第四章 培优增分 三角形中的高线、中线与角平分线问题（课件PPT）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

培优增分　 三角形中的高线、中线与角平分线问题 返回 ‹#› 限时规范训练 内容索引 2 在解三角形的高考试题中，往往涉及三角形的高线、中线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰当地使用其几何性质． ◆命题解读 返回 ‹#› 题型一　高线问题 例1　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C， 又A＋B＋C＝π，所以C＝. 又2sin (A－C)＝sin B， 即2sin ＝sin B， 所以sin B＝2cos B． 返回 ‹#› 又sin2B＋cos2B＝1，B∈， 所以sinB＝，cos B＝， 所以sin A＝sin (B＋C)＝sin ＝sin B cos ＋cos B sin . 返回 ‹#› (2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝， sin A＝， 所以由正弦定理， 可得， 解得a＝3. 返回 ‹#› 设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得ab sin C＝c·h， 即·5h， 解得h＝6，即AB边上的高为6. 返回 ‹#› 反思感悟　高线问题的处理策略 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，则 (1)AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD. (3)a＝c·cos B＋b·cos C． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(2025·福建福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝c sin B． (1)求角C； (2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值． 解：(1)由已知A＋B＋C＝π，则 b sin ＝b sin ＝b cos ， 所以b cos ＝c sin B， 由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)， 返回 ‹#› 则sin B＞0，0＜＜，cos ＞0， 所以cos ＝sin C， 则cos ＝2sin cos ， 所以sin ，所以，即C＝. 返回 ‹#› (2)由S△ABC＝ab sin C， 得ab＝4c， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 即c2≥4c，因为c＞0，则c≥4， 当且仅当a＝b＝c＝4取等号， 此时△ABC面积的最小值为4. 返回 ‹#› 题型二　中线问题 例2　(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c. (1)求A； (2)若c＝，D为BC的中点，求AD. 返回 ‹#› 解：(1)在△ABC中，由题意及正弦定理得，sin A(sin B＋cos B)＝sin C， 由A＋B＋C＝π，得sin C＝sin (A＋B)， 所以sin A sin B＋sin A cos B＝sin A cos B＋sin B cos A， 化简得sin A sin B＝sin B cos A， 因为sin B≠0，所以tan A＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 返回 ‹#› (2)在△ABC中，由余弦定理得， 5＝b2＋2－2b×， 所以b2－2b－3＝0， 又b>0，所以b＝3， 因为D为BC的中点，所以，等式两边平方，得 2＝(c2＋b2＋2bc cos ∠BAC)＝， 所以＝， 即中线AD的长度为. 返回 ‹#› 反思感悟　中线问题的处理策略 如图，在△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD的长． (1)倍长中线：如图，构造全等，再用余弦定理求解即可； 返回 ‹#› (2)向量法：⇔； (3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. 注意：若将条件“AD为BC的中线”换为“＝λ”则可以考虑方法(2)或方法(3)． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(2025·福建九地市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝. (1)求B的大小； (2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长． 解：(1)∵a sin C＝c sin B， ∴由正弦定理，得sin A sin C＝sin C sin B， ∵0<C<π，∴sin C>0，∴sin A＝sin B， ∵0<A<π，0<B<π， ∴A＝B或A＋B＝π(舍去)， ∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝. 返回 ‹#› (2)依题意得ab sin C， ∵A＝B，∴a＝b， ∴a2sin ，解得a＝， 设边BC的中点为D，则CD＝， 由余弦定理，得 AD＝. ∴BC边上中线的长为. 返回 ‹#› 题型三　角平分线问题 例3　(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，4cos C＝b－c sin A. (1)求A； (2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长． 返回 ‹#› 解：(1)根据题意可得a cos C＋c sin A＝b， 由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B， 又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 故sin A sin C＝cos A sin C， 又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则 tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 返回 ‹#› (2)因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM， 所以bc sin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM， 又AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝， 所以， 则(b＋c)，即bc＝(b＋c)， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，即16＝b2＋c2－bc，所以 16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)， 解得b＋c＝2(负值舍去)， 故△ABC的周长为2＋4. 