】、是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点.若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. ▍练题型 双曲线的中点弦与点差法 3 【典例▪30】设A,B为双曲线右支上的两点,若线段AB的中点为,求直线AB的方程. 【变式▪31】已知双曲线的中心在原点,且它的一个焦点为,直线与其交于、两点,线段中点的横坐标为,求此双曲线的方程. 【练习▪32】已知双曲线与直线相交于A、B两点,弦AB的中点M的横坐标为,则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪33】过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点,弦恰好被平分,则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【练习▪34】已知双曲线C:,若双曲线C的一条弦的中点为,则这条弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C.1 D. 【练习▪35】已知双曲线,,是上的两点,是的中点,为坐标原点,直线的斜率为,则直线的斜率为 . 【练习▪36】已知双曲线:的一个焦点为,一条渐近线方程为, 为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程; （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点,且线段的中点的纵坐标为4,求弦长. 【练习▪37】已知双曲线的一条渐近线方程,原点到过、点的直线的距离为. （1）求双曲线方程; （2）过点能否作直线,使与已知双曲线交于两点、,且是线段的中点？若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由. ▍练题型 双曲线的综合问题 4 【练习▪38】已知双曲线过点且与双曲线:共渐近线,点在双曲线上（不包含顶点）. （1）求双曲线的标准方程; （2）记双曲线与坐标轴交于,两点,求直线,的斜率之积. 【练习▪39】（2024·江苏南京校考）已知点在双曲线上,直线（不过点）的斜率为,且交双曲线于、两点. （1）求双曲线的方程; （2）求证:直线、的斜率之和为定值. 【练习▪40】已知双曲线的离心率,直线过,两点,原点到的距离是 （1）求双曲线的方程. （2）过点作直线交双曲线于、两点,若,求直线的方程. 【练习▪41】已知双曲线C:一个焦点F到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程; （2）过点的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使得为定值？如果存在,求出点N的坐标及该定值;如果不存在,请说明理由. 【练习▪42】（2023·安徽宣城高二统考）已知双曲线的焦距为4,点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程; （2）若点,过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点,求证:. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.设是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点,若,则（    ） A.1或5 B.6 C.7 D.8 2.（2024·南通）已知双曲线左､右焦点分别为,,过作轴的垂线交双曲线的于,两点,若的周长为25,则双曲线的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 3.已知双曲线（）上的点A,B关于原点对称,点P在双曲线上（异于点A,B）,直线PA,PB的斜率满足,则（    ） A.2 B. C. D.3 4.已知直线过双曲线的左焦点,且与的左､右两支分别交于两点,设为坐标原点,为的中点,若是以为底边的等腰三角形,则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 5.