第4节双曲线的定义与方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第四节 双曲线及其标准方程 171 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:双曲线的定义 （1）双曲线定义:在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非 零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫作双曲线的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）双曲线定义的集合语言表示: 注意: （1）双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; （2）若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:（）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若（）,则轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; （3）若常数满足约束条件: ,则轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）; （4）若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; （5）若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. ▍知识点2:双曲线标准方程的推导 （1）建立适当的直角坐标系 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系. （2）根据定义建立等式关系 设为双曲线上任意一点,双曲线焦距是 （）,那么、的坐标分别是、. 由定义可知,双曲线就是集合: . ∵, ∴ （3）化简方程 将这个方程移项,两边平方得: 化简得: 两边再平方,整理得: （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由双曲线定义,即c＞a,所以. 设,代入上式得: 即,其中. ▍知识点3:双曲线的标准方程对比 定义 图形 标准方程 焦点 ,,的关系 ▍知识点4:双曲线的标准方程的理解 （1）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程,当时表示双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线; 当时表示焦点在轴上的双曲线. 注意:（1）判断焦点位置的方法是:看、的系数,如果项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果项的系数是正的,那么焦点在y轴上. （2）对于双曲线,不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点5:求双曲线标准方程的方法 （1）定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能. （2）设方程:根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,可设为. （3）寻关系:根据已知关系列出的方程组. （4）得方程:解方程组,将代入所设方程即得所求. 注意:与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为 ［对应练习:基础3］ ▶练基础 双曲线的定义与方程 1 【典例▪1】已知点, ,则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ） A. B. C. D. 【典例▪2】双曲线的焦点为 . 【变式▪3】（2023·高二课时练习）已知动点满足,则动点P的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线左支 C.双曲线右支 D.一条射线 【练习▪4】（2023·全国·高三专题）已知动点满足,则动点的轨迹是（ ） A.射线 B.直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 【练习▪5】已知双曲线C:的焦点为,则C的方程为（  ） A. B. C. D. 【练习▪6】双曲线的一个焦点是,则的值是（    ） A. B.1 C. D. 【练习▪7】若点在双曲线上,双曲线的焦点为,且,则等于（ ） A.2 B.4 C.8 D.12 【练习▪8】若双曲线上一点到它的右焦点的距离是,那么点到它的左焦点的距离是（    ） A. B. C.或 D.不确定 【练习▪9】设为双曲线:左、右焦点,点在的右支上,线段与的左支相交于点,且,则 . 【练习▪10】已知双曲线的左、右焦点分别为,,,过的直线与C的右支交于A,B两点,且.则的值为 . 