第2节椭圆的简单几何性质及应用-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二节椭圆的简单几何性质及应用 核心基础导学 【1】详见解析 x2 2 解析：因为椭圆x2+(m+3y2=m(m>0)可化为m+m =1 m+3 因为m>0,所以m+3>1,所以0<本31，放产3<m 所以椭圆焦点落在x轴上，则。=m,6= m+3 所以c2=a2-b2=m-m=m2+2m m+3m+3 因为=5，所以二=，即463， a 2 a41 即4xm+2严-=3m,解得m=1, m+3 所以椭圆为产+公= ，a2=1,62=1, 2 所以m=1,椭圆的长轴长为2a=2,焦距2c=√3，焦点坐标为 9oo,顶点坐标为e1mao0- 22 【2】c 解析：对于椭圆12十玉1， 4 a=12,6=4,c=12-4=8,∴a=2W5,6=2,c=2W5, ∴.长轴长2a,=4V3,短轴长2边，=4，焦距2c,=4V2 对于椭圆 6+分=1，G16,5=8,c8=16-8=8,小4：=4,6=22 c2=2W2, ∴长轴长2a=8,短轴长2边=45，焦距2C,=4W2, :新圆吉+子1和云苦1的长精长和短特长均不相等故项点不 168 相同，焦距相等.故选：C. 【3】ABC 解析：由条件可知，a2=4,b2=2,那么c2=a2-b2=2, 所以长轴长2a=4,焦距2=25，离心率e=二-5 ,左顶点(-2,0) 42 故ABC正确，D错误.故选：ABC 【4】ACD 解折：将裕圆方程化为标准方程为子+号山 所以该椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(-1,0)，(L,0),故焦距为2，故C、 D正确： 因为a=2所以长轴长是4，故B错误， 因为a26=5,所以e1,商心率e=号宁故A正确放选：ACD 【5】B 解折：曲线云+二=1是焦点在x轴上的椭圆， 259 则a=56=3c=4,长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率二=专 x2 、2 曲线25-正+，-1<9 由k<9得9-k>0,25-k>0,且25->9-k, x 故曲线 一=1（化<）也是焦点在x轴上的椭圆， 25-k9- .a=√25-k,b=√9-k,c2=16,c=4, 长轴长、离心率、短轴长均与：有关，不一定与曲线二 g=1的相同： 而其焦距为8，与曲线云+号1的焦距相同故选B 【6】A 解析：由题意椭圆的标准方程是二+上-1，b<a<0,则-b>-a>0, -b-a 设焦距为2c,则c=√b-(仁a)=√a-b,焦点坐标为（仕√a-b,0).故 选：A 【7】B 解析：由椭圆方程得：a=5,b=3,c=√a2-b2=4: 对于A,点P到右焦点距离的最大值为a+c=9,A正确： 对于B,焦距为2c=8,B错误： 对于C,点P到的距离的最大值为a=5,C正确； 对于D,椭圆的离心率e==号，D正确故选B, 【8】A 解析：若m2>4,则=解得m=9,则2=9-4=5，所以焦距 是2√5： 若0<<4，则号解得-台则2=4当9所以距 99 是45 .故选：A 【9】详见解析 解折：输圆方程可化为兰+片1 (1)当0<m<4时，a=2,b=√m,c=√4-m, e=9-4m}m=3 a 2 2 .b=V3,c=1 .椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2√3，焦点坐标为F(-1,0),F,(1,0), 顶点坐标为A(-2,0),A,(2,0),B(0,-√3)，B,(0,√3) (2)当m>4时，a=√m,b=2,c=√m-4, 16 m b=2c=25 3 ·椭圆的长轴长和短轴长分别是8 3 ,4,焦点坐标为 3 ,顶点坐标为 ,B(-2,0),A(2,0) 3 【10】(1) 产1或品+云1：a品云1品+云1 2 x2 解析：(1)当椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为存+三1(a>6>0, 由椭圆过点A(5,0),得a,=5,由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得 则所求袖园的标准方程为云+1： 当点在)精上设其标准方程为苦+苦6>4>0。 由椭圆过点A(5,0),得b,=5,由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得 a2=5b2=25, 则所求椭圆的标准方程为 62525 所我所球相的标准方程为芳+产1或衣+茶1 (2)令椭圆长半轴长为a,半焦距为c,由2c=12,得c=6, 由离心率8=，得号，即a=10,因此椭圆短半轴长 b=Va2-c2=8, 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为二+二=1： 10064 当德点在箱上时，所求精园的标准方邦为品+云1。 所以所求椭圆的标准方程为文+二=1或二+ 10064 10064 =1 【11】B 解折：铜946的标准方装为兮+ =1,该椭圆的焦点坐标 为(0，±5)，设所求椭圆的长半轴长为a,则a=25+5=5,故所求 椭圆的标准方程为 2520 =1.