第5节双曲线的简单几何性质及应用讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第五节 双曲线的简单几何性质及应用 178 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 焦点 , , ,,的关系 范围 或 或 对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称 顶点 轴 实轴长, 虚轴长;实半轴长, 虚半轴长 离心率 e也越大,双曲线开口就越开阔.所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度. 渐近线方程 ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点2:双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程: 若双曲线方程为,则其渐近线方程为 已知双曲线方程,将双曲线方程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程. （2）已知渐近线方程求双曲线方程: 若双曲线渐近线方程为,则可设双曲线方程为,根据已知条件,求出即可. （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线: 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,,焦点在y轴上） ［对应练习:基础3］ ▍知识点3:等轴双曲线 在双曲线中,若,则双曲线的长轴和短轴相等,即等轴双曲线,故等轴双曲线可设为. 等轴双曲线的性质有: （1）离心率:等轴双曲线的离心率为:; （2）渐近线:①等轴双曲线的渐近线为:,故等轴双曲线的渐近线互相垂直,且斜率分别为45°和135°. ▍知识点4:焦点三角形面积的求法 方法1:结合余弦定理 ①根据双曲线的定义求出; ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出的值,通过余弦定理可得; ④利用公式求得面积. 方法2:利用公式求得面积; 方法3:若双曲线中焦点三角形的顶角,则面积,结论适用于选择或填空题. ［对应练习:题型1］ ▍知识点5:点到焦点的距离的有界性 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在右端点取得最小值.双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在左端点取得最小值. ［对应练习:题型2］ ▶练基础 双曲线的简单几何性质 1 【典例▪1】分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程. （1）; （2）. 【练习▪2】（多选）已知双曲线,则下列选项正确的是（ ） A.渐近线方程 B.顶点坐标 C.离心率 D.焦距为3 【练习▪3】（2023·全国高二专题）下列有关双曲线与的说法正确的是（ ） A.有公共顶点 B.有公共渐近线 C.有公共焦点 D.离心率相等 【练习▪4】（多选）已知双曲线,则不因的值改变而改变的是（ ） A.焦距 B.顶点坐标 C.离心率 D.渐近线方程 【练习▪5】（2023·湖北高二校考）椭圆与曲线有（ ） A.相同的离心率 B.相同的焦距 C.相同的渐近线 D.相同的顶点 【练习▪6】若,则双曲线与的    （ 　  ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 【练习▪7】（多选）若双曲线的焦距为4,两条渐近线的夹角为,则下列说法正确的是（    ） A.的离心率为 B.的标准方程为 C.的渐近线方程为 D.直线经过的一个焦点 ▶练基础 由几何性质求标准方程 2 【典例▪8】求以椭圆的焦点为顶点,且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程. 【典例▪9】求经过点,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程. 【典例▪10】求中心在原点,一顶点坐标为,且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【变式▪11】求与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的标准方程. 【练习▪12】求过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线的标准方程 【练习▪13】求与双曲线有相同的渐近线,且经过点的双曲线的标准方程. ▶练基础 双曲线的渐近线问题 3 【典例▪14】已知双曲线（,）的离心率为,则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【变式▪15】已知,双曲线的两个焦点为,,若椭圆的两个焦点是线段的三等分点,则该双曲线的渐近线方程为 . 