【练习▪11】双曲线上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为（ ） A.1或21 B.14或36 C.2 D.21 ▶练基础 双曲线标准方程的理解 2 【典例▪12】（24·全国）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线,则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式▪13】已知方程表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范围为______. 【变式▪14】（2023·江苏）若方程所表示的曲线是双曲线,则它的焦点坐标是 . 【练习▪15】（多选）已知方程表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（ ） A.当时,曲线C是椭圆 B.当或时,曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则 D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则 【练习▪16】（2023·全国）对于常数a,b,“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪17】）设,则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A. B. C. D. ▶练基础 求双曲线的标准方程 3 【典例▪18】求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）两焦点坐标为,,且; （2）两焦点坐标为,,且经过点; （3）焦点在y上,且经过点和. 【变式▪19】求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在轴上,,经过点; （2）经过、两点. （3）与双曲线共焦点,经过点. 【练习▪20】（2024·全国）已知点,动点满足,则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪21】（2023·全国）已知双曲线过点,且与椭圆有公共焦点,则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 双曲线中距离的最值转化 1 【典例▪22】（2023·高二专题）已知,双曲线的左､右焦点分别为,点是双曲线右支上一点,则的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 【变式▪23】（2023·全国高二专题练习）已知,双曲线C:的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【练习▪24】（2023·四川成都·高二校考期中）已知F是双曲线C:的右焦点,P是C的左支上一点,,则的最小值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【练习▪25】（2022·全国）已知双曲线的下焦点为,,是双曲线上支上的动点,则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【练习▪26】（23·全国）已知点,点P是双曲线左支上的动点,为其右焦点,N是圆的动点,则的最小值为 . 【练习▪27】P为双曲线右支上一点,M,N分别是圆和上的点,则的最大值为 . 【练习▪28】（23·全国）已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线右支上的任一点,,则的最大值为 . 【练习▪29】（2023·成都高二）已知,动点M满足,则△MNB周长的最小值为 . 【练习▪30】（2023·江苏南京高二）已知双曲线方程为,左､右焦点分别为,,点A的坐标为,P为双曲线右支上一动点,则的最小值为 . 【练习▪31】已知双曲线:,,是其左右焦点.圆:,点为双曲线右支上的动点,点为圆上的动点,则的最小值是 . ▍练题型 与双曲线有关的轨迹问题 2 【典例▪32】（2023·全国高二）已知动点M与两定点,构成,且直线,的斜率之积为4,求动点M的轨迹方程. 【典例▪33】动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数,求动点M的轨迹. 【练习▪34】（2023·安徽滁州高二校考开学考试）设,则动点P的轨迹方程为 . 【练习▪35】已知圆,为圆心,为圆上任意一点,定点,线段的垂直平分线与直线相交于点,则当点在圆上运动时,点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪36】（2023·全国·高二专题练习）动圆P过定点M（0,2）,且与圆N:相内切,则动圆圆心P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪37】（2023·全国）已知圆,圆,圆与圆、圆外切,则圆心的轨迹方程为 . 【练习▪38】（2023·上海杨浦）一个动圆P与两个定圆,均内切,那么动圆P的圆心的轨迹方程是 . 【练习▪39】是一个动点,与直线垂直,垂足位于第一象限,与直线垂直,垂足位于第四象限,若四边形（为原点）的面积为4,求动点的轨迹方程. 