第1节椭圆的定义与方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一节 椭圆及其标准方程 144 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:椭圆的定义 （1）椭圆定义:平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,焦距的一半叫作半焦距. （2）椭圆定义的集合语言表示: 注意事项:定义中条件不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:①当时,其轨迹为线段; ②当时,其轨迹不存在. ▍知识点2:椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴,线段的垂直平分为轴建立直角坐标系,如图. （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点,椭圆的焦距为. 焦点的坐标分别是, 又设与的距离的和等于常数. 由椭圆的定义,椭圆就是集合 因为, 所以 即 两边平方得 整理得,再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有,故设,就有 ［对应练习:基础1］ ▍知识点3:椭圆的标准方程对比 定义 图形 标准方程 （焦点在轴） （焦点在轴） 焦点 的关系 ［对应练习:基础2］ ▍知识点4:求椭圆的标准方程 （1）定义法:根据椭圆定义,确定的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. （2）待定系数法:根据椭圆焦点是在轴还是轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出的方程组,解出,从而求得标准方程. 注意: ①如果椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为.因为它包括焦点在轴上或焦点在轴上的两类情况,所以可以避免分类讨论. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ［对应练习:基础3、题型1］ ▍知识点5:求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义,则可用定义法求解. （2）直接法:将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. （3）相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点方法求解. ［对应练习:题型2］ ▶练基础 椭圆的定义与方程 1 对椭圆定义的三点说明: （1）椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. （2）定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. （3）常数必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. 【典例▪1】已知点,,动点满足,则动点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 【变式▪2】平面内,是两个定点,“动点满足为常数”是“的轨迹是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪3】（2024·上海高二练习）已知点, ,有,则点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 【练习▪4】如果点在运动过程中,总满足关系式,那么点P的轨迹为（    ） A.线段 B.直线 C.椭圆 D.圆 【练习▪5】（2024·河南高二）已知椭圆的两个焦点分别为,点为椭圆上一点,则 . 【练习▪6】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为 . 【练习▪7】（多选）设定点,,动点满足,则点的轨迹可能是（    ） A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 【练习▪8】（2023·江西景德镇高二）如图,把椭圆的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点,,…,, F是左焦点,则（      ）    A.16 B.18 C.20 D.22 ▶练基础 椭圆标准方程的理解 2 对于方程表示椭圆的充要条件为: ;当时,方程表示焦点在轴上的椭圆;当时,方程表示在轴上的椭圆.特别地,当时,方程表示圆心在原点的圆. 【典例▪9】以下方程表示椭圆的是（    ） A. B. C. D. 【变式▪10】已知曲线表示椭圆, 则的取值范围为__________. 【变式▪11】已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【练习▪12】（2024·全国高二）设表示的是椭圆;,则p是成立的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪13】如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ） A. B. C.或 D.且 【练习▪14】（多选）若方程所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是（ ） A.曲线C可能是圆 B.若,则C为椭圆 C.若C为椭圆,且焦点在x轴上,则 D.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则 【练习▪15】（2023·江苏高二专题）曲线与的关系是（    ） A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有不等的焦距,相同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.有相等的焦距,不同的焦点 ▶练基础 求椭圆的标准方程 3 （1）定义法:根据椭圆定义,确定的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. （2）待定系数法:根据椭圆焦点是在轴还是轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出的方程组,解出,从而求得标准方程. 注意: ①如果椭圆的焦点位置不能确定,可设方程为.因为它包括焦点在轴上或焦点在轴上的两类情况,所以可以避免分类讨论. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. 【典例▪16】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是,,椭圆上一点到两焦点的距离的和等于10,求椭圆的标准方程. 【典例▪17】已知椭圆两焦点坐标分别是,,并且经过点,求该椭圆的标准方程. 【变式▪18】已知椭圆的焦点在轴上,焦距为,且经过点,求该椭圆的标准方程. 【练习▪19】（2023·高二课时练习）已知椭圆的焦点在坐标轴上,且经过和两点,求该椭圆的标准方程. 【练习▪20】已知椭圆过点,且与椭圆有公共的焦点,求椭圆的标准方程. 【练习▪21】（2024·高二专题）求过点,且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程. 【练习▪22】已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过,,三点,求椭圆E的标准方程. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 椭圆中距离的最值转化 1 【典例▪23】（2023·全国）已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,A是C上一点,点,则的最大值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.11 【变式▪24】已知椭圆的左焦点为,为上的动点,点,则的最大值为（   ） A. B. C.3 D. 【变式▪25】（2024·湖南）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点,直线经过的定点为,则的最大值为（    ） A. B.2 C. D.6 【练习▪26】已知椭圆的左焦点为F,若A､B是椭圆上两动点,且垂直于x轴,则周长的最大值为 . 【练习▪27】（2024·全国高二）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点,点,则的周长的最大值为（    ） A.6 B.8 C.12 D.14 【练习▪28】已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点,点,当周长最大时,直线的方程为 . 【练习▪29】（2024·福建宁德高二）已知是椭圆上一动点,是圆上一动点,点,则的最大值为（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 【练习▪30】已知是椭圆的左焦点,点在上,在上,则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【练习▪31】已知椭圆的左､右焦点分别为,,为椭圆上任意一点,为圆上任意一点,则的最小值为 . 【练习▪32】（2024·辽宁沈阳高二）已知, ,动点满足,若,则的范围为 . 【练习▪33】已知点为椭圆的焦点,P为椭圆上一动点,,则的最小值为（    ） A. B.1 C. D. 【练习▪34】已知椭圆方程是其左焦点,点是椭圆内一点,点是椭圆上任意一点,若的最大值为,最小值为,那么________. 