故选：B 【12】A 解折：根松题意可设椭圆方程为三+卡-1，易知2a=18,且2。片×2a, 解得a=9,c=3: 所以。=-ee,故精圆方求为后方1故击A 【13】A 「1,3弘2 a2=4 解析：由题可知， b21 ,解得=3 所以椭圆的方程为 a-a=2 【14】B 解析：因为M(10)为线段OB的中点，且B(b,0),所以b=2,又椭圆C 的离心*g誓，所以后号-吾号所以e26 2 所以椭圆℃的标准方程为二+二=1，故选：B, 48 86 解折：输圆三+二1的离心率为 43 a 设所求指同方程为导片->0。 2 又÷+21，m-86 ÷所求椭圆的标准方程为号+上=1。 8 6 解析：(1)因为焦点坐标为(-2,0)和耳(2,0)，所以c=2 因为P+Pr=8,所以2a=8,即a=4 所以b2=a2-c2=16-4=12. 故所求椭圆的标准方程为二+二-1 1612 [e-5 3 (2)由题意可得解得2a-2b=2,解得a2=9,=4. a2=b2+c2 =1或y 解折：设椭圆的两焦点分别为只，R,且P四5，Pg引25 3 3 由椭圆定义知2a=Pr+P=25.即a=√5， 又由P>P,所以PF垂直于焦点所在的对称轴 在aPFA中，可得=PPE,即 (-5- 即e25,所以6=a-。- 3 6+51 、所以椭圆的方程为5+10=1或 重点题型专练 【18】10 解折：由号+亡1，得a=9,6=5, 59 则a=3,b=5,c=√a2-b2=2,所以F=2c=4, 因为点M在椭圆上运动，所以M+M=2a=6, 所以△ME的周长为M+|M:+R=6+4=10 【19】20 解折曲三号1，得2，得4=5， 因为A,B两点都在椭圆上， 所以由椭圆的定义可得4+A=2a=10,B+Br=2a=10, 因为AB=AF+Br,所以△ABR,的周长为 AB+AR+Br=A+B+A+B=4a=20,故答案为：20 【20】20 解折：稀圆号+兮1的长半精轴a=3,半凭距c=5-了2， 依题意，P,F分别是MF,R的中点，即 |ME=2 PF LMN=2 PE,LNE=2F,EI,所以aMEW的周长为 1ME|+W1+|2WE=20Prl+|PE|+|EEI)=2(2a+2c)=20 【21】6 解析：依据题意及椭圆方程 则|s4+lF,+A=4a=16,又B4+B=10,所以4=6 【号号 解析：如图，由△4FB的周长为4√3及椭圆的定义可知 4a=4V3,.a=√5 2c=2,.c=1,.b2=2 稀圆c的方程为号号1：答案为：号1 32 【231号 解析：由椭圆方程可知：a=4 因为△ABF,的周长为 A+A+B=(0A+A+0B+B)=4a=16, 可得A=16-(A+BE) 又因为L号，所以4+=16-L号 【24】D 解析：易知当点P为椭圆与y轴的交点时，∠FP瓦最大， x2 y2 因为椭圆方程为25+25=1，所以a=5、 2 0625_55 c=-6=25-=2 此时|P=|P=5,F=2c=55 所以P+Ps=, 所以△FPE为等腰直角三角形，所以∠FPE=90°.故选：D 【25】C 解折：“椭圆父+上 61中 a=√6，b= c=6-3=5 焦点(V50,￡(N50): 当PE=PE,=a=√6时，∠rPE取得最大值 此时PF+PF2=FF 故∠FPF的最大值为90 根据椭圆的对称性可得满足条件的点有2个，故选：C, 【26】于+-1 解析：如图根据椭圆的性质可知，当点A为椭圆与y轴的交点 时，∠FAF最大.根据椭圆图形的对称性，可得∠OAF=60° 根据椭圆方程c2=a2-(a2-3)=3,故oR=√5，在直角三角形QA中， 因为∠OAF2=60°，可得AF,=2 故a=2,所以该辅圆的标准方程为手+户=】 【27】30° 解析：由椭圆方程知：a=2,b=1,c=√3： 若P=P,P+P=2a,P=P=a=2 1551-26-25P5-5+5-P512 2P4×2W52 又0°<∠PEE<180°，∠PEE=30°.故答案为：30° 【28】120 解析：在椭圆号+片1中，a=3,6=V反，则 2 c=Va2-b2=√9-2=√5 由椭圆的定义可得PE=2a-P=6-4=2, 在△P瓦中，由余弦定理可得 0-1P5P+1P51-1561-16+4-281 2PP2×4×22 又因为0°≤∠EPE≤180°，所以，∠FPE=120°.故答案为：120° 【29】40 解析：由题意可得a2=12,b2=3,c2=9, 在△P瓦中，∠RPF,=60°，由余弦定理， 得cs∠PR=P+|PSP-|AB= 2 PF 2 得PHP-EE=3 PRPR, (2a2)-(2c)=3PFIIPFI, 所以 1PRPs卡6=4.Pg+利PRR+利PRPR,F4c+6=40 故答案为：40 【30】C 解析：在椭圆C中，a=10,b=5√5，则c=√a2-b2=5, PR-PR:=8 配可得P20所以.P4,P=6,=o, 所以，P>RP,故在△RPR中，∠PFR最大， 由孩定时m∠3图+-片 2PR 0°<∠PFR<180°，故∠PFR=120°，故选：C 【31】B 解析：椭圆号+子1，则a=36=2c5 |E=2c=25,Pr+Pr=2a=6, 两边平方得P+P+2PP=36①， 在△P中，由余弦定理得|R=P+P-2 .PF..cose60°， 即|Ps+P-PP=20②， 由O②pP兰故选B 【32】4V3 解新：回c品+片-1得a=25,2.64 设|PE卡m,|PF2卡n,则m+n=45 PR⊥PE,2+n2=64, 2n=(m+n)2-(m2+n2)=16,∴(m-n)2=(1+n)-4mn=80-32=48 m-n上4V5,即‖PE|-|PE=4V5.