已知、分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且,则下列结论正确的是（    ） A.双曲线的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为 C.到双曲线的一条渐近线的距离为 D.的面积为 三、填空题 6.过双曲线（）的左焦点作直线与双曲线交两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率的取值范围是 . 四、解答题 7.已知双曲线的离心率为,焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程; （2）若为坐标原点,直线交双曲线于两点,求的面积. 8.已知双曲线:的离心率为 （1）求此双曲线的渐近线方程; （2）若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,,求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围. $第六节直线与双曲线的位置关系 重点题型专练 【1】详见解析 解析：联立方程组？1，整理得1-2)x2-2在-2=0， 当1-2=0时，即k=1时，具体为：当2=1时，x=-1:当2=-1 时，x=1:此时直线与双曲线有一个交点： 当1-2≠0时，即k≠±1时，可得△=42+80-2)=8-42 由△>0，即8-4k>0,可得-√互<k<√万且k≠1，此时直线与双曲线 有两个交点： 由△=0，即8-42=0，可得k=±√2，此时直线与双曲线只有一个交 点： 由△>0，即8-42<0，可得k<-√2或k>√互，此时直线与双曲线没有 交点： 综上可得： 当k∈(-√2，-1)U(-1,)ULV2)时，直线！与双曲线C有两个公共点： 当k=±√反或k=1时，直线！与双曲线C有一个公共点： 当k∈(n,-√2)U(W2,+o)时，直线1与双曲线C没有公共点 【2】B 解析：充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双 曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足： 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公 共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切的必 要非充分条件.故选：B 【3】B y= 解析：由 242 x2 3r+2 得x =1整理得，6x=-13: =14 9 49 所以x=-3 ,故直线和双曲线只有一个交点： 又双曲线少 49 1的渐近线方程为：y=±号 y=,x+2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点。 所以直线和双曲线的位置关系为相交.故选：B 【4】D 解析：因为双曲线与椭圆共焦点，所以3a2+a2=16(a2-b2),即 3a2=4b2. [y=4bx-3 (@动1化简得 又双曲线与直线y=4x-3相切，由x2y2 (（3-162）x2+246x-9-3a2=0, 所以△=(24b)-4(3-16b2)-9-3a2)=0,即4862+(3-1662)3+a)=0, 将3a2=4b2代入方程化简得36a2+(3-12a2）3+a2）=0,即 12a2+(1-4a2）(3+a2）=0,4a4-a2-3=0,故a2=1,解得a=1或-1 (舍去).故选：D 【5】A 解析：方法一：联立直线3x-4y=0与双曲线上号 9161的方程 y x2 -=1'方程组无解，说明直线与双曲线没有交 3x-4y=0 916 方法二：由上 916 =0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为 3x±4y=0, 因为直线如-=0是双线号后1的一条渐近线因此交点个数 为0.故选：A 【6】A 解析：由愿意可得，双曲线-兰-1的新近线方程为)=士2，点(0) 是双曲线的顶点 ①若直线！的斜率不存在时，直线！的方程为x=1, 此时，直线！与双曲线C只有一个公共点，合乎题意 ②若直线！的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时， 直线1与双曲线只有一个公共点. 若直线1的斜率为2，则直线1的方程为y=2x 此时直线！为双曲线C的一条渐近线，不合乎题意 综上所述，过点P色，2)与双曲线只有一个公共点的直线1共有2条.故 选：A. 【7】D 解析：当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点： 「y=k红+2 当斜*存在时，设直线为y=+2,联立21，得 (2-k2x2-4a-5=0①. 当2-k2=0,即k=±√2时，①式只有一个解： 当2-2≠0时，则△=162+20(2-2)=0，解得=±V10: 综上可知过P(0,2)且与双曲线2x2-y2=1有且只有一个公共点的直线 有4条.故选：D. 【8】详见解析 解析：①当！垂直于x轴时，直线！与双曲线C相切，有一个公共点 ②当1与x轴不垂直时，设直线1的方程为y-2=(x-1), 代入双曲线C的方程中，有(2-2x2+22-2k)x-2+4k-6=0. 当2=2，即k=√2或-√2时，方程有一个解. 当2≠2时，△=48-32k， 令A=0,可得t=子冷A>0,可得t<号冷4<0，可得上>号 综上所述，当直线！的斜率女©56，引或直线！的斜幸不存在时 直线与双曲线有一个公共点： 当直线的斜率k(m,)(55)时， 3 直线与双曲线有两个公共点； 3 当值线I的斜率上+时，直线与双曲线没有公共点 【9】c y=-1 解折：联立-1消去y得-水+2盗-2=0， 当1-2=0时，方程有解，即直线y=a-1与双曲线x2-y2=1 有公共点： 当1-2≠0时，△=42+81-2)<0，解得k<-√2或k>2: 故选：C 【10】L ”3 解析：联立方程 仁。-2--0-0,0 若直线y=红+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点， 则方程①有两个不等的负根 △=16k2+401-2）>0 -10 所以 51-2>0 ,解得1<北<正.故答案为：1 15 +场普0 3 3 1-k2≠0 【11】25<k<-1或1<k<25 3 x2-y2=4 解折：纸题意，联立方程=(：-)消去)，得 (1-2)x2+22x-2-4=0, 设直线与双曲线的右支的两个交点为A(,),B(2)(>0,x,>0), [1-2≠0 △=42-40-2)(-k2-4=44-32）>0 5+5=2 则 ->0 解得25<k<1或1<t25 3 3 所以25<<-1或1<<25 3 3 【12】(-11) 解析：联立双曲线、直线方程，消去y整理得(1-2)x2+22x-2-4=0, 由题意，设方程的两根为xx2, 1-2≠0 则{△=4(4-3'>0，解得-1<k<1.故答案为：（-11) 2+4<0 x=-1-k2 【13】（2.-1 解析：由题意可得直线1斜率存在，设直线！的方程为y=红+1 设交点A(,)（xy) 联立厂y=在+1 -可得(-22治-2=0， [1-2≠0 △=42+80-2)>0 由愿意可得+=兰0解得：（店-小，技答案为 2k -2 ,1-F>0 （2.-1) 【w 解析：联立方程 在+2得1--46-10=0,0 x2-y2=6 若直线y=a+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，则方程① 有两个不等的负根。 △=16k2+401-2)>0 -10 所以 2>0 解得1<k< 3 1-22≠0 故答案为：西 【15】详见解析 解析：联立 y=ax+1 3x2-y2=得6-a2x2-2a-2=0. 3-a2≠0， 由题意知△=24-4a2>0, 解得-√6<a<6且a≠±5 若点4,8在双画线的同一支上，则华>0，故3名0， 解得a<-√3或a>√5， 所以V5<a<V6或-√6<a<-√5 2 若点A,8分别在双曲线的两支上，则<0，故？-一<0， 解得-√3<a<√3 【161a)-二=1：2)4g 4 3 解析：(1)由已知2a=2,a=1, 又c=V5,则b=B-a2=2, 所以双曲线方程为-二1 4 y=x+2 ,,得3x2-4x-8=0 则△=(4-4×3×(-8)=112>0， 设4,6，期与+=青= 所以M+Fk-x亚4】 3 3 【171a)号兰1：(2)85 36 解所：1)由取线手-三6>06>0)的焦距为6且脸长是实推 长的√2倍. 得2c=6,且b=√2a, 又c2=a2+b2=3a2=9,解得c=3,a2=3, 所以b2=c2-a2=9-3=6, 所我双植线方程锅号名1 (2)由(1)可知双曲线C的右焦点F为(3,0)， 所以直线1的方程为y=x-3, 设A(y),B(区22)， 区云1，得产+6-15=0 由36 y=x-3 烈 所以48=V1+FV低+x-4xx=2·√36-4x1可=85. XB 【1s1w号1：2a1-5 解折：(1)双曲线的左焦点为5(c0),渐近线方程为y=名，即 bx±ay=0 则了到渐近线的距离为上+-C=6=5】 Va'+b:c 又将M2,3)代入双曲线方程得：三-1，所以a=1, a23 故双线方鞋为术苦1 (2)由题意可得直线1的方程为：y-3=-2,即y=子+2， 则 分2-2，所以11x2-8x-28=0) 3 -=1 解得2，=片即N点损华标为，计 所uo4-*-小-( 【u1号1：22 3 解析：(1)由动点P(,y)与点F(N0,0）之间的距离和到直线 1:x=D的距离的比值为E 2 -o可+ 可得 x-vo ,数理钓苦1 西典线©的方程为号专 =1 (2)联立方程组 2 ,整理得3x2-4x-24=0 设46小，小，可得+气行华=8】 所+k-对-4(-2四 3 1 又点0线影宁青 =25 5 所以0AB的面积s=4d=之×号 -1×25×25_2四 2 5 3 【2o10兰-产1a②m=5 解折：（1)双曲线c与椭圆号+产1有公共焦点，其新近线方程为 2 设双酯线的方程导系1(e>0,6>0) 由已知得c=5,点=5，所以a=5,b=1. a 2 以双鱼俊方程为号产 (2)直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点，且4B=4V万， x 联立方程组受-少1，得x++2m+2=0, y=x+m 当△>0时，设A(x1,),B(x2,乃2)， +=-4n,x1x1=22+2. 所以4-V,-x=巨V,+x)-4,=5×V4m2-4m+2) 令反×4m-4(2m2+2)=45,解得m=5 经检验△>0符合题意，所以m=±√3. 【21D-g*封：2 解析：(1)设点M的坐标为(xy), 因为u六右所以ww4, 化简得：-子1 防以：的方程为：六一号（圳 (2)当直线P9的斜率不存在时，显然不符合题意： 设P(x),Q(x2y2),直线P2方程为y=-3, =6-3与2上1联立得：4-P+66-13=0,] 由△=36k2+52(4-k2)>0且4-2≠0，解得2<13且k2≠4 6k 由韦达定理得了 x,+=2-4 13 ,2-4 因为线段P2中点D在第一象限，且纵坐标为 所以 +0 +6+64 ,解得k=25或k=-2W5(舍 去)， 所以直线P9为y=2√5x-3, *56 所以了 2 -13 ,=8 所以阿+Fk-而G+广-4= 2 0点到直线2的距离1+而 3 越高号 【22】B 解析：因为AB⊥x轴，且AB经过双曲线C的焦点F, 所以弦AB是双曲线的通径，故AB=少 a 又弦A8的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以5=2少 所以点=，所以双曲线的渐近线方程为y=±号x.故选：B。 a 2 【23】22 解折：根系双街线后台1，得a=4,6=25。 由双曲线的定义可得：A5A=2a=8①， |BRHB=2a=8②， ①+②可得：ArH(Ar)=16, 由于过双曲线的左焦点耳的直线交双曲线的左支于A,B两点， 可得AHBA,即有 AFBF-（4rHBr=4E+BrAa卡16. 则BHA=A+16,当A是双曲线的通径时AB最小 故g州4公16-2+16=2.放答家为：2 4 【24】B 解析：若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小值距离是通径长度为 2少=1，：AB=4>1,此时有两条直线符合条件 若AB与双曲线两支相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的即距 离长度为2ā=4，距离无最大值：：AB=4,此时有1条直线符合条件： 综上可得，共有3条直线符合条件，故选：B. 【25】B 解折：由©号苦1，可将光通轻为兰2兰5号 a 2 注意到左右顶点的距离为2a=4<2, 9 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一 支的情况不存在 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条.故选：B. 【26】B 解析：F(c,0),令x=c,得y=±2 过双曲线上 京了=1>0)的右焦点F作直线1与双曲线交于A,8两 点 如果A8在同一支上，则有1A8L-24 a 如果AB在两支上，则|AB1m=2a, (246 因为AB=16这样的直线1有4条，所以了a 2a<16 3 即实数a的取值范围是8故选B. 【215 解析：将x=c代入双曲线方程可得S三 2 分1，可得 g号 所以，过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交所得弦长为 2b ,由已知可得2女=2c,即c=52=c2-d2,所以，。2-e-1=0, a a 因为e>1,解得e=5+1.故答案为：5+1 2 2 【28】23 3 解析：因直线！过右焦点F(c,0),当直线l垂直于x轴时，：x=c,把 代入方1，肉号茶1. 3 【29】C 解析：易知F(-c,0)、E(c,0),因为AB⊥x轴，则A、B关于x轴对称， 则A=Br， 将=心代入双曲线的方程可符y=号，则三 因为△ABR,是锐角三角形，且AF=B,则∠AF,B为锐角，则 0<AR<号 所以an∠AR耳产T b <1,即c2-a2=b2<2ac,所 FF 2c 2ac 以，e2-2e-1<0,因为e>1,解得1<e<√2+1.故选：C. 【30】x-y+1=0 解析：设A(xy),B(xy), 上=1 则有{日。，两式相减，得伍+55-x医+%心- 8 16 因为线段AB的中点为M(L,2) 所以x1+x2=2,%+y2=4, 因此由任+-.么+-名支=1， 8 16 即直线AB的斜率为1，方程为y-2=x-1→x-y+1=0, 代入双曲线方程中，得y2-4y-14=0, 因为(4)-4×1×(-14)>0，所以线段AB存在，故选：C 【1号1 解折：设双曲线的方程为于一于-16>06>0，由题意可得公+=7， 设M(y)，N(2y2) 由直线)=x一1与其相交于M、N两点，线段N中点的横坐标为号 得w的中点为（信》则+=亭+男=9. 两式相减得伍+_+- a h“ -410 则+以+为】即多 a b2(x-x2) 3 所以a2=2b2,联立a2+b2=7,解得a2=2,b2=5, 故所求双曲线的方程为号二1. 25 【32】A 、解折：设46，，在，)，则合÷=1 由点差法得医+-.+为-=06幸) a' 2.6%-0 M(1,3）,+x=-2,h+%=6,a66,-) 又kaa=二义=-1，b2=30, 不-x ÷渐近线方程为y=±之=x,故选：A a 【33】C 解析：由题意可得x+x=2乃+为=2，且立=} x1-x2 又因为/。3京1 所以0g+X-++X-=0 即有忌-)是-)。 2 所以光-为=正-a21 26=2 所以=2a,所以c=b+a=3a,所以e3,所以e=5.故 选：C. 【34】D 解析：设该弦为AB,设A(x),B(x:) x-公=1 则有 9 ,两式相减得（名+与-）以+-型 1 9 因为双曲线C的一条弦的中点为(-1-4)， 所以X+3=-2,月+y2=-8, 因此由6+6-)出+心-。公-59 9 5:41 即这条弦所在直线的斜字为？方程为7+4张+小户y子子 代入双曲线方程中，得63x2+126x-193=0, 因为1262-4×63(-193)>0，所以该弦存在，故选：D 【35】-4 解析：设P(x。a),M(x),N(xy),因为M,是C上的两点， P是MW的中点，0为坐标原点，且直线oP的斜率为一2 1 所以 兰号0，兰车1@兰-手1@+=2，%+%2玩 所以②③得，生星=足=0，即 2 4 (压+x-x_（+- 2 44 整理得二=非整=2点，即二=2×(2)4 x2-x2y+y2)4。。 X2-x 所以m=二=4.故答案为：-4 x2-X 【61m号名1a9 3 解析：(1)由焦点可知c=2√5， 又一条渐近线方程为2x-y=0,所以名=2。 由c2=a2+b2可得20=a2+4a2,解得a2=4,b2=16, 故双曲线©的标准方程为号名1 (2)设A(x,),B(x2y:),AB中点的坐标为(x,4), 「2足=1 则416 生=1 416 两式子相减得：16x-x)=4好-)， 化简得16(x2-x)(x2+x)=4(2-y:+) 即k=当五三4+红=，又k=m =1,所以x0=1, x-y2+4 A 所以AB中点的坐标为(-14)， 所以直线1的方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0 将+y-3=0代入号后1得+6-25=0 25 则名+x,=-2,=3 k5+-=E,+4受-厘 3 【37】详见解析 解析：(1)因为直线1过A(a0)、E0,)两点，所以方程为-y-西=0， 因为原点到省线：的距离为，所以。号 ab√6 3 因为双确线C号三-e>0b>0的一条新近钱方程y-E 所以=反，解得a=1,b=反， 所以双商线方程为子-子1： (2)假设直线m存在，设2是线段B的中点，且(：，y),(:2), 则x+x2=2,另+y2=2, 因为P、?在双曲线上 -1 则 ,两式相减整理得26+x):-)(3-”+)=0, 所以41-x2)=2y1-y2),所以=2， 所以直线1的方程为y-1=2c-1),即2x-y-1=0 「2x-y-1=0 联立 -号=1消y得2-4+3=0， 2 因为△=16-4×3×2=-8<0， 所以直线m与双曲线无交点，所以直线m不存在. 解折：（④设双曲线C的方程为片名-1(1且40)，将 6)代入可符名2， 解附.故双商线C的标准方程为吉后1： (2)可设，A(-25,0）,25,0）,P(k),则 +2店， x。-2W5 而点P在双曲线C上，故号-益-1，即g=336 1218 2 3号-36 +2626五五号 故4n= y。 【39】(a) -y2=1:（2)证明见解析 2 解折：1消点A的坐标代入双线C的方程可得子=>)。 解得a=√2， 所烈，双黄线c的方程为号产=1 (2)证明：由题意，设直线1的方程为y=-x+,设P(,y)、 Q(x2), 联立 行-21可得-4+2加+2=0. y=-x+m △=162-8m2+1=8(m2-1>0,解得m<-1或m>1, 由韦达定理可得x+x2=4m,x2=2m+2, 6+如=++m1++m=.2+m-3+m-3 x1-2x2-2x-2 x2-2 x-2x2-2 =-2+四-36+x2-4) (m-3)(4m-4） 2++4-2+ =-2+2=0 2m2+2-2×4m+4 可得直线AP、AQ的斜率之和为0， 【4011)号-1(2)y=分-1 解折：（1)由题意直线1的方程为后+古-1，即：-@y-ab=0, c_23 a-3 所以 返又e=a+6, va+b 2 解得a2=3,b2=1 双鱼线方程为号-户1 (2)设点M、V坐标()() :B(0,-b),直线m的斜率显然存在 ∴.设直线m方程为y+1=a y+1= 得(1-32)x2+6-6=0 由4>0解得-25<k<26 6 6 6 6k 又有3+- 6k26k2 %32=(6,-12-1)=2x2-k(+x2)+1= 02-130+1=1, ,OM.0=-23 西，+%2=-23 6 “32-+1=-23 解得上=±片满足条件 直线m方程为宁-山 【1D号苦1：2)存在：点w0,瓜酒1 解析：(1)由双曲线得渐近线方程为bx±√2y=0,设F(c,0), 则d:=6=5， √V2+b2 :双曲线C方程为号兰1 (2)依题意，直线1的斜率不为0，设其方程为x=y+2,-1<m<1, 代入x2-y2=2得(m2-1少2+4m+2=0,设 4(,),B(x2y2),V(,0), 则%+号品 2 ∴a.W丽=(-t)(s:-t)+=(my,+2-t)y,+2-t)+ =(m2+1x+m(2-6y+3)+(2-t =a+2-+e---2e- m2-1 若要上式为定值，则必须有4-6=-2，即t=1, :-6m+2+2-t=-2+1=1, 2-1 故存在点W1,0)满足4.B=-1 【42】（1)了y2=1:(2)证明见解析 解折：D因为点(6到在c上所以兰京1@， 由题意知2c=4,c=2,所以a2+b2=4② 由0②解得a2=361,故双曲线c的方程为号-1. (2)方法一：设直线1的方程为x=沙+2， 店1消法得，似-产+娜10 x=my+2 由x2 -4m 1 设M(),,则%+，=m二3=m-3 因为为 w+= y 2y, 2y2 ,y,+72+2+12m2 8m 8m 8yy2+2(y+y2） =m-3m3=0、 4m'%y.