【练习▪16】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则的值为__________. 【练习▪17】已知双曲线 的离心率为2,则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 . 【练习▪18】已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪19】已知双曲线的左、右焦点分别为, ,过的直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为,交另一条渐近线于,且为的中点,则双曲线的渐近线方程为 . 【练习▪20】（2023·江苏高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足,且,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪21】已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线上一点A关于原点O对称的点为B,且满足,,则该双曲线的渐近线方程为 . ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 双曲线的焦点三角形 1 ▷角度1:焦点三角形的周长问题 【典例▪22】已知双曲线的左、右焦点分别为,,直线经过且与的右支相交于A,B两点,若,则的周长为（    ） A.6 B.8 C.10 D.12 【练习▪23】（2023·新疆）已知双曲线的左右焦点分别为,,过的直线交双曲线C的右支于A,B两点,若的周长为20,则线段AB的长为 . 【练习▪24】已知双曲线,直线l过其上焦点,交双曲线上支于A,B两点,且,为双曲线下焦点,的周长为18,则m值为（    ） A.8 B. C.10 D. 【练习▪25】（2024·全国）设点P在双曲线上,,为双曲线的两个焦点,且,则的周长等于 . 【练习▪26】（2024·高二安徽阜阳）已知分别是双曲线的左右焦点,是上的一点,且,则的周长是 . 【练习▪27】若是双曲线的左、右焦点,点在该双曲线上,且是等腰三角形,则的周长是 . 【练习▪28】设点P在双曲线上,为双曲线的两个焦点,且,则的周长等于 , . ▷角度2:焦点三角形的夹角问题 【典例▪29】（2024·高二四川）设双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线右支上一点,且,则的大小为 . 【练习▪30】（2024·四川模拟）已知,分别为双曲线C的左、右焦点,过的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,若,,则（   ） A. B. C. D. 【练习▪31】已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与的右支交于,两点,若,则 . ▷角度3:公式法求焦点三角形面积 【典例▪32】（2024·全国）双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,且.则的面积为（    ） A. B. C. D. 【练习▪33】设,分别是双曲线的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且,则的面积等于（　　） A.12 B.24 C. D. 【典例▪34】设,分别是双曲线的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【练习▪35】设是双曲线的两个焦点,是该双曲线上一点,且,则的面积等于 . 【练习▪36】（2024·高二上海青浦）双曲线的左右两个焦点为,,第二象限内的一点P在双曲线上,且,则三角形的面积是 . 【练习▪37】（2024·高二·全国课后）已知点分别是双曲线的下、上焦点,若点是双曲线下支上的点,且,则的面积为 . 【练习▪38】双曲线的两个焦点为、,点在该双曲线上,且,则点到轴的距离为 . ▷角度4:已知焦点三角形顶角求面积 若双曲线中焦点三角形的顶角,则面积,结论适用于选择或填空题. 【典例▪39】（2024·高二四川绵阳期中）已知是双曲线两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积为 . 【练习▪40】（2024·高二河南）已知双曲线,点为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则三角形的面积为（    ） A.2 B. C. D. 