【练习▪40】在中,已知,且三内角A,B, C满足,建立适当的平面直角坐标系,求顶点C的轨迹方程. 【练习▪41】（2023·湖北恩施高二校考）已知椭圆的方程为,其左､右顶点分别为,一条垂直于轴的直线交椭圆于两点,直线与直线相交于点,求点的轨迹方程. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.设是双曲线左支上的动点,分别为左右焦点,则（    ） A. B. C.4 D. 2.若椭圆（）与双曲线的焦点相同,则的值为（    ） A.25 B.16 C.5 D.4 3.设分别是双曲线的左右焦点,点P在双曲线C的右支上,且,则（    ） A.4 B.6 C. D. 4.在平面直角坐标系中,已知A坐标为,若动点P位于y轴右侧,且到两定点,的距离之差为定值4,则周长的最小值为（    ） A. B. C. D. 5.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线分别交双曲线的左右两支于两点,且,则（    ） A. B. C. D. 二、多选题 6.已知,分别是双曲线C:的左、右焦点,P是C上一点,且位于第一象限,,则（    ） A.P的纵坐标为 B. C.的周长为 D.的面积为4 三、填空题 7.椭圆与双曲线有相同的焦点,,若曲线,有一个公共点,则的面积为 . 8.（2023·全国·高二专题）设P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段的中点,则点M的轨迹方程为 . 四、解答题 9.设为实数,已知双曲线与椭圆有相同的焦点. （1）求的值; （2）若点在上,且,求的面积. 10.（2023·福建泉州）已知圆: ,圆:,圆,圆. （1）若动圆与圆内切与圆外切. 求动圆圆心的轨迹的方程; （2）若动圆与圆、圆都外切. 求动圆圆心的轨迹的方程. $第四节双曲线及其标准方程 核心基础导学 【1】B 解析：由于F=4,因此满足P-P到=4 |P-P=4的动点P的轨迹均不是双曲线。 满足P-P=3的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足P-PE=3的动点P的轨迹才是双曲线.故选B. 【2】(±5,0) 解析：由题意可得：a=1,b=2,c=√a2+b2=√5，且双曲线的焦点在x轴 上，故双曲线x2-二=1的焦点为(5,0）.故答案为：(5,0) 【3】c 解析：因为V低+2+y2-V-2+少2=2的几何意义 是动点P(x,y)到点(-2,0)与F(2,0)的距离之差为2 又因为2<FF=4,所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右 支故选：C 【4】A 解析：设(-2,0)，(2,0)，由题意知动点M满足M-M=4= 故动点M的轨迹是射线.故选：A 【5】D 解析：因为双曲线C的焦点为(0,2)在纵轴上，所以2<0， 且双猫线C方程若苦1满足仁小+←)2 故=-2，则C的方程为少2-x2=2.故选：D 【6】B x2 y2 解析：显然m≠0，则双曲线的标准方程为工一了=1，由焦点坐标(20) mm 可知二+3=6=4，解得：m=1,故选：B mm 【7】B 解析：双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8, 由双曲线的定义可得M-M=2a=8, 因为M=3M,所以3M-M=8,解得M=4,故选：B 【8】C 解析：设双曲线号二-1的左、右焦点为片，品，则a=2e=4+2=4: 412 则1PE,上8， 由双曲线定义可得川Prl-|PF2=2a=4,即川P-81=4, 所以|PE=4或|P=12,由于c-a=2, 故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选：C 【9】3 解析：因为点M在下的右支上，F耳为双曲线「左、右焦点， 所以M-2×=3, 又hMl=M+wsl,hM=M, 所以耳M=M-M=3.故答案为：3 【10】4 解析：设双曲线C的方程为兰二 a京-=1a>0,b>0), 因为A+B-Al=A|-A+B-B=2a+2a=4,所以a=1, 又B=2c=8,所以c=4,所以9=4.故答案为：4 【11】D 解析：设双曲线的左右焦点分别为F,F,不妨设P=11, 根据双曲线的定义知P-P=2a=10,所以P=1或P=21, 而c2=25+24=49,c=7 双线新支上一点（小m25,则云分 则点M(m,n)到右焦点F2的距离为 da-八+=m-7+24 -24 25 49m-14m+25= V25 当=5时，d取得最小值，最小值为2， 故PF=1不成立，舍去，P=21满足要求， 所以点P到另一个焦点的距离为21，故选：D 【12】c x2 y2 x2 解析：方程 =1可化为 2-m3-m 3你m之1， 由方程表不的点在y销的双肩线得信？80解得2m<3,故 选：C. 【13】(-1,1 所迪题意得t。