+2m(y+y2)+14m 所以tan∠MBF+tan(π-∠BF)=0, 所以tan∠MBF=tan∠NBF.所以∠MBF=∠WBF 综合巩固提升 1.【答案】C 解折：由题意，双曲线。-号1的一条渐近线方程为3水-2y0 可得子，解得a=2, 又P是双曲线上一点，耳，F分别是双曲线的左、右焦点，PF=3, 可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义PHP=4,则 PF=7.故答案为：C 2.【答案】A 解析：设R(-c,0),A(-c,y,B(-c,y), 因为{垂直x轴，所以y,=-y, 又4、8在双曲线c上所以三-。=1， a29 空“ a 所以△4BF,的周长为A+BF+AE=2a+Ar+2a+B+AB =4a+2lhal=4a+2x18=25 a 拟a=4或a=子〔会) 所以双曲线C的渐近线方程为y=士子，即3x士4y=0.故选：A B 3.【答案】C 解析：由题意设P(xy),A(区，)，B(-,-), 则号1，系1，即- ,kAk贴=2， 六y-.y+=y2- 得 x-xx+ x2-xi x2-x2 解得b=3√2.故选：C. 4.【答案】D 解析：设A(x),B(x,乃2)，P(x%) 由4B均在C:-二=1上，P为AB的中点， 3 将低题+s*小 3=-出=-2兴，o=3, -x2x1+x2x-x22x。 设直线AB的倾斜角为a,则飞B=taa,不妨设a为锐角， ,△OFP是以FP为底边的等腰三角形， ∴，直线OP的倾斜角为2a,则kop=ta2a ,∴，tamd.tamn2a=3, m0=3,解得m&=正 :tand:I-tan d 5 由对称性知直线1的斜率为士正.故选：D 5 B 5.【答案】AC 解标：双曲线C的标准方程头苦兮1，则=6=5，。=石 对于A选项，双曲线C的渐近线方程为y=士之x=土，A选项正确： 对于B选项，以EE为直径的圆的方程为x2+y2=6,B选项错误： 对于C选项，R到风曲线的一条渐近线的距离为石=5，C选项正确： 对于D选项，由勾股定理和双曲线的定义可得 P5+PR=5E=24 Pr-|P=2a=25 所以，2PlP=P+P）-PPE=12,所 以，PlP=6 因此△PR5的面积为Sa-PP=3,D选项错误 故选：AC 6【答笑】un x=-c 解析：令双曲线半焦距为6则5(-c,0),由三，解得1，即 (a26=11 a 双曲线的通径长为2 -,而双曲线实轴长为2a 由于过左焦点F作直线！与双曲线交A,B两点，使得A=3动的直线有 且仅有两条 [3b>2a 则当直线！与双曲线两支相交时， 2b2 >站，解得 L a +2)▣ a a 2 当直线{与双曲线左支相交于两点时， /636: a,解得 2a>3b 0<22 a 3 3)0 所以离心率e的取值范围是a, 2,∞). 故答案为：au 2+) .【答案11)号号12)2 43 解折：(1)由愿意得：二- ,令a=2x,c=V万x,x>0, a 2 则b=Ve2-a2=√7x2-4x2=√5x, 又焦点到渐近线的距离为√ 所以以=5=5x=5 va+b 4x+3x 所以x=1, 所以a=2,c=√万，b=V5 所以双确线口的标准方程为号号1： 4 (2)设A(x片)，B(玉2,2) [y=x+2 联立方程组仁-父=1消去y整理得+16x+28=0, 43 则△=162-4×28=144>0,1+x2=-16,2=28 所以4到=1+2V,+x-4:=E×6-4×28=125, 又原点到直线AB的距离d= 2 +吃 所以a=a=x125xE=2 8.【答案】(1)y=土x:(2)(2,+) 解折：1)双曲线C一若-6>0的高心*为5.a=1,可得。=5 所以b=1. 可得双曲线C:x2-y2=1. 可得双曲线的渐近线方程为：y=土x (2)设经过点P的直线方程为y=么-1，MG,),W(s,2), 联立方程组消去y得：Q-2-2=0 [1-k2≠0 2k ,解得1<k<√2 ->0 -2 △=4k2+80-k2)>0 -22 -2 方+1-2，为+为1-积 W的中点为-正F, -k-1 1 线段0w的中垂线方程为：y+=(+, 2 令x=0得截距t=F六>2， 即线段MW的中垂线1在y轴上截距t的取值范围是(2，+∞).