【练习▪41】P是双曲线上的点,是其焦点,且,若的面积是9,则双曲线中的值为（ ） A. B. C. D.3 【练习▪42】已知为双曲线的两个焦点,在双曲线上,若的面积是1 , 则的值是_______. 【练习▪43】已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ▍练题型 双曲线有界性的有关应用 2 对于焦点在轴上的双曲线,取值范围是或.对于焦点在轴上的双曲线,取值范围是或. 双曲线右支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在右端点取得最小值.双曲线左支上一动点到右焦点的距离范围为,动点在左端点取得最小值. 【典例▪44】设是双曲线上一点,分别是双曲线左右两个焦点,若,则等于（    ） A.1 B.17 C.1或17 D.5或13 【练习▪45】已知双曲线的左右焦点分别为,,点在双曲线上,,则（    ） A.13 B.10 C.1 D.13或1 【练习▪46】（2024·高二安徽六安）（多选）已知双曲线:的左,右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率可能的值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪47】设双曲线C:的左焦点和右焦点分别是,,点P是C右支上的一点,则的最小值为 . 【练习▪48】已知双曲线的左、右焦点分别为点、,在双曲线的右支上有一点,使得,则此双曲线的离心率的最大值为 . 【练习▪49】已知双曲线,,为坐标原点,为双曲线上任意一点,则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【练习▪50】已知双曲线（a＞0,b＞0）的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,求的最小值. (要有证明步骤) 【练习▪51】（2024·高二河北保定）已知双曲线C的实轴长为4,且与双曲线有公共的焦点. （1）求双曲线C的方程; （2）已知,P是C上的任意一点,求的最小值. 【练习▪52】（2024·高二全国课后作业）已知双曲线的离心率等于,且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程; （2）若双曲线的左顶点为,右焦点为,P为双曲线右支上任意一点,求的最小值. ▍练题型 求离心率及取值范围 3 【典例▪53】已知双曲线的左焦点为,虚轴的上、下端点分别为点,若,则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【变式▪54】双曲线的离心率是（    ） A. B.1 C. D.2 【练习▪55】已知双曲线的渐近线与轴的夹角为,则此双曲线的离心率为（    ） A.或 B. C. D. 【练习▪56】（2024·浙江）已知双曲线:（,）,、分别为左、右焦点,点在双曲线上,,到左焦点的距离是到右焦点的距离的3倍,则双曲线的离心率是（    ） A. B. C.2 D. 【练习▪57】在平面直角坐标系中,已知双曲线:的右焦点为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,直线与另一渐近线交于点,若是的中点,则双曲线的离心率为__________. 【练习▪58】已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【练习▪59】（2024·四川模拟预测）已知是双曲线的右焦点,过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点,过作一条渐近线的垂线,垂足为,若,则双曲线的离心率为（    ） A.2 B. C. D. 【练习▪60】（2024·高二上广东东莞期末）已知双曲线（,）的左,右焦点分别为,,且该双曲线与圆在第二象限的交点为点P,若,则双曲线的离心率为（    ） A. B.2 C. D. 【练习▪61】（2023·重庆高二统考期中）已知双曲线的方程为,它的一个顶点到一条渐近线的距离为,已知（为双曲线的半焦距长）,则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【练习▪62】已知双曲线左、右焦点分别为,,过作直线与双曲线的左、右两支分别交于,两点.若, 且,则双曲线的离心率为_____. 【练习▪63】已知双曲线的焦点分别为,过的直线与的左支交于两点.若,则的离心率为_________. 【练习▪64】双曲线的左、右顶点分别是,,为上任意一点,若直线,的斜率之积为4,则双曲线的离心率为___________. 【练习▪65】已知双曲线:（,）的左顶点为M,左、右焦点分别为,,过作轴的垂线交于,两点,若为锐角,则的离心率的取值范围是_________. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知双曲线的两条渐近线的夹角为直角,则该双曲线的离心率是（    ） A. B.1 C. D.2 3.已知是双曲线的两个焦点,点在上,且轴,则（    ） A. B. C. D. 4.已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点,使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点,,则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 5.已知双曲线的右焦点为,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点,则（    ） A.双曲线的渐近线方程为 B.双曲线的渐近线方程为 C.双曲线的离心率为 D.双曲线的离心率为2 三、填空题 6.已知双曲线的离心率是,左右焦点分别是,过且与轴垂直的直线交双曲线于两点,则其渐近线方程是 , . 7.点分别是双曲线的左、右焦点,点在上,且,则的面积为 . 四、解答题 8.已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点,使,求双曲线的离心率的取值范围. $第五节双曲线的简单几何性质及应用 核心基础导学 【1】详见解析 解析：(1)将双曲线方程化为标准方程得二二=1，则 169 a2=16,b2=9,c2=25,故a=4b=3,c=5, 所以实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点坐标为(5,0)，顶点坐标为 (40),离心率为渐近线方程为y=子： 3 2)由苦三1，相e4e3e7,则a26=6e万，所以实 半轴长为2，虚半轴长为√5，焦点坐标为(0，±万)，顶点坐标为(0,2)， 离心率为5，渐近线方程为y=士25 2 3 【2】AC 解折：双曲线二二1，焦点在x轴上，其中 63 。2=6,b=3c=a2+=9c=3,所以渐近线方程y=±5，故A正 确：高心半水：=后誓数C重确顶点华标为(60小，故B错 误：焦距为2c=6,故D错误，故选：AC 【3】B 解析：对于双曲线- =1,顶点坐标为(3,0)，渐近线方程为 916 =±行，焦点坐标为(，0)，离心率为，对于双曲线二。=1，顶 169 点坐标为@，4)，南近线方程为少=±，焦点坐标为Q,5),离心率为 子，因此，这两个双菌线有相同的蒲近线放选B 【4】CD 解析：由方程号少广=心，则谈双曲线的标准方程为品片 3m m=1 即a2=3m2,b2=m2,c2=a2+b2=4m2,则焦距为4例，顶点坐标为 (0,离心率e=三=5，渐近线方程为，=± x·故选：CD a 2 3 【5】B 解折：在椭圆云+号-1中，a=56=3c=4 顶点坐标为0,3)5,0)，焦距是8离心率是于： x2 y 对于曲线25一+，广1<25,49》， x2 y2 当9<<25，曲线化为25一。1，表示焦点在x轴上的双曲线 长轴长为2√25-k,短轴长为2√k-9,其焦距为8， 而离心率，顶点坐标都跟飞取值有关： 当<9，即25-k>9-,则曲线化为23-+，-1 x- 表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为2√25-正，短轴长为2√9-k,其焦 距是8，而离心率，项点都和及取值有关. x2 y2 综上分析可知5,1收<25且子列与椭圆 .y2 25+1有相 等的焦距.结合选项可知B正确.故选：B 【7】D 解析：因为双曲线C x2 y2 cos sin=1 中a=cos062=im'0, a京-t'0:C, sin0 sinOtan=1 中，三'6，所以，两双曲线离心率e马 +反 相同，选D 【7】AD 解析：依题意得c=2,则α2+b2=4,因为两条渐近线的夹角为 60,a>b>0,所以两条渐近线的倾斜角分别为30,150°，（因为a>b>0, 所以渐近线斜率不可能大于1，所以倾斜角不可能是60°，120)所以 白-5，所以a=5b=1,所以双曲线方程为号-y=1,所以离心* a 3 。=25,渐近线方程为y=±5，焦点坐标为（仁2,0、（亿，0），显然直 3 31 线x+y-2=0过点(2,0)：故选：AD 【8】-上-1 35 解析：在辅园。+于1中，©V8了F,椭圆的焦点坐标为 (W3,0),(-√3,0)，左右顶点坐标分别为(2√2,0)，(-2√2,0)，则双曲线的 顶点坐标为(N3,0),(-√3,0)，焦点坐标为(2√2,0)，(-2√2,0)， 且双曲线的焦点在x轴上，所以a=V5,c=2W反，2=c2-a2=8-3=5, 所以双曲线的方程为：号二=1 35 【91-1 88 解析：设等轴双曲线的方程为x2-y2=2(2≠0)，将A(3,-)代入 得：3-（←1旷=1，即8，所以等轴双曲线的标准方程为号兰=1. 