故答案为：4V5 【31 解析：由椭圆的方程士+二=1可得a=3,b=2,所以 94 c=Va2-b2=V9-4=√5， 设P=r,则|PF=2a-r=6-r,由P在第一象限可得r>6-r,即 r>3, 因为Pr⊥PE,所以2+(6-r)2=(2c)2=20, 整理可得r2-6r+8=0,解得r=4或2（舍），即P=4,P=2, 所以在财△PR5中，国∠P不=园子片 【34】9 解析：由题知△PFF:是以耳为顶点的等腰三角形， 所以PF=耳耳=2正， 因为点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义可知： P耳+PF2=2a,故PF2=2a-2c 因为c0s∠RPR-子，故在△PRR中，由余弦定理可得： c0s∠5PR=P四+PR-RE3 2·PE·PF2 4】 即46+2a-2仁3，解得：2a=e,即-号故答案为：号 2.2c-(2a-2c)4 【35】B 解折由元后1，钓a4,0=2 即lP+P=2a=8,El=4, 又3P=5P, 则P=3,P=5, 所以△PR瓦为直角三角形，∠PFF=90° 所以8%=P=×3x4=6,故选：B 【36】2W5 解析：由椭圆云+二1可知a=35,b=0,e=8-10=25, 1810 故P+PFl=2a=6W2,结合Pr=2Pr 可得P=4W5P=25,而|2c=4W5 故△PRR为等腰三角形，其面积为，×2√反×V42了-(W2了=2下 【37】B 解折：号1 则a2=25,b2=9,所以c2=16, 则|Pr+Pr=2a=10F=2c=8 由余弦定理可知os∠gPg=P2-E1 代入化简可得|PP=12, 则8：Pn∠P器19-5，故选B 2 【38】AB 解折：曲三+号1得e=瓜可=4，不动5(40,0)，则 9 瓦=8， 4r+4r10① 当A耳上A可时，则 4E+4r=64② ①平方减去②得4A=18 8=宁h49, 当AF⊥FE(或者AE⊥FE)时，E(-4,0) 令x=4,则只+号1：解得y=号 259 【39】B 解折：腰意，设椭园C的方程为二+三-66>0，由P)在c y2 上得+是1， 显然△P耳耳的内切圆与直线耳耳相切，则该圆半径为1，而 8w=5a+2g1=a+c, 又8m23，于是a=2,6-e-，因此+号1 解得4=28=21，所以椭圆c的标准方程是二+广=1，放选：B 2821 【401 解折：由椭圆C5+号1，可知长轴长2a=10,焦至为2=8。 259 因为△ABF,内切圆的面积为π， 所以△ABF,内切圆的半径为1， 记△ABF内切圆的半径为r,△ABR,的周长为m,则m=4a=20, 则sr,又因为8s=8%+8%宁R3l- 所以mr=8x-%1,即20x1=81%-1,所以k- 【41】35 3 解析：由椭圆可得a2=16,b2=7,c2=9,所以 |p+lPr=2a=8,F=2c=6, 所以|P==6,故PF=2 在△PRg中，cos∠Pg=P+P-1 2PRPF6 因为cos2∠FPE+sim2∠FPF,=1,且sim∠rPE>0,所以 m∠PR=西 6 设P的坐标为(6)，且=卡Psm∠RPR, 所以K压，所以点P到y轴的距离为 3 3 【42】A 解析：由于稀圆焦点三角形的面积公式为8=6m号，故所求画积为 16tm30-165,故选A 3 【43】3 解析：根据椭圆焦点三角形的面积公式为8=6m?,故所求面积为 6tam90=9.所以b=3: 2 【44】D 解折：椭圆焦点三角形的面积公式为S=6m号，故所求面积为 2tm120=25.故选：D. 2 【45】A 【详解】设稀园c:云+1的左焦点为只，根据题意，作图如下： P 0 由1 OPHOF作，所以PELPR, 所以由焦点三角形面积公式：，w宁1m子=故选：A 【46】D 解析：由e=片得台分即a=20 设△RPE的内切圆的半径为r,则 因为△RPR的内切圆的面积为3n,所以m2=3π，解得r=5（负 舍) 在△耳P耳中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 m=ma+2.即5=5e+9 由a2=b2+c2③，联立①②③，得c=3,a=6,b=3V3, 所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12 故选：D. 【47】详见解析 解折：由1，可符广产= 斗 又-a≤x≤a 即a-c≤PFsa+c 【48】[6,a2] 解析：由题可知P+P=2a,Pe[a-c,a+c] 因为PslP=Psl(2a-Ps)=-Ps+2alPs=-Pg-a+a, ,PF=a时，|PFLIPE|有最大值a2,P=a-c或P=a+c 时，1PP51有最小值b2,即1PRP的取值范围为[b,a] 【49】3 解折：因为(L0为裤圆羊+号-e>0)的焦点 所以a2>3,c=1,b=V3 所以由a2-6=c2→a2=c2+b2=P+(5=4, 所以椭圆的标准方程为：士+上=1， 43 如图所示： M FC-1.00 42.0主 因为F(~1,0)为椭圆的左焦点，M为椭圆上的动点， 故当M处于右顶点A时最大， 且最大值为M=a+c=2+1=3,故答案为：3. 【50】[8,10] 解折：圆c+号1.则a=2,6=5,所以c=F-F=1, 设|P=i,P=5,则5+52=2a=4, 所以P+P=2+(4-5)'=2(5-2°+8， 又1=a-c≤5≤a+c=3, 所以当5=2时，(P+P）=8, 当5=3时，(P+P）=10 即P+PF的取值范围是[810].故答案为：[8,10] 【6+号1 解析：设椭圆C的焦距为2c,由题意知2c=2,从而c=1. 又因为 P到 的最大值为a+c,所以+上=3，解得a=2,则公=3 a-c a-c 从而椭圆c的方程为二+二=1.故答案为：二+二=1 4 3 43 制 解折：设稀圆c的半焦距为e>0,则e=-子=之 4l_2a-4 4网网=网1 因为kle-6a+],即h小日]】 【53】C 解析：由题可设点P到椭圆两个焦点的距离之分别2，m, 所以2m+m=2a,得到m=名a 3 又m2a-c,所以2a≥a-c,得到c2a,故≤e<1.故选：C 【54】-2 解折：设小，由愿可知5050，则号+广1产1云 ∴P丽P丽=(5-x-W(W5-x,-)=x2-3+y2 x2-3+1-=子2-2， 又x∈[-2,2]，所以当x=0时，PEPE有最小值，最小值为-2. 到 解析：因为P=15P, 所以2a=Pr+PF=16P 所以Pe[-ea+o], 则e=7 Fa8,又0<e<1, 所的值意阿是仔成答案为 [ 【56】B 解析：由题意可知：A(0,),设P(x,y), 由号+1可得e7-7时，15y1 则24=2+0-1=7-72+y-2y+1 4975.故选B 因为1≤y≤1，可知当y=时，以最大为名6 6 【1 解析：设P(x,y) 所+6-可-1-若6- 36 由于6y6,放当智取最小值侵-年，黄答笑为：四 -4 【58】B 解析：设P(x,y) 则|2M=Pc-c=x2+(0-1'-1, 写2+--1=北+明41s, 因为-3≤y≤3， 所以3≤PM≤15，即V5≤PMs5,故选：B 【59】AC PR+PR=2a 解析：由题意得P引-P引=的 则|P=a+2b,P=a-2b. 由PF=a+2b≤a+c,PF=a-2b2a-c,得2b≤c,即 452=4(a2-c2）sc2, 得二≥25，所以M的离心率的取值范围为 25,〉 a 5 5 ,l.故选：AC 【60】D 解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点R,即F 点到P点与A点的距离相等， 又号-c三lpea-ea+. 芒e-6a+同 ac-c2≤b2≤ac+c2, Jac-e'sa-e ac+c2≥a2-c2 22e+e-le0又eeeu ee).故选D 【61】B 解析：由题意，2a=6动，所以2=，则离心率 o-5=h .故选B 【62】B 解析：焦距为4，即F=4 P为椭圆C上一点，△PFF,的周长为14，即+P+P=14 所以丽c的心*兰同亡号选 【61片 解析：依题意，△PF的周长为2a+2c=6, 所以a+e=3APR面积的最大值为宁×2c×b=bc=5 又。=公+e,整理得6-e八=子+c,即e-2+=0 解得6=1a=2b=厅，故椭圆C的离心半为行，故答案为：月 【64】0<es6 3 解析：由题设，1P3上26≥2a =后号，而0<81所以 -c,则e=cs 0<e≤5.故答案为：0<e≤5 3 3 【65】V5-1 解析：如图 依题意，PR⊥PE,∠PER=60,FF=2c, 则|PF=c,P=V5c, 由椭圆定义可得，P+Pr=(5+1e=2a, 所以离心半e=三=2=5-1 aV3+1 【66】A 解析：由∠AOB=90°，4=l,可得pr=Ar, 由lok符c-号 整理得c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0, 解之得e=5或e=51(会).故选：A 2 2 【67】D 解析：令椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为C,依题意，△FP 是直角三角形，而坐标原点O为斜边耳瓦的中点， 则10PFc,而|OP2b,即有c≥b,c2≥b2=a2-c2,2c2≥a2,即 产导行于是得91 2 所以辅圆离心率的取值范围是三).故选D 2 【68】c 解析：由题意知，以？为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 要使得圆x2+y2=c2与椭圆有交点，需c2b 即e≥6=a-e,得222，即分 由0<e<1,解得5≤e<1,所以精橱的离心率的最小值为5 2 【69】 3 解析：由椭圆定义可得P+P=2a,又P=2P, 故P号=号 由余弦定理得 。EP+P-小E9中99二2 2平 Aa 2a 2 16a 33 9 20a-4c2 故 16a2 ，故40-&c-16 9 9 9 解得二=5，故离心率为5故答案为：5 3 3 3 3 【70】0, 解析： 设∠8R,=a,B阙-B网=a网=，由条件 知：a2cosu≥2x4d2=c2, 4 a号-0 在△FBR中，由余弦定理 知：cosu= 国+丽-国2a-4=1-2 2 2a2 由0得：1-2”0，d号9：放答案为：e 3 3 【71】B 解折：依题意，点A在第一象限设4长以，>0，则三+兰1，解附 人号，由直线4的斜率为2符么=，即护=2c 于是c2+2ac-a2=0,即（号y+2e-1=0,又0<∈<1 a 解得=V5-1,所以C的离心率为√5-1.