返回 ‹#› 反思感悟　角平分线问题的处理策略 (1)角平分线定理：已知AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，则. (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(2025·江西重点中学协作体联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B． (1)求角B； (2)若∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． 返回 ‹#› 解：(1)由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C sin B． 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 则sin C cos B＋sin C sin B＝0. ∵C∈(0，π)，∴cos B＋sin B＝0， 即tan B＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. 返回 ‹#› (2)由(1)可知B＝，∵△ABC的外接圆的半径为2， ∴由正弦定理得，即b＝6， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝. 由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 可得ac sin sin sin ， 即ac＝ (a＋c)，　① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ， 即(a＋c)2－ac＝36，　② 返回 ‹#› 由①②可得a＝c＝2. 则BD⊥AC，∴AC＝2CD＝6，又∵EC＝2AE，则DE＝1， 故S△BDE＝. 返回 ‹#› 3 4 1 2 A级　基础落实练 1．(13分)(2025·陕西咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c. (1)求A； (2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长． 限时规范 训练(三十四)　三角形中的高线、中线与角平分线问题 返回 ‹#› 3 4 1 2 解：(1)因为a cos B＋b＝c， 由正弦定理可得sin A cos B＋sin B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A， 所以sin B＝sin B cos A， 又0＜B＜π，所以sin B＞0， 所以cos A＝， 因为0＜A＜π，所以A＝. 返回 ‹#› 3 4 1 2 (2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋3－2×3×＝3， 所以a＝，设△ABC中BC边上的高线长为h， 则S△ABC＝bc sin A＝ah，解得h＝. 返回 ‹#› 2 1 3 4 2．(13分)在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C． (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝△ABC的周长． 解：(1)由已知b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C， 由正弦定理得b2＝a2－bc－c2， 由余弦定理得cos A＝， 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝. 返回 ‹#› 2 1 3 4 (2)由S△ABC＝bc sin A＝，得 bc＝8，　① 由(1)知b2＝a2－bc－c2， 即b2＋c2＝a2－8，　② 在△ABD中，由余弦定理得c2＝·cos ∠ADB， 在△ADC中，由余弦定理得b2＝·cos ∠ADC， 返回 ‹#› 2 1 3 4 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以b2＋c2＝＋24，　③ 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝ ＝， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6. 返回 ‹#› 2 3 1 4 3．(13分)(2025·山东青岛模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2b sin A＋b sin B＝c sin 2B. (1)求角C； (2)若点D在边AB上，b＝2，CD＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB. ①CD为△ABC的一条中线；②CD为△ABC的一条角平分线；③CD为△ABC的一条高线． 返回 ‹#› 2 3 1 4 解：(1)因为2b sin A＋b sin B＝c sin 2B， 所以2sin B sin A＋sin2B＝sinC·2sin B·cos B，因为在△ABC中，sin B>0， 所以2sin A＋sin B＝2sin C cos B， 又sin A＝sin (B＋C)， 所以2(sin B cos C＋cos B sin C)＋sin B＝2sin C cos B， 所以2sin B cos C＋sin B＝0. 因为在△ABC中，sin B>0，所以cos C＝－，因为0<C<π，所以C＝. 返回 ‹#› 2 3 1 4 (2)若选①，因为，所以，则4＝4＋a2＋2×2×a×， 化简得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0(舍去)． 所以AB＝ . 若选②，因为S△ABC＝S△CAD＋S△CBD，所以×2×a×sin ×2×1×sin ×1×a×sin ，解得a＝2. 返回 ‹#› 2 3 1 4 所以AB＝ . 若选③，则S△ABC＝×2×a×sin ×AB×1，解得AB＝a. 所以AB2＝22＋a2－2×2×a×＝3a2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去)，所以AB＝2. 返回 ‹#› 2 3 4 1 B级　能力提升练 4．(13分)(2025·湖南长沙一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B. (1)求角A； (2)若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围． 返回 ‹#› 2 3 4 1 解：(1)由tan C＋＝tan B， 得tan B＋tan C＝－(1－tan B tan C)， 即， 即tan (B＋C)＝－，所以tan (π－A)＝即tan A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 返回 ‹#› 2 3 4 1 (2)设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝，故x∈， 则∠ACD＝2π－－2x＝π－2x， 由正弦定理有， ， 则AC＝CD＝2sin x， 返回 ‹#› 2 3 4 1 故S△ACD＝(2sin x)2sin (π－2x) ＝4sin3x cosx， 令φ(x)＝4sin3x cosx，x∈， 则φ′(x)＝12sin2x cos2x－4sin4x ＝4sin2x，易知φ′(x)>0，则函数φ(x)＝4sin3x cosx在上单调递增，又φ(0)＝0，φ＝， 所以△ACD面积的取值范围为. 返回 ‹#› 培优增分　三角形中的高线、中线与角平分线问题 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $