21.3实际问题与一元二次方程知识梳理+跟踪训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

 

21.3实际问题与一元二次方程知识梳理+跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版

【知识梳理】

由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

【跟踪训练】

一、选择题

1．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

2．某地区去年投入教育经费2500万元，计划明年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．某商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元．设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是(　　)

A．28(1＋x)2＝40 B．28(1＋x)2＝40－28

C．28(1＋2x)＝40 D．28(1＋x2)＝40

4．2024 龙年春晚主题为“龙行龘龘()，欣欣家园”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“鬣”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为320件，3月份销售量为500件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　）

A． B． C． D．

5．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(　　)

A． B．

C． D．

6．如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(　　)

A． B．

C． D．

7．在一幅长，宽的矩形风景画（图中阴影小矩形）的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图（图中虚线边框矩形）的面积是，设白色纸边的宽度为，那么满足的方程是（　　）

A． B．

C． D．

8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题

9．新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车年销量为万辆，销量逐年增加，年销量为万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为，则可列方程为　            　．

10．现要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意列出的方程为　         　．

11．如图，李大爷要建一个矩形羊圈．羊圈的一边利用长为12米的住房墙，另外三边是用25米长的彩钢围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1米宽的门，当所围矩形与墙垂直的一边长为 　     　米时，羊圈面积为80平方米．