【练习▪35】（2023·江苏高二专题）已知F是椭圆的左焦点,M是椭圆C上任意一点,Q是圆上任意一点,则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪36】（2023·全国）设实数x,y满足,则的最小值为（    ） A. B. C. D.前三个答案都不对 ▍练题型 与椭圆有关的轨迹问题 2 求动点轨迹方程常见的方法 （1）定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义,则可用定义法求解. （2）直接法:将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. （3）相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点方法求解. 【典例▪37】（2024·全国高二专题）平面直角坐标系内动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数,求动点M的轨迹方程. 【典例▪38】（2024·全国高二专题）的两个顶点坐标分别是和,边,所在直线的斜率的乘积是,求顶点A的轨迹方程. 【典例▪39】（2024·福建泉州高二校考期中）已知圆: ,圆:,若动圆与圆内切与圆外切. 则动圆圆心的轨迹的方程为_______________. 【典例▪40】已知为椭圆上一动点,记原点为,若,求点的轨迹方程. 【练习▪41】（2023·江苏高二专题练习）已知动圆过点,并且在圆B:的内部与其相切,则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【练习▪42】已知圆的圆心为,点是圆上的一动点,点,线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为 . 【练习▪43】已知P是圆上任一点,,线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹方程为 . 【练习▪44】已知点P是圆上的动点,作轴于点H,则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知椭圆C:的一个焦点为,则k的值为（    ） A.4 B.8 C.10 D.12 2.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 3.已知,是椭圆的两个焦点,点M在椭圆C上,则的最大值为（    ） A.13 B.12 C.9 D.6 二、多选题 4.已知椭圆:的两个焦点为,,是上任意一点,则（    ） A. B. C. D. 三、解答题 5.已知是椭圆的两个焦点,,为上一点. （1）求椭圆的标准方程; （2）若为上一点,且,求的面积. 6.某颗小行星的运行轨道是一个椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点处.如图所示,小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位,最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离,约为,是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位.    $第三章圆锥曲线的方程 0。。。。。。。。。。。。。。。。。■。。 第一节椭圆及其标准方程 核心基础导学 【1】C 解析：由题设知：PA+P=A=2,此时动点P必在线段AB上，即动 点轨迹为线段.故选：C 【2】B 解析：当动点M满足M+M区为常数时，M的轨迹不一定是椭圆， 只有当M+M>时，M的轨迹才是椭圆， 而当M的轨迹才是椭圆时，动点M满足M+M为常数 所以“动点M满足M+M为常数”是“M的轨迹是椭圆的必要不 充分条件，故选：B 【3】C 解析：由于P+P=6=RF,故点P的轨迹为线段R瓦.故答案 为：C 【4】C 解析：可设(4,0)，F(4,0),则FF=8 可得VG+4)+y+V-4+y=P+PF10>F,, 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，a=5,c=4 故选：C 【5】12 解析：由题意知a2=36,所以a=6,又由椭圆的定义，得 M+M=2a=12.故答案为：12 【6】8 解析：设椭圆的左、右焦点分别为耳，EP=2,结合椭圆定义 |P+PE=10,可得P=8 【7】BC 解析：由题意知，定点E(0,-2),E(0,2),可得F=4, 因为a0,可得+a+子2吾4 当且仅当a=4,即a=2时取得等号。 a 当a+4=4时，可得的P四+P=F,此时点P的轨迹是线段 FF: 当a+4>4时，可得P+P,此时点P的轨迹是椭圆。 a 故选：BC 【8】B 解折：因为定稀圆子+号=1的长轴48分成10等份，过每个分点作： 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点月，乃，，B, 设椭圆的右焦点为F',且a2=4,可得a=2, 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得 =BF1=RF1=, 所以可+BF+…+BF =g1++(2F+)+,3Fz=18.故选：B 【9】c 解析：A选项，方程5+51即+少=25，表示圆，不是椭圆，A选 项错误， B选项方程23-3y=2,即-号 1，方程中间是减号，不是椭圆，B 选项错误 x2 y2 C选项，方程-2x2-3y2=1,即工+工=1 23 表示焦点在x轴上的椭圆，C选项正确， D选项，方程十 ++20右边不是1，不是椭圆，D选项错误故选：C 【10】(0,2)U(2,+∞) 4a>0 解析：若曲线C是椭圆，则有：3a+2>0解得：a>0,且a≠2 4a≠3a+2 故a的取值范围是(0,2)(2.+o) 【11】c 解析：根据题意，要使方程 x2 +2 =1表示焦点在x轴上的椭圆，需 k+53-k k+5>0 满足3-k>0,解得-1<k<3.故选：C. k+5>3-k 【12】A 解析：若x2+ny2=1表示的是椭圆，则m>0,n>0且m≠n,即p→g成 立： 反例：当m=n=1时，x2+y2=1表示的是圆，即g→P不成立： 即p是9成立的充分不必要条件，故选：A 【13】D 解折：因为方程等+片。1表示低点在y轴上的能圆则仁0+6。 a≠0· 解得-2<a<3且a≠0.故选：D 【14】AD 解折：当3-11-10即=：时方程+名1为+y1, 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误： 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3-t>t-1>0,解得1<t<2,故选项C 错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t-1>3-t>0,解得2<t<3,故选项D 正确.故选：AD. 【15】D 解折：由题盘可知橘圆云号1的焦点在：箱上且。=25-9=6。 所以c=4,焦距为2c=2×4=8,焦点坐标为(4,0)， 2 椭腿，+10<<9)的焦点在y轴上且 c2=(25-k)-(9-k)=16, 所以c=4,焦距为2c=2×4=8,焦点坐标为(0,4)，所以两椭圆有相等 的焦距，不同的焦点.故选：D. 解析：两个焦点的坐标分别是（一4,0），(4,0)，∴椭圆的焦点在横轴上， 并且c=4 ∴.由椭圆的定义可得：2a=10,即a=5,由a,b,c的关系a2=b2+e 解得b=3, :相圆方程是云+号1.放答奖为云+号1 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 器+-e>6>0, 园的定义知a=后球(+行-少( 所以a=10.又因为c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以椭阙的标准方程为。+专1.故答架为：。+。1 x2.y2 【®1名+1 解折：设桶圆的标准方程为子+茶=6>6>0)，依题意得2：=2店 a2=b2+c2 a=4 解得b=1,所以该椭圆的标准方程为 16 +x2=1 c=v15 【u1若+号1 解析：设所求椭圆方程为：x2+y2=1(m>0,n>0,m≠n)将A和B 的坐标代入方程得： [3m+4n=1 12m+=1解得 m215 ,所求椭圆的标准方程为： 2+=1。 155 故答案为： .y2 =1 155 【20】+ 10+1 解析：方法一：设所求椭圆的标准方程为士 +存=1(a>b>0) 由号片1，得e5,即c-5.0 又点(5列在所求辅圆上，所以是+京=1，② 由①②得a2=10,b2=5, 即所求椭圆的标准方程是二+父=1。 105 方法二：设所求椭圆的方程为 9+万*4+元=1(2>-4) x 12 因为点c6到在所求杨园上所以产7士1，根符1， 所以所求辅圆的标准方程为二+二=1 105 【2号1 棉折：由烟直设随园的方程为产，1,02<9， 将点(5，-列)代入25+，-1 5 3 整理可得：22-262+105=0 解得2=5或2=21（舍）， 所以椭圆的方程为： x2,y2 —天是之之 【22】详见解析 解析：(1)当椭圆E的焦点在x轴上时 设其方程为+二 a+1 (a>b>0),则a=2 又点C号)在椭圆8上得宁+忌1，解得6=3， .9 所以椭圆卫的方程为二+号1。 43 (2)当椭圆E的焦点在y轴上时， 设其方程为三+三-1(a>6>0).则6=2 又点c在椭圆8上得宁+名1，解得。=3， 9 这与a>b矛盾 综上可知畅园8的方程为苦+苦1 重点题型专练 【23】A 解析：设椭圆的半焦距为c,则F(2,0),a=3, 如图，连接AR,则AB+A=AB+2a-AE=6+AE-AE, 而A8-4≤BR=1, 当且仅当A,F,B共线且E在A,B中间时等号成立， 故4+A的最大值为7.故选：A 【24】C 解析：由椭圆方程可知：a=3,b=√5，c=Va2-b2=2, 设右焦点为F',则F(-2,0),F'(2,0),且P+PF1=6,即 PFl=6-PR1, 如图所示 可得：P-PA=6-(0PF+24s6-AF1=3, 当且仅当P在线段AF'上时，等号成立 所以PF-P4的最大值为3.故选：C 【25】B 解折：由箱图c兰+号1容（←1o以5o) 因为点以为圆c号+号1上的点则+=4， 直线1：y=k(x-)+2经过定点N(L,2), 则M-MW=4-（ME+|MWs4-w=4-2=2, 当且仅当M在线段WR上时取等号， 所以M-的最大值为2.故选：B. 【26】12 解析：如图.设AB与x轴相交于点C椭圆+上=1右焦点为R, 94 连接AR,BR, 所以△ABF周长为 AF+BF+AB=6-AF+6-BR+AB=12-（AE+BR-AB)≤12 故△ABF的周长的最大值为12，故答案为：12. 【27】D 解析 椭圆方程+兮1得a=3 b=√5，c=Va2-b2=2 设椭圆的左焦点为F' 则aAPF的周长为 LAF]+APl+PR1=4F]+APl+2a-PF1=4+6+4P-PF1510+LAF1. 当且仅当A,P,F”三点共线，且P在AF'的延长线上时取等号. A(0,2√5)，F(-2,0) AF1=4, △APF的周长最大值为14.故选：D 【28】y=V5x+25 解折：椭园方程：号+兮1,4=3,8-5，c=2,如图所示设椭图的 左焦点为F(-2,0), =V2+2-4Ar1, 则PF+PF1=2a=6,24-PF'S AF1,如图，当A,F',P共线时 取等号， △4PF的周长=AF+lP4+|PF=4F+PA+6-PF1≤4+6+4=14， 当且仅当三点A,F',P共线时取等号. 则直线AP的方程：石音1，整理得=5x+25 故答案为：y=√3x+2W3 【29】B 解析：如图，由题意，椭圆的焦点为耳(-2,0)，耳(2,0) 则圆(x+2)'+y2=1的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得 |P=2a-P=8-Pr,所以|Pg≤P+1=8-P+1=9-Prl 又hM=V5-2}'+(4-0'=5, 所以|Pg-PMs9-（P+|PM)s9-M=4.故选：B. 【30】A 解析：由O2:x2+(心-3-2x,可得(-1)2+(6y-3=1, 可得圆⊙P的圆心坐标为P1,3),半径r=1, 由c+1，可得=2 设椭圆的右焦点为R,根据椭圆的定义可得MF=2a-M 所以M-h=2a-dhM+hN,又由hL.=r|-r, 如图所示，当点P,M,N,耳四点共线时，即P,W',M',耳时，M+取 得最小值， 最小值为M+hM=(M+Mr-月=P-r=3-1=2, 所以MF-MWs=2×2-2=2.故选：A 【31】2√2-5 解析：由M为椭圆C上任意一点，则M+M=4 又N为圆E:(-3)'+(心-2)=1上任意一点，则≥E-1(当且仅 当M、W、E共线时取等号)， M-hM=MM-(4-hM)=+M-4≥s|+Ml-5≥s-5 当且仅当M、W、E、F共线时等号成立 ,E4,0),E(3,2),则1E瓦=√3-1)2+(2-0)2=2√2 ∴W-hM的最小值为2反-5. 故答案为：2W2-5 【32】6-V5,6+5 解析：由椭圆的定义可知动点P的轨迹为椭圆，且2a=6,c=2 所以|PA+P=p4-Pr+6, 又由三角形的性质可知2-P到s4=V(2-+(0-旷=巨，当 且仅当P,A,E共线时等号成立， 所以-2≤24-PsE, 所以6-2≤P4+|Ps6+V万 故答案为：「6-V2,6+ 【33】A 解析： 由F,0)为椭圆。+片=1的焦点， m .c=1,a2=9,b2=m, .9=m+1,.m=8, 设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得|PF=2a-P=6-P, lPF+lP4=6+P4-|P≥6-A=6-5, 所以PF+PA的最小值为6-√5 故选：A 【34】8 解析：由题意，设椭圆的右焦点为FA,0),连接P 则2A+P=l24+(4-P=4+024-PrD, 如图： 当点P在位置M时，PA-PF取到最大值AF, 当点P在位置N时，PA-PF取到最小值-4F1, 所以PA-PF1的取值范围是[AFAF1门，即-1，， 所以|PA+PFI的最大值D=5,IPA+|PF|最小值D=3, 所以Dax+D.=8 【35】C 解析：依题意可知，对于椭圆C,a=3,b=1,c=2√2 对于圆8，圆心为(2反，5)，半径r=B2+100-4x3亚=1 2 设椭圆c的右焦点为(22,0)，巨=5 根据椭圆的定义有MF=2a-M=6-hM, 根据圆的几何性质有Mg+1≥hMMg≥-1 当且仅当Q是线段M伍与圆E交点时等号成立， 所以hg-M=Mg-(6-M)=Mg+Mrl-6≥+M-7, 其中M+M2E=5,当且仅当E,M,R三点共线，且M是线段 EF与椭圆的交点时等号成立， 所以Mg-MF≥5-7=-2 此时E,Q,M,R四点共线，且Q,M分别是线段E耳与圆E、椭圆C的交 点.故选：C 【36】C 解析：√2+2-2y+1+√2+y2-2x+1=2+0-1+6-1+y2, 点》是围e号+子1上的点设81000A0,知图 记题中代数式为M,则 M=PA|+|PF曰PA+2V5-|PE≥2V5-|AE=25-2 等号当点E,A,P依次共线时取得.因此所求最小值为2√5-√互 故选：C. 