解符即1<<1，故答案为 k<11 【14】（-V13,0和(W13,0 解析：由题意可知，(9-)(4+)>0，解得：-4<k<9 此时双曲线的焦点在x轴，a2=9-k,b2=4+k,那么c2=a2+b2=13, 则它的焦点坐标是（√3,0和3,0) 【15】BC 解折：对于A当时4-1子-1，则面线C是提，A错误： 对于B,当t>4或t<1时，(4-t)(-1)<0,曲线C是双曲线，B正确： 对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4-t>t-1>0,解得 1<t<,c正确： 对于D,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t-1>4-t>0,解得 含<4，D错误选BC 【16】c y2 =1 解析：ax2+y2=1可整理成11， 的c0,则a>0且b<0或a0且b>0,此时方程G ax2+by2=1表示的曲线为双曲线，则充分性成立： x2 y2 若方程1 =1 表示的曲线为双曲线，则上.二<0即b<0,则必 a a b 要性成立，故选：C 【17】B 解析：由6c(02),方程亏+二。1表示双曲线 y2 则sm8<0,所以8e(π，2π)， 根据选项，方程兮+高。1表示双曲线的必要不充分条作为B y2 故选B. 【u1a6号1：a)需61：8)若号1 解析：(1)由题意，c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,又焦点在x轴上，所 以所末双线方程为后子1 (2)由题意，焦点在y轴上，c=6,又经过点(2，-5)，所以 2aV22+(-5+6)2-V22+(-5-6)2=45, 所以=20，又铲=2-公=16，所以所求双由线方程为后后1. (3)因为焦点在y上，所以设少- =1,因为经过点(3，-4W2和 [329 所以 2581 4口=16，所以所求双曲线方程为 ,解得=9 a2162 = y2 x2 169 =1 【91品若1：②芬希1：8)- 2016 4 -1 解析：(1)因为a=2√5，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为子二 20京=1b>0), 点A52)的坐标代入双曲线的方程得邓-1，解得6：=16 因此，双曲线的标准方程为亡上 =1 2016 (2)设双曲线的方程为x2+ny2=1(n<0) 将点A,B的坐标代入双曲线方程可得 49m+72n=1 28m+9m=1,解得 75 因此，双曲线的标准方程为-兰 25万1， (3),焦点相同， x 设所求双曲线的标准方程为产m2十m1a>0b>0, 双曲线经过点(5,2)， 双曲线的标准方程为号-y=1。 【20】A 解析：M(-2,0),M2,0),W=4,又动点P满足 IPMI-IPMI=27<MM. ∴动点P的轨迹是以M,V为焦点的双曲线的右支， 设双线方程为号三-e~06>0, 则有c=2,a=V反，b=2-a2=V22-(2列=5， 动点P份轨迹方程为兰兰-〔2月故毒入 【21】B 解折：由椭圆4+9y=36,可化为标准方程二+二1，可符 94 F(-√5,0)，E(5,0), 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以c=√5， 又因为双曲线过点（-2,0)，可得a=2,则b2=c2-a2=1, 所以双曲线的标准方程为子-少户1.故选B 重点题型专练 【22】C 解析：由双曲线千-写1，则a=462=5,即c=a+8s9,D F(-3,0),(3,0), 由题意，作图如下 |P4+P=PA+2a+Pr24r+2a=B2+42+4=9, 当且仅当A,P,共线时，等号成立.故选：C 【23】D 解析：若C为双曲线右焦点C(3,0),则|PF-PC=2a=4,4C=5, 而|PA≥PC-Ad,仅当P,C,A共线且A在R,C之间时等号成立， 所以lpr-pAsP-Pcl+4c=4+5=9, 当P,C,A共线且A在P,C之间时等号成立.故选：D 【24】B 解折：由双曲线方程2-二=1可知，a=1,c=3,故右焦点3.0，左 8 焦点(-3,0)， 当点P在双曲线左支上运动时， 由双曲线定义知P-P=2,所以P=P+2, 从而|2A+P=24+P+22A+2, 又4=V32+(7例=4为定值，所以PA+P可26， 此时点P在线段AE与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B 【25】D 解析：由题意得双曲线焦点在y轴上，a2=4,b2=5,c2=a2+b2=9, 所以下焦点F(0,-3),设上焦点为，则0,3)， 10+864 根据双曲线定义：PF1-1P=2a=4,P在上支，dPF1-P=2a=4 IPFF4+1PEI,PE-PA=4+P-24 在△PRA中两边之差小于第三边，P-PA≥-A, 1AR=√3-0)2+(7-3)2=5， P-P4≥4-5=-1.故选D. 【26】5-25 解析：因为双曲线的焦点为F(⑤，0)， 圆D的圆心D(-5,0),恰好为双曲线的左焦点， P-P=6M=1-sy+(2-0=2W5, PM≥P-M=|P-2W5(当且仅当P,M,E三点共线时取等 号)， |PM≤PD+pM=P+1(当且仅当D,N,P三点共线时取等号)， lP4个-2wM≥P25-PD-1=5-25, 1PM1-|PW1的最小值为5-2√5.故答案为：5-2√5 【27】5 解析：双曲线的两个焦点(-4,0)，E(4,0)分别为两圆的圆心， 1 F 两圆的半径分别为=2，方=1，易知 PM=PE+2,PN=PF:-1, 故PM-P的最大值为P+2-(P-1=PPE+3=2+3=5. 