故选B 【72】B 解析：设P(x),,≠±a,A(-a,0,B(a,0） 由题意可知， 3 .故选：B 【73】3 解析：根据题意可得B(b,0),E(O,c),设P(x,y）, 8风=2FP(b,c)=26y-c), 「-b=2x 2 c=2y-2c1 又点（台孕圆c于+ =1(a>b>0)上， .9c2,b2 行+行1导行“椭圆c的离心*为=日 c21 a 3 综合巩固提升 1.【答案】A 解折：设相圆方程为三+会=>6>0，：腰意可知 le=c_ 2a+2c=√2 解得c=5,所以椭圆c的焦距为2- .故选：A 3 2.【答案】D 解折：若焦点在轴上，则a=3.由。=二6，得c=6,所以 a 3 伊=。-c3,此时稀闲c的标准方程为亏+号1 若焦点在y轴上则6=3由e=三=三三=6，得=27， avava 3 此时轮图C的标准方程为号+号1.缘上所述翻C的标准方程为 3.【答案】A 解析由题可知，g-a-6 对+公+-生则>， a2+1 a2+1 故g,>g2.故选：A 4.C 解析：由题可得M(-a,0),设A(),8(-o). 则k=h。 6-1 6+aa-元。8 又发 则a2=852,c2=a2-b2=7b2. 则e导密故0 5.【答案】ABC 解折：由椭圆c子+二-1，可得a=2,b=5,则c=-8=1, 43 对于A中，由箱钢c的商心率为e=后行所以A正确： 对于B中，由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得 P=a+c=3, 所以B正确： 对于C中，当点P为椭圆的短轴的端点时，可得 PR=PR:=a=2,FF:=20=2 所以∠P3=骨根茶椭圆的儿何作质，可得0：∠5≤兮，所以c正 确： 对于D中，由椭圆的定义，可得|P+P=2a=4,所以D错误 故选：ABC. 6.【答案】AD 解析：对A,由题意a+c-3,a-c-1,故a-2,c-1,故A正确： 对B,△PF,R的周长为2a+2c-6,故B错误： 对Ccos∠RPg=lP+P-R 2PRPF. (P+P)-2PP- 2PRPR 0+P-式-10+P-.2 2PRPR 2P+Pd 1，当且仅当 2 |P=PF时，等号成立， 因为y=cos8在(0，可上递减，所以此时∠EPE最大，又a=2,c=1,所 以∠P的最大值为60，∠瓦P耳=90°，不成立，故C错误： 对D,由余弦定理=P+P-2PPos∠BP职 =P+lPs-2pPPl+cos∠PR),即 4=16-2×4(1+c08∠F,P）, 帮附网号故∠明=6，故D正确：藏选：心 7.【答案】2√5 解析：由题意知(-c,0),A(a,0,B(0,b), 因为网15，将代入号后1指) a 号 由于A/呢，故0A究，啊器 b=a,b=2 即b72c ,则b2=4(a2-b2).4a2=5b2 a 由k3得公+5=9，即有公+女=9。=5a=5,故该椭圆的 长轴长为2a=2√5，故答案为：2√5 &【答1[层别 解析：设椭圆的焦距为2c(c>0),由椭圆的定义可得P+P=2a,又 IPRI=4PF 可得=号，P号 (8asa+c 由题意可得{ 5 解符<10<1技答为：[民 9【答案】月 解折：由精号+亏1，可得a=3=2,则e=尽-8F1,所以 R=2, 如图所示，不妨设P(。y。y。>0),且△PE的内切圆半径为r 可得 S=%==P8%=P84=r 又由S=S5+Ss+S, 可得%=0P+p+r=a+2)=4,即。=4r 又由S=aPR,S,=SPS,=S, 经业上主足放答对 第二节 椭圆的简单几何性质及应用 ▶▷ 核心基础导学 ◁◀ 151 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:椭圆的简单几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 焦点 焦距 范围 , , 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长:;短轴长: 长轴长:;短轴长: 顶点 离心率 离心率越接近1,则椭圆越圆;离心率越接近0,则椭圆越扁 通径 通径的定义:过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小:（最短的焦点弦） ▍知识点2:椭圆方程a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且.可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边.由图知. 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角（）结合起来,建立、之间的关系. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点4:椭圆的焦点三角形 定义:椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”. 