【1元* 解析：动点M(红，)与定点F(4,0)的距离和它到定直线1：x=9的距离之 1比是常数号 根据题意得点业的抗选镜是集合7=仙学园-》 由此得-4护+y产 将上式两边平方并化简得元+ .y2 3 =1 19-x1 所以，动点M的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、4v5的椭圆 故答案为：上+ 3620 =1 【38】+y 54*610≠t6) 解析：设顶点A的坐标为任，)，由题意得二6.少+6=-二，化简整理， 又A,B,C是△ABC的三个顶点，所以A,B,C三点不共线，因此y牡6， 所以顶点A的连方程为云+ =1(y≠±6)。 故答案为：号+二=10y*6 5436 【31+号 解析：设动圆M的半径为”， 动圆M与圆耳内切，与圆耳外切， .M=3-r,且M=1+r. 于是M+M=4>=2, 所以动圆圆心M的轨迹是以，F为焦点，长轴长为4的椭圆 从而a=2,c=1,所以b2=3. 故动圆圆心M的轨迹C,的方程为 【o1+号1 解析：设点2x,),由OP=2O0得点P(2x,2y),而点P为椭圆 后+台1上的任意一点 所以g+1,整理得学号 16 4+31, 所以点Q的执选方程是子+兮1.故答案为：羊+号 【41】D 解析：由圆B:(x-3+y2=100,则其圆心B(3,0）,半径为R=10 设动圆的圆心为C,半径为r, 由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB, 由圆C过点A,则R-CA=CB,即10=CA+CB 所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 则a=5,e=4-3,b=尽-c=4, 2 所以其轨迹方程为二+二=1.故选D。 2516 解析：由题意知，线段PW的垂直平分线交PM于G点，所以 IGM=GP. ∴lGM+lGW=loM+lol=hMrl=4>2反=， ,点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆 上，2a=4,2c=22,b2=a2-c2=2, ∴点G的轨迹C的方程为+二=1.故答案为：父+二 42 4之1 【41+号1 解析：圆C:(x-1)2+y2=16的圆心C1,0),半径r=4,点Q在线段2A的 中垂线1上，如图， 有1 OPHOA,则IQAI+|QCH2PI+|QC=r=4AAC1, 因此点2的轨迹是以A,C为焦点，实轴长2a=4的椭圆，则虚半轴长 6=2-下=5，所以点Q的轨迹方程为号+号=1.故答案 4中3 【44】D H 解析：如下图所示： 不妨设M(,y,(x),则满足x+=4:易知H(0,), 又线段PH的中点为M,可得x=,y=为。 2 即x。=2x,y。=y,代入方程x+=4可得4x2+2=4, 整理得+上1，故选D 4 综合巩固提升 1.【答案】D 解析：由题意得，c2=4,a2=k,b2=8,所以k=4+8=12.故选：D. 2.【答案】B 解析：根报樱意，婴俊方程千5+，云。1表示焦点在y箱上的的服 k+5>0 需满足3-k>0 ,解得-5<2<-1.故选：B. k+5<3-k 3.【答案】C 解折：由椭圆c号+号1可得a=9,所以a=3, 9+3 因为点M在C上，所以MEI+ME=2a=6 所以1MRME长 1MI+M)_(6 当且仅当1ME曰M区上3时等号成立，ELIMEI最大值为9. 故选：C 4.【答案】BCD 解析：对AB,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c 因为4<25，所以a2=25,b2=4,c2=25-4=21, 所以|P+PF=2a=10,=2c=2W2i,故A错误，B正确： 对C设P(x。%),(-c,0),0≤≤5， 即恒+面+5，当，=5时取得景大值，故C正痛： 对D,由椭圆定义及基本不等式可知：PPss(P:25 2 故D正确.故选：BCD 5.详见解析 解析：(1)设椭圆C的焦距为2c,因为日=2，可得c=1,所以 F(-10),EL,0), W53W5 由椭圆的定义可符。-M+4s_空 2 。5=5,所以 2 b=√5-1=2， 放椭圆c的标准方程为亏+片1 (2)由PR1PR,可得F=P+P 又由椭圆的定义，可得P+P=2a=2W5 平方得P+lP'+2PP=20,即2+2PPr=20 解得PP=8,所以△RPR的面积8=PPg=4. 6.详见解析 解析：如图，设椭圆的焦点为耳，耳，焦距为2c,太阳位于焦点F处 小行星位置P到两焦点的距离之和P+P等于一个固定值2á。 要使|P最大，必须距离之差|P-PF最大 但P-PsR=2c,当且仅当R,耳，P成一条直线且在R和 P之间时， P5-P达到最大值2c,P达到最大值2+2e=a+。, 2 而仅当P达到最大值a+c时，P达到最小值a-c 可见/a+c=5.563 a-c=1.486 解得a=5563+1486=35245,c=5.563-3,5245=20385. 2 因此b=√a2-c2=V3.52452-2.038522.8752. 故椭圆的长半轴长为3.5245天文单位，短半轴长为2.8752天文单位