88 【01元云- 解析：双储线顶点在少轴上：可设其方程为号云>06>0)】 :顶点坐标为0，渐近线方程为=2，即y=±宁， a=4 a=4 21,解得6=8六双曲线方程为：6-。41： b2 【11】少 128=1 解折：设双线方程为6亡三千1ct<10,指点(5到代入 即18 4=1,解得k=4或=-14（舍去），故所求双曲线方程为 16-k4+k 2=1 128 1若61或号苦1 32 解折：椭圆。+二=1的焦点(50，可得c=5】 83 设椭园的方相为宁+长1 可得是+京1c-6=5,解得a=5,6=而 所求的椭圆方程为￡+二-1 1510 设数线就专号1 可得号-4=1，m+=5,解得m=5,n=反， m n 所求的双曲线方程为子片小 【13】上-=1 912 解析：由双曲线C与双线石古1有相同的南近线 可设双曲线c的方程为三号=2，又C过点(5丽)， 1612 烈子后品子 整理得双曲线C的标准方程是二二1。 912 故答案为：号言 【14】C 解折：由双曲线离心率为5可得二=5，即可得46=5如，又 2 a 2 c2=a2+b2,即可得a2=452: 由题盘可符双曲线C的清近线方程为y会=宁，放选：C 【15】y=±25 x 解析：由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，则有 6可，化肉程，则陷台后- ,所以该双 曲线的渐近线方程为y=士25 5 【16】4 Ibcl=b=4. 解折：右焦点R6,0)到渐近线：-ay=0的距离+B 【17】25 解折：由双商线方程号子1知焦点在天箱上且a之 又e=￡=2，则c=4,b=-a=i6-4=25 a 所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即：y=√5x」 a 其中一个焦点为F(4,0) 45-d 则焦点F到渐近线√3x-y=0的距离d= =2W3 V(W3)2+(-12 故答案为：23 【18】D 解析：根据题意，可设一条渐近线为y-ax=0,取F(0,c),A(0,a), b 所以6 -=3,解得：c=3a,因为c2=a2+b2,故b2=8a2,因此双曲 ba Va'+b' 线的渐近线方程为y±行女2 x.故选：D 【19】y=土 解析：根据对称性，不妨设PR与渐近线y=x垂直，则直线PR的斜率 为号，为P明的中点，0为职中点，0Q∥P%,则然=e,即 骨台整理得到a=6,故新远线方程为y=女 【20】B 解析：作FQ⊥PF于点Q,如图所示 因为=PF,所以Q为PR的中点 由双曲线的定义知P-PF=2a, 所以P=2a+2c,故Fg=a+c 因为os<PR3=手，所以g =cos∠PFE2 即密专符安，所以F+F=a,相名音 故双曲线的渐近线方程为y=±号x,即4x士3y=0,故选：B 【21】y=t6 解析：由AF·BF=0可得AF⊥B瓦， 由于A,B关于原点O对称，耳，F关于原点O对称， 所以四边形ABR为矩形，故4B=R=2c, 虾m以5筒片刘网5同a 所以B=3a,4r=a,因此A=4+B=oa, 故2e=oa,进而可得10a2=462=4g2+6)=2-6 a 2 所以渐近线方程为：y=±5：故答案为：y=5。 2 2 重点题型专练 【22】B 解折：双曲线是=m>0)的实半轴长a=1, F 由双曲线的定义，可得4F-AE引=2a=2,BE-BE=2a=2, 所以A=2+AB=2+B, 则三角形ABR的周长为A+BE+AB=AE+BF+6=AB+6=8. 故选：B 【23】6 解折：c子-y1,d=461,c4+15, 易得双曲线的2a=4,焦距2c=2√5 因为A,B都在右支上，则AF=AE+4,B=BF+4, △AB的周长A8到+A+B=A++,+8=248+8=20, 4B=6.故答案为：6 【24】D 解析：由题意知|AB1+4R+B=18. 又|AB=4,所以A+B=14. 根据双曲线的定义可知2a=AF-A=B-BF, 所以4a=4+B-(（4F+BE0=14-4=10, 解得a=子，所以m=a至故选D 4 【25】22 解析：由题意知g=2×V9+16=10,P-P=6, 又PFPF=1:3, .P=3,P=9 故△RPF的周长为PF+P耳+日=3+9+10=22，故答案为：22 【26】34 解析：因为P=2PF=16,所以PF=16,PF=8, 故|Pr-P=16-8=8=2a,则a=4, 又b2=9,故c2=a2+b2=25,则c=5,FF=2c=10, 所以△PF的周长为P+P+=16+8+10=34.故答案为：34. 【27】16或20 解折：双曲线的标准方程为-令1，所以a=1c=35=6, 因为△PFF,是等腰三角形，不妨设P在双曲线的右支上，则 P=F=6或P==6, 当PF=F=6时，P=6-2=4,所以△PE瓦的周长为 6+6+10-16: 当PR=|F=6时，P=6+2=8,所以△PR的周长为6+6+1016： 故答案为：16或20. 