故答案为：5 【28】4+V10/V10+4 解析：如图，设双曲线的右焦点为耳(4,0)，由题知α=2，b=2√3，c=4, 因为PF-Pr2a=4,所以P4+P, 因为A(3,3),PPA≤A=0,当且仅当P,A,R三点共线时等号 成立， 所以，P-P4=4+|P-P4≤4+A=4+而，当且仅当P,A,耳三 点共线时等号成立 所以，PF-PA的最大值为4+V10 故答案为：4+√10 【29】10 解析：动点M的轨达为双曲线子-号1的左支回2可+2=4 △MwB的周长最小时，M+ME最小，+ME=+M4+2, 又MM+M4≥AM=4, 当且仅当WMA三点共线且M在线段AW上时，等号成立 ∴.△MwB的周长为+M+=+MA+2+42AW+6=10, 故答案为：10 M 【30】4W2+13 解析：如图所示 a=2√2，c=4,(4,0), 由双曲线定义得P-PEl=2a=4W2 所以|P=4W2+P IPRI+PA4V2+PE+IPAL 当BA,马，三点共线时，P+12A1最小为A=√4-12+(0-2=3 故0PE+1PA)=4W反+A=4W反+ 故答案为：4W2+3 【31】5+2√5 解析：由题设知，E(-4,0),瓦(4,0)，E(0,2),圆E的半径r=1 由点P为双曲线C右支上的动点知 P=P+6 ∴.P+Pg=P+Pg+6 0Pr+Pg=0P+lP）+6=E-r+6=25-1+6=5+2W5 故答案为：5+2W5 【32】xy 9361≠±) 解析：设点M(,y),而点A(-3,0),B(3,0),在△M4B中，y≠0 又直线A,MB的斜率存在，即x≠±3 于是之=4，即上=9，整理得二上 x+3x-3 4 961, 所以动点M的轨迹方程亡 936 =1(x≠±3). 【33】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2√7的双曲线 51 解析：设d是点M到直线l的距离 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P=M “d3 V-4+y_4 3 将上式两边平方，并化简，得7x2-9y2=63,即亡-二 971 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2√万的双曲 线y 9-7 =1 【34】苦-2=0≥2) 解析：因为|P41-|PB=4<2√5，所以动点P的轨迹是焦点为A,B,实轴 长为4的双曲线的上支.因为2a=4,2c=2W5,所以 a=2,c=5,62=c2-a2=1,所以动点P的轨迹方程为士-x产=10≥2. 故答案为：卫 =0≥2. 【35】B 解析：因为线段PA的垂直平分线1与直线PM相交于点Q, 所以有A=P斗，由圆M:(x+4)2+y2=16,得M(-4,0),该圆的半径 r=4, 因为点P在圆上运动时， 所以有e-M=4,于是有QA-PM=4, 所以点Q的轨迹是以A,M为焦点的双曲线， 所以c=4,2a=4,可得a=2,所以b2=c2-a2=12, 所以点Q的轨迹方程为二-片=1.故选：B. 【36】A 解析：圆W:x2+(0+2=4的圆心为(0，-2)，半径为2，且=4 设动圆P的半径为r,则|PM=PM=r-2,即PM-|M=2<个 即点P在以M,N为焦点，焦距长为2c=4,实轴长为2a=2 虚轴长为2b=2√4-1=2√5的双曲线上，且点P在靠近于点W这一支 上故动圆圆心P的轨迹方程是)产-了收<)故选A 【】-he0j 解析：设圆C的半径为r, 圆A:(x+2)2+y2=9的圆心A(-2,0),半径=3， 圆B:(x-2)2+y2=1的圆心B(2,0),半径2=1， 因为圆C与圆A、圆B外切，则CA=r+3,C8=r+1, 所以cA-e=2<4=Aal, 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支， 又2c=4,2a=2,则c=2,a=1,b2=c2-a2=3 所以其轨迹方程为子二=1，rE么+) 【3916-明号> 解析：设P(x,y),圆P的半径为R, 因为圆Q:x2+y2=1,圆心Q(0,0),半径为1， 圆0(x-4)+y2=9,圆心O(4,0),半径为3， 因为圆P与圆Q,圆O都内切， 所以圆PO=R-1,Po=R-3,即|Po-|Po=2<o,al=4, 所以P的轨迹是双曲线的右支. 双曲线的中心为(2,0)，Q=1,c=2,所以b=4-1=√3， 所以P的轨迹为方程为：-2-号->2)， 故答案为：(--号收> 【39】x2-y2=8(x>0) 解析：设M(x,y),根据题意可知点M在y=x和y=-x相交的右侧区 域， 所点到植线离4：后子 到直线=的距离4，=上++y √2√ Sows did,= 产-卫=4，即x2-y=8>） 2 所以动点M的轨迹方程：x2-y2=8(x>0).故选：C 【o1号若-fo回同 解析：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直 角坐标系， 如图所示，则A(-25,0）,(22,0) 由正弦定是行m4g,血8=，血c上回CR为8c的外 2R 2R 2R 接圆半径). .2sin A+sin C=2sin B lac+c cl-aq- 2 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点） 由题意贷所求筑连方程为号云-(>小 a=√2，c=2√2，∴.b2=c2-a2=6. 放所求锐选方程为苦舌>同 【41苦号e国 解析：由题意知A(-2,0),B(2,0), 设直线{为x=x(。≠2)，E(%),F(o,-o),M(,y), 由A,E,M三点共线及B,F,M三点共线， 得 y。 x+2x。+2’x-2x。-2 两赋相乘化简，得产 y2 x6-4 又至+公=1 42 六。产片即苦苦 又x2-4≠0，即x≠±2， 所秋点业的教选方程为子兰4)， 故答案为：二-号=16≠拉) 42 综合巩固提升 1.【答案】A 解折：由号-号1，得=4解符a=2. 3 因为：是双曲线号号1左支上的动点 所以P<P 由双曲线的定义可知P-PF=-2a=-2×2=-4.故选：A. 2.【答案】C 解折：双曲线5户=1的焦点为0)。 因为椭圆二+。1(a20)与双曲线5y户=1的焦点相同 所以a2-9=16,解得a=5.故选：C 3.【答案】B 解析：由C:-号1可得c=V4+5=3, 因为PF·PF,=0,所以△PE为直角三角形， 则1P+1PR,即PR+PR耳E=(2c)2, 因此可得：1P丽+P,=P+PE+2P灭PR=(2c)2=36, 故1PE+PE=6,故选：B. 4.【答案】D 解析：由动点P到两定点F(3,0),耳(3,0)的距离之差为定值4 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以耳(-3,0)，耳(3,0)为焦点的双 曲线的右支， 易得c=3,2a=4,由c2=a2+b2得b2=5,则动点P的轨迹方程为 x2 y 45=1(x>0), 如图： 又P-P=4,则|P=P+4,且A=4=V3+6=3W5 故△APr的周长 为：P4+A+lP=|24+P+4+lA=P4+PE+4+3W5 2AF+4+3W5=4+6N5, 当且仅当P,A,耳三点共线且P点位于A、瓦之间时等号成立，故 △4P周长的最小值为4+65.故选：D 5.【答案】C 解折：自双商线r号子1有出e=26-666 因为∠RAB=∠RBA,所以B,=R 作EC⊥AB于C,则C是AB的中点. 设|4=F=x,则由双曲线的定义F4-4=2a-=2a, 可得A=x-4=x+4A=8。 故co8∠RBR,= Bx 又由余弦定理得cos∠EBR, (+4°+x2-(26) x2+4x-4 2(x+4)x (+4)x 所以4=+4x-4 解得x=2√5.故选：C x (x+4)x 6.【答案】ABD 解析：依题意a=b=2,c=22, 因为P丽·P函=0，所以P+PE=R=32。 由双曲线的定义可得P-P=4①，两边平方得 lP+lP5P-2PPE=16, 即32-2PP=16,解得PP=8 故△PR的面积为，PP=4,D正确， 设P的纵坐标为么△PR5,的面积F引h=4,解得h=反，A正确 P+P=P+P+2PlP,解得P+P=4W5②， △PR的周长为|P+P+=4V3+4W2,C错误. ①十②可得P25+2,B正确.故选：ABD 7.【答案】24 解折：G药+六1长轴为2×7=14，C:2-三-1的实轴长为2，焦 x 点为±49-24,0），即（±5,0） 不妨设P在第一象限， 根据双曲线的定义和椭圆的定义可得P-P=2P+P=14, 解得P=8P=6,又=10，因此Pr+P=Fr, 所以△PRR为直角三角形，因此8.s=,PPR×8×6=24， 故答案为：24 8.【答案】x2-4y2=1 解析：设M(),P(), 则2，即2 %=2y 又子-1，则 A -(2y}=1,整理得x2-4y2=1, 即点M的轨迹方程为x2-4y2=1.故答案为：x2-4y2=1 9.【答案】详见解析 解析：(1)根据题意，显然a>0,且双曲线C的焦点在x轴上， 故a+3=5-a2,即a2+a-2=0,(a+2(a-1=0, 解得a=-2或a=1,又a>0,故a=1: 《2)由()可得双曲线c方程为：子二-1， 设其左右焦点分别为，E,故可得F(-2,0),F(2,0): V 根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线C的左支上， 设P=x, 由双曲线定义可得：P-P=2,即PF=x+2: 又三角形PE为直角三角形，则Pr+P=「， 即x2+(x+2}2=16,即2+2x-6=0,x2+2x=6: 故△P明R的面积3=(+2)北2+2)归3. 10.【答案】详见解析 解析：(1)设动圆M的半径为r, :动圆M与圆耳内切，与圆F外切， ∴.M=3-r,且M=1+r. 于是M+M=4>R=2 所以动圆圆心M的轨迹是以耳，耳为焦点，长轴长为4的椭圆。 从而a=2,c=1, 所以b2=3. 故动圆圆心山的轨迹C的方程为号+号=≠2) (2)圆F的圆心为F(-3,0),半径为5=3，圆F的圆心为F(3,0),半 径为=1 因为5=6>5+4，则圆F与圆耳外离， 设圆M的半径为R,由题意可得 MF=R+3 =R+1所 以，M-MR=2<sE, 所以，圆心C,的轨迹是以点耳、F分别为左右焦点的双曲线的右支， 设酮心C,的统达方程为号-云-6≥aa>Q6>0。 由题意可得2a=2,则a=1,b2=32-a2=8, 因此，圆心M的轨迹方程为。之到