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识,建立,,之间的关系,采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题. 性质1:周长:. 性质2:当时,最大. 证明:, ①, 在中,由余弦定理得: ,把①代入可得, ②, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以,取最小值时取最大值. 故由以上可得,当时,最大. 性质3: 证明:由②可得,③. ,把③代入面积公式,即 , 故. ［对应练习:题型1］ ▍知识点3:几何意义的拓展 （1）椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点（即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长）,到中心距离最大的点是长轴的两个端点（即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长）. （2）椭圆上到焦点距离最大的点（称为“远日点”）和最小的点（称为“近日点”）是长轴的两个端点,最大距离为,最小距离为. ［对应练习:题型2］ ▶练基础 椭圆的简单几何性质 1 【典例▪1】已知椭圆的离心率,求的值及椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. 【练习▪2】椭圆和（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.顶点相同 【练习▪3】（多选）关于椭圆,以下说法正确的是（    ） A.长轴长为4 B.焦距为 C.离心率为 D.左顶点坐标为 【练习▪4】（多选）关于椭圆有以下结论,其中正确的有（    ） A.离心率为 B.长轴长是 C.焦距2 D.焦点坐标为 【练习▪5】（2023·高二课时练习）曲线与曲线的（ ） A.长轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.短轴长相等 【练习▪6】已知,则椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【练习▪7】已知椭圆, 分别为它的左右焦点,点是椭圆上一个动点,下列结论中错误的是（ ） A.点到右焦点的距离的最大值为 B.焦距为 C.点到原点的距离的最大值为 D.椭圆的离心率为 【练习▪8】已知椭圆的离心率是,则椭圆的焦距为（ ） A.或 B.或 C. D. 【练习▪9】设椭圆方程的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标. ▶练基础 由几何性质求标准方程 2 【典例▪10】（2024·全国高二专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）长轴长是短轴长的5倍,且过点; （2）离心率,焦距为12. 【练习▪11】（2023·全国高二）与椭圆有相同的焦点,且短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪12】（2023·全国高二专题）中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪13】（2023·全国高二）已知椭圆 经过点,且的离心率为,则的方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪14】（2022·北京昌平高二校考）已知椭圆:的离心率,短轴的右端点为,为线段的中点,则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪15】（2023·全国高二专题）已知椭圆焦点在轴,它与椭圆有相同离心率且经过点,则椭圆标准方程为 . 【练习▪16】（2020·广西崇左高二）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点坐标为和,P为椭圆上的一点,且; （2）离心率是,长轴长与短轴长之差为2. 【练习▪17】（2024·全国高二专题）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线正好过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 椭圆的焦点三角形问题 1 ▷角度1:焦点三角形的周长问题 【典例▪18】已知椭圆的两个焦点分别为,,点在椭圆上运动,则的周长为________. 【变式▪19】（2023·江苏）椭圆的两焦点为,直线过交椭圆于两点,则的周长为 . 【练习▪20】椭圆的左右焦点为,,P为椭圆上第一象限任意一点,关于P的对称点为M,关于的对称点为N,则的周长为________. 【练习▪21】已知,为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则 . 【练习▪22】已知椭圆C:（）的左、右焦点分别为,,且两焦点间的距离为2,过点的直线l交椭圆C于A,B两点.若的周长为,则椭圆C的方程为 . 【练习▪23】已知椭圆（）的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于两点,若的最小值为,则的最大值为 . ▷角度2:焦点三角形的夹角问题 【典例▪24】若为椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,则的最大值为（       ） A. B. C. D. 【变式▪25】设P是椭圆上的点,为其两焦点,则满足的点P的个数是（    ） A. B. C. D. 【练习▪26】已知,是椭圆的左、右焦点,点为椭圆上一动点,的最大值为,则该椭圆的标准方程为_________. 【练习▪27】（2023·辽宁）已知椭圆,若在椭圆上,是椭圆的左、右焦点,满足,则 . 【练习▪28】已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,若,则 . 【练习▪29】（2024·天津高二）已知椭圆的两个焦点,,点在椭圆上,且,则 . 【练习▪30】已知椭圆的焦点为、,若点在上且满足,则中最大角为（    ） A. B. C. D. 【练习▪31】设为椭圆上的一点,、为椭圆的左、右焦点,且,则等于（    ） A. B. C. D. 【练习▪32】（2024·全国）已知椭圆的两焦点为,, 为椭圆上一点且,则 . 【练习▪33】已知,是椭圆:的左、右焦点,是椭圆在第一象限内的一点,若,则 . 【练习▪34】已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,若是以为顶点的等腰三角形,且,则的值为 . ▷角度3:公式法求焦点三角形的面积 【典例▪35】已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则的面积为（    ） A. B. C. D. 【练习▪36】已知分别为椭圆的左､右焦点,为椭圆上一点且,则的面积为 . 【练习▪37】已知点分别是椭圆的左､右焦点,P在此椭圆上,,则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【练习▪38】（多选）,是椭圆的两个焦点,A是椭圆上一点,是直角三角形,则的面积为（ ） A.9 B. C. D. 【练习▪39】（2024·太原三模）已知点分别是椭圆的左、右焦点,是上一点,的内切圆的圆心为,则椭圆的标准方程是（   ） A. B. C. D. 【练习▪40】（2024·南京高二）已知椭圆的左、右焦点分别为,过点作直线与椭圆交于两点,设,若内切圆的面积为,则_________. 【练习▪41】（2024·河北邯郸高二）已知,是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,且满足,则点P到y轴的距离为_________. ▷角度4:已知焦点三角形顶角求面积 若椭圆中焦点三角形的顶角,则面积,结论适用于选择或填空题. 【典例▪42】椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【练习▪43】（21-22高二·全国·课后作业）已知、是椭圆的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若的面积为9,则实数b的值为_________. 【练习▪44】（23-24高二·湖北）已知椭圆（）的两焦点分别为、.若椭圆上有一点P,使,则的面积为（    ） A. B. C. D. 【练习▪45】已知椭圆:的右焦点为，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（       ） A． B．1 C．2 D．4 【练习▪46】已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 ▍练题型 椭圆有界性的有关应用 2 【典例▪47】已知椭圆C：（）的右焦点,点是椭圆C上的一个动点.求证:. 【变式▪48】（2022高三·全国专题练习）已知点P在椭圆上,为椭圆的两个焦点,求的取值范围. 【练习▪49】（22-23高二上·上海浦东）以为焦点的椭圆上有一动点M,则的最大值为 . 【练习▪50】已知是椭圆的两个焦点,点在上,则的取值范围是 . 【练习▪51】（2024·陕西渭南·模拟）已知为椭圆的两焦点,P为椭圆C上一点,若的最大值为3,且焦距为2,则椭圆C的方程为 . 【练习▪52】已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点,则的取值范围是 . 【练习▪53】若椭圆上存在点,使得到椭圆两个焦点的距离之比为,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪54】设分别是椭圆的左、右焦点,若是该椭圆上的一个动点,则的最小值为 . 【练习▪55】（23-24高三·山西）已知是椭圆的两个焦点,若上存在一点满足,则的离心率的取值范围是 . 【练习▪56】已知A为椭圆的上顶点,为椭圆上一点,则的最大值为（    ） A. B. C.3 D. 【练习▪57】已知是椭圆上一点,,则的最小值为 . 【练习▪58】已知点是椭圆上的任意一点,过点作圆：的切线,设其中一个切点为,则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【练习▪59】（23-24高二广西开学）（多选）已知,分别是椭圆M：的左、右焦点,点P在椭圆M上,且,则M的离心率可能为（    ） A. B. C. D. 【练习▪60】已知是椭圆的右焦点,若直线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. ▍练题型 求椭圆的离心率及取值范围 3 求椭圆离心率及范围的两种方法: （1）直接法:若已知,可直接利用求解.若已知,或,可借助于求出或,再代入公式求解. （2）方程法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或范围. 【典例▪61】已知椭圆: 的长轴长是短轴长的3倍,则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【变式▪62】已知是椭圆的两个焦点,焦距为4.若为椭圆上一点,且的周长为14,则椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 【变式▪63】已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且的周长为6,面积的最大值为,则椭圆的离心率为 . 【练习▪64】已知点,分别为椭圆的左,右焦点,若直线上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围为 . 【练习▪65】已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为 . 【练习▪66】（2024·河南南阳高二）已知O为坐标原点,,是椭圆C:（）的焦点,过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,若,则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【练习▪67】已知是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且,则该椭圆离心率的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪68】已知,是椭圆:（）的左、右焦点,以为直径的圆与椭圆C有公共点,则C的离心率的最小值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪69】（2024·浙江高二）已知椭圆 的左右焦点分别为,为椭圆上的点,若,,则椭圆的离心率等于 . 【练习▪70】（2022·陕西渭南高二）已知,为椭圆（）的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆离心率的取值范围为 . 【练习▪71】（2024·河南高三）在直角坐标系中,椭圆的右焦点为是上一点,且轴,若直线的斜率为2,则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【练习▪72】（2024·浙江）已知椭圆,为椭圆上一动点（不含左右端点）,左右端点为, ,则离心率e的范围为（    ） A. B. C. D. 【练习▪73】（2024·上海高二期中）设,分别是椭圆的右顶点和上焦点,点在上,且,则的离心率为 . ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知椭圆的离心率为,是的两个焦点,为上一点,若的周长为,则椭圆的焦距为（   ） A. B. C. D. 2.已知椭圆C过点,且离心率为,则椭圆C的标准方程为（    ） A. B. C.或 D.或 3.（23-24高二上·江西·阶段练习）已知,椭圆:和:的离心率分别为,,则（    ） A. B. C. D.,的大小关系不确定 4.（2024·全国模拟）椭圆 的左顶点为,点均在上,且点关于点轴对称,若直线均存在斜率,且斜率之积为,记的离心率为,则（     ） A. B. C. D. 二、多选题 5.已知椭圆,,是椭圆的左右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（    ） A.椭圆离心率为 B.的最大值为3 C. D. 6.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,且的最大值为3,最小值为1,则（    ） A.椭圆的离心率为 B.的周长为4 C.若,则的面积为3 D.若,则 三、填空题 7.已知椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为,点在上,,则该椭圆的长轴长为 . 8.（2024·江苏）在平面直角坐标系中,椭圆上存在点P,使,其中,分别为椭圆的左右焦点,则椭圆的离心率的取值范围是 . 四、解答题 9.已知为椭圆任意一点,为左、右焦点,为的内心,记,, 的面积分别为,求的值. $