【28】22 5 27 解析：在双曲线上- 916 =1中，实半轴长a=3,半焦距c=√9+16=5，则 1FE2=2c=10, 显然IPF-|PI=2a=6,又PP=1:3,解得|Pr=3,PF=9, 所以△FPE的周长等于1PEI+|PE|+|FE3+9+10=22 co8∠PR=LP1P3-1RE-3+9-1025 2PFIPEI 2×3×9 -27 故答案为：22；2 【291号 解折：因为双曲线子号1，则a=2,6=5,所以=+5-5。 因为P为双曲线右支上一点，所以1PI-|PE卡2a=4,又 IPF=3PFI, 所以|PR=6,|PE=2,IFE=2c=2V7 由余弦定理=P+PR-2 R1PF.lcos∠RPR, 即(W万=6+2-2x2x6cos∠PR,解得cas∠5P%=子，又 0<∠RR<m,所以∠RPR=故答案为：背 【30】B 解析：如图，由于A=2F,AB=BF,且 BR-BRI=2a,AF:-4RI=2a, 设B=m,则A=2m,故B=3m 所以3m-m=2a,即m=a,则 BF =a,AF =2a,BF =3a AF =4a 在AAR中由余弦定理co∠RBR,=90+9a-16@-.故选：B 2×3a×3a9 【31子 解析：依题意过点耳，的直线与了的右支交于A,B两点， 且A=8,lBr=5,∠AB=60°， 则0<a<5,AF=8-2a,|B=5-2a 所以A=Ar+BF=13-4a, 可得(13-4a=82+52-2×5×8co360°， 解得a=或a=5(舍去).故答案为： 【32】B 解析：因为尽、只双曲线一于1的左、右焦点，P是双曲线上一点， 由P=2P,又有|P-PR=2,所以P=4lPr=2 由区=4，△PRR为等腰三角形，则底边P巩上的高 h=V-下=5，A=P引h=西.故选：B 【33】B 解折：由双曲线号后1得8=26=358=4 又3P=5P,且lPr-P卡2a=4, 得到PF=10,P=6, 所以|Pr-P=64=(c)'=f, 即△PFF,为直角三角形， 所以8%=P,子×6x8=24,故选：B. 【34】D 解析：由题意可知 |=24+45=14,P-P2G=p户P106, 在△PrF,中，由余弦定理可知 co8∠P5=10+62-14- 2×10×6 0<∠P≤p血4P明=点 所以△P5R的面积等于3=×10×6×5=155，故选：D 2 【35】12 解折：自双商线号兰1，可将=5力=2，则=F5 因为P是该双曲线上一点，且PP=2:1,可得|Pr-P=25, 即P=4W5,P=25 在△PFF2中，可得 oL5-lB图E-5e5-专 2PRPR 2×4V5×2V5 可得sm∠RPR,= 3 所以△的面积为8=PF小m∠RPR=行×45x25×号卫。 【36】4W3 由x2-上-1可得：a=1,b=2,c=5,如图，设1PR=m,P,=m,则 n-m=2①， 在△Pgg中，由余弦定理，20=m2+n2-2mcos2 3 即：m2+n2+m=(m-n}+3n=20② 由①②联立，解得：mn=16】 3 侧三州形有的m积为宁血号卓号言6 【37】16 解析：因为P是双曲线下支上的点，所以P-P=6,两边平方得： 1P12+PF22-2PF1lPF=36,所以 |PF12+PF22=-36+2P1lPF2=36+2×32=100. 在△FPF2中，由余弦定理， 得cos∠P=P+2EP-S-100-100 =0, 2PKHPF 2PEHPEI 所∠五识90所以8-片PP-号2=16 【81号 解析：由双曲线的定义得PR-PF=2a=6, 平方得PE+PE2-2PFPE,=36, 又四为48号 所以由勾股定理得PR2+PE2=R2=4c2=4a2+b2)=100, 代入P2+PE2-2PR,PF,=36解得P·PE=32, 因为片职明=号职以所以小9 所以点P到：销的距离为，上台故答笑为：号 【39】12W3 解析：根据双曲线焦点三角形面积公式可知， 62 12 tamn30° =125 2 【40】D 解析：设B=∠FP?=60°，根据双曲线焦点三角形面积公式可知 ”m025,故选D 【41】D 解析：因为P丽，·P灭=0，故∠RP3=90,根据双曲线焦点三角形面积 公式可知S.然5= mP5=69,所以6=3（取正值） 2 【42】0 解折：%= =1号45，即00.两山限两丽=0 tan 2 【43】B 解析：由焦点三角形面积公式得 a305im6o 12 【44】B 解析：双曲线子 =1的a=4,b=2√5，c=6 1620 由双曲线的定义可得P-PE=2a=8。 因为P=9,所以9-PF=8,得P=1或17， 若PF=1,则P在右支上，应有P≥c-a=2,不成立： 若P=17,则P在左支上，应有PF≥c+a=10,成立.故选：B. 【45】A 解析：由题意得焦距为=2c=2V5+16=10,由双曲线定义可得 IPRI-IPR=2a=6, 所以|P=13或P=1,又因为在双曲线中P≥c-a=2,所以 P=13,故A正确.故选：A 【46】AB 解析：一 如图，点P在双曲线的右支上，且P上4P, 由双曲线的定义可得PHP=2a, 解得P号0，P0 由pc-a,解得e≤子 即1<@=号，故A、B两项正确，C、D错误故选：AB 【47】8 解析：a=2,b=√21，c=5,PF2c-a=3,PF=PF+2a=P+4, 阅P离p,而函数=4>o)在 3 [3,+o)上单调递增，所以当且仅当x=3时，ym=8.故答案为：8。 【uo11 解析：因为lP=2015PP-P=2a, 故P07,又点P在双曲线的右支上 设半焦距为c,则P-1007≥c-a, 故离心字：=台则此双音线的高心率台的最大值为 a-1007 故谷案为 【49】B 解析：设点（列，则5-2成≥2，且有号-y-1,可得 则AM=(x-3,y),OM=(x,y）, 所以O.A=x-3到+y少=-3x+ -3x-1, 4 令f)=5x 4 -3x-1,其中x≤-2或x≥2， 三次函数付)的图象开口向上，对称销为直线”“2女店氵。 36 4 当x≤-2时，函数f(x)单调递减，此时f(x)≥f(-2)=10: 当x≥2时，函数()单调递增，此时f(x)≥f(2)=-2 综上所述，函数f()在（∞，-2]U[2,+∞）上的值域为[-2，+∞) 因此，OM,A应的最小值是-2.故选：B 【50】详见解析 解：设小，有1对 Fc.0) PF=V+(+c可 当P在双曲线右支时，因为≥a,所以二x,2c→x。+a≥c+a>0, 所以PF的最小值为c+a: 当P在双曲线左支时，因为x。≤-a,所以 a 因此PF=-a-二x,P的最小值为c-a, 综上所述：P可的最小值为c-a: (P) 【5111)二-=1(2) 5 解折：aD双鱼线兮-苦1的东点为，。 所双设双线C的方程为子三1。 所以a=2,a2+b2=5,解得b=1, 所以双曲线C的方程为二-1。 (2)由二-1可得，≤-2或≥2， 设P6),为≤-2或≥2，则生-后=1 4 所以|P4=V后+。-3y -1---6+8 V4 所当%号叫有最为，侣-6号+825 5 【52】(1) 上=1(2)4 45 g=3 解析：(1)依题 2 又c2=a2+b2 85 261 所以。-4，-5，故双面线的方程为号号1 (2)由已知得4(-2,0)，E(3,0),设Px,)x≥2) 于是P4=(-2-x,-y),PE=(3-x,-y), 因此AP风=x2-x-6+y2=x2-x-6+2x2-5 由于x≥2，所以当x=2时，PA·PE取得最小值，为-4. 【53】A 解析：根据题意，作图如下： 网+网=2网-园，即2同2厨，也即c=2b 故=4仁-，解符号则三-29，也即C的离心字为 a 3 25.故选A 3 【54】C 解析：由反比例函数的性质可知，两坐标轴是双曲线y=4的渐近线， 所以这两渐近线的夹角为90°， 将双曲线y=兰顺时针旋转45°后，该双曲线的焦点落在x轴上 同时，其中一条渐近线的倾斜角为45°，所以k=2=m45°=1， 所以离心率为￡ =√反.故选：C 【55】C 解折：由题知双酯线方程为三多=6>06>0。 则渐近线为y=±也 因为渐近线与x轴的夹角为行 所以名=m音=5，即6=5a, 又a2+b=c2,所以c=2a,9=2.故选：C 【56】B 解析：设双曲线C的半焦距为c>0 由题意可知：P=3P,则P-P=2P=2a, 可得P=3PF=3a, 因为Pg1Pg,则P+Pr=,即9a2+a2=4c2,整理得 会所以双曲线的商心半是：层-四，故选B c25 【57】2 解析： 如图所示，由题意可知，∠AOF=∠COR 又因为若M是N的中点，OM⊥FW 所以∠AOF=∠AOC, 所以3∠A0F=∠AOF=于 根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：)=±名 0=c,m∠40台，所以台6因为+=之 所以e= c- b +=2 【58】B 解折：由双曲线c芹子-e>06>0,可得其新近线为7 b 不妨取y=,即6x-2y=0,且焦点，0， 因为焦点到一条渐近线的距离为2，可得 lbd=bc=b=2 Vb2+22 所以双曲线C的离心率e= a a 互.故选：B. 【59】D 解析：设F(c,0),则c2=4+b2 过F作与x轴垂直的直线与双曲线交于A,B两点，不妨设A在第一象 限， x=c, 由级线若言1可将南近线为7号。 由对称性可知，F到任一渐近线的距离均相等，不妨求F到渐近线 bx-2y=0的距离， 所以叫店+4 因为4=5F斗，所以b2=√56，解得b=V5 由。2=4，则a=2,得c=+b=4+5=3,所以离心率为e=二=3 a 2 故选：D 【60】C 解析：因为a2+b2=c2,所以x2+y2=c2是以原点为圆心，c为半径的圆 故PF⊥PE, 因为m∠P=2,所以=，即P=P P 由双曲线定义得|PF-P=2a,即P=2a,P=4a 由勾股定理得P+P=,即4a2+16a2=4c2， 解得e==5 双曲线的离心率为√5.故选：C 【61】B 解析：由双曲线对称性，不妨令双曲线的顶点为（α，0），渐近线为 bx-ay=0, ba 于是得d= b2+a' 3 c,即3ab2V2c2,而b=c2-a2,有 如2-02，又e=号 因此有2g-9心+9≤0，解得子≤e≤3，又e>1,解得55e5V5, 2 所以双曲线的离心率的取值范围为 2 【62】2 设4上m则1A3时含m,8R,m,由双曲线数 在△4BF,中，由余弦定理得 11 2 4 解得m=片。，因此职上4a职上2a,令双曲线的半焦距为c, 在aa,中，由余弦定理得(4a+2a-2xa×2a×2e,解得 c=2a,所以双曲线c的离心率为e=9=2. 【63】2 3 解析：如图，由于A24B=B, BR-3R=2aAF-4RI=2a, 设|Br=m,则Ar=2m,故B=3m, 可得m=aBr=a,Ar=2a,故B=3a,AFl=4a, 在△B瓦与△BAR中由余弦定理可得： ,解得-号故a=四 2×a×3a 2×3a×3a 7 又根据题意可知c=1,故离心率e=二=团 【64】5 解析：一 如图，A(-a,0),A(a,0),设P,),则直线PA，PA2的斜率分别 因y 京=1，故有2=刀 y kkm=ax-ax-91x1-a4 于是，e=二三+1+4=5.故e=5. a' 【65】(1,2) 解折：，1，解±号，则 因为∠A8为钱角，所以∠A织<牙 B <1,即豆<1整理得c2-ac-2<0 所以M网 a+c 即-82<0，即g-e-2<0,结合e>1,解得1<e<2,故答案头 (12) 综合巩固提升 1.【答案】D 解折：双线m+少1的标准方程为广-号 1，则a=1,b=√m 由于该双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则b=3,即， 工=3，解得 V m m=)故选D. 2.【答案】C 解析：由于渐近线互相垂直，故双曲线为等轴双曲线，故a=b, -=√互，故选：C 3.【答案】A 解析：由题a=lb=√2，c=V3,当x=√3时，y=2,故半通径P=2. |=2W5,tam∠PRR= 尉号联唱 故选：A 4.【答案】C 解折：F(心，0)，不妨设A在第四象限，A与渐近线y=亡x垂直，A 的斜率为号，所以直线A3方程为=号+©以， _a(x+c y= 由{ ,得8-， 设A(x%),由4=5B知：AF=-5丽，即 e-)=-g+6-2 c 所以无=女+c,,=- ,A(x。y)在双曲线上 合1，化简每三，则之-g5 所号+ a a2-16' a2 =a216 所拟台故布近线方程是=号故选C 5.【答案】BD 解析：如图所示，设双曲线的左顶点为A, 因为以P⑨为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得△4PQ为等腰直 角三角形， 又因为过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P,Q两点，可得 1P9s2 a 所以a+c= ,因为62=2-d,所以c-ac-2a2=0,解得c=2a, a 所以双曲线的离心率为e=￡=2，所以D正确： 由b=√2-a2=√Ba,可得双曲线的渐近线方程为y=√3x,所以B正 确.故选：BD 6【答米】y=0:君 解折：由题意，在双曲线中=1+号3户台，所以渐近线方提 V2x±y=0: 由双曲线的定义知，R25a,A卡2a,mA5=5 所以∠A织=故答案为：5x±y=0,石 7.【答案】√5 解析：结合想意可得：双鱼线号-广产1的实半错长a=2,半焦距 c=5 有PR-PR=2a=4, 在△耳PR中，由余弦定理得 IFFPAPE+|PF-2|PFIPF|cos∠FP耳， 即有1EE:=（0 PA-PR+2PEPE(-cos60）. 因此(25=+2PRPR1Q-分，解得RHPR,4, 所以△RPR的面积为S%=PRP血60=5 故答案为：√5 8.【答案】a2+5 3 解析：依题意，点P在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合， 在△P瓦中，由正弦定理得： |PF|IPF引 sin∠F sin.∠PR,g' a 3c 因PP5,于是得l-1 a 36 而点P在双曲线M的右支上，即IP引-PE=2a, 从而有运二。 点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有1PRPc-a, 因此2a -a>c-a,而c>a>0,整理得32-4c-a<0, 即30-4e-1<0,解得2-5<e<2+V5 3 3 又e>1,故有1<e<2+ 3 所以双曲线M的离心率的取值范围为a2+5 3 故答奖为：a24