第二章 第11讲 函数模型及其应用（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第11讲　函数模型及其应用 ◆课标要求 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 　实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢． 2．“对勾”函数f(x)＝x＋在(0，＋∞)上的性质：在上单调递减，在上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　　) (3)已知a＞1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度．(　　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元　　　　　 B．60万元 C．80万元 D．120万元 解析：D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． 3．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　) A．ln 2 B．ln 3 C． D． 解析：C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e-5k，解得k＝. 4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：B　 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x)． 　利用函数图象刻画变化过程 例1　如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为(　　) 解析：D　根据题意，△OAB是边长为2的等边三角形，则A点的坐标为，B点的坐标为(2，0)，所以直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－(x－2)， 所以当0≤t≤1时， y＝f(t)＝； 当1＜t≤2时， y＝f(t)＝(2－t)×(2－t) ＝(2－t)2； 当t＞2时，y＝f(t)＝，它的图象如D选项所示．故选D. 反思感悟　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 跟踪训练1　某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间 t(年)的函数图象正确的是(　　) 　 解析：A　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 　已知函数模型解决实际问题 例2　载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系式：d(x)＝10lg .若某人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8，则火箭发射时的声强级约为(　　) A．138 dB　　　　　 B．132 dB C．128 dB D．122 dB 解析：C　设此人交谈时的声强为x1 W/m2，火箭发射时的声强为x2 W/m2，则由题意得 d(x1)＝10lg ＝50，解得x1＝10-7，故x2＝107.8x1＝100.8，所以d(x2)＝10lg ＝10lg ＝128(dB)．故选C. 反思感悟　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 跟踪训练2　(2025·重庆南开中学质量检测)输血是救治外伤人员的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键．血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量．已知血液中ATP浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe-1.30λ(e为自然对数的底数，e≈2.718 28)．由此可知，当血液在20 ℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度，大约相当于血液在4 ℃恒温条件下保存________天后的ATP浓度．(参考数据：ln 5≈1.6)(　　) A．16 B．20 C．25 D．30 解析：C　设所求为t天，把数据代入关系式得S051.08×20·e-1.30×20＝S0t1.08×4e-1.30×4，解得t4.32＝，取自然对数得ln t＝≈3.2＝2ln 5，所以t≈25.故选C. 　构造函数模型解决实际问题 例3　(2025·安徽宣城模拟)某旅游开发公司计划2026年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2026年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2026年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)； (2)当2026年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入，则利润 W(x)＝ 化简得 W(x)＝ (2)当0<x≤5时，W(x)单调递增， W(x)max＝W(5)＝－25； 当5<x≤20时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝－＝20， 则W(x)max＝W(20)＝200； 当x>20时，∵x＋≥60， 当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立， ∴W(x)max＝W(30)＝－30－＋265＝205. 综上，当2026年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元． 反思感悟　构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)解模：求解函数模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 跟踪训练3　“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A．6　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析：C　设石片第n次接触水面时的速度为Vn，则Vn＝20×0.85n-1， 由题意得20×0.85n-1≥6，即0.85n-1≥0.3， 得n－1≤log0.850.3， 又log0.850.3＝＝ ≈7.4， 所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 限时规范训练(十七)　函数模型及其应用 (建议用时：45分钟　分值：99分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2　　　　　 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝ 解析：B　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 2．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只 B．1636只 C．1830只 D．1930只 解析：B　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1000， ∴1000＝klog33，解得k＝1000， ∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×(1＋)≈1636. 3．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲同学从家到公园的时间是30 min C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 解析：BD　在A中，甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，甲同学从家到公园的时间是30 min，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确． 4．(2025·江苏南京、盐城模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 解析：B　设火星的公转周期为T1，椭圆轨道的长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，椭圆轨道的长半轴长为a2， 则T1＝8T2，且 得＝8， 所以＝4，即a1＝4a2.故选B. 5．(2025·安徽合肥质检)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被叫做半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A．－2＋ B．2＋ C．－2＋log2＝log2 D．2＋log2＝log2 解析：B　设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为，乙的质量为，由题意可得，所以2＋.故选B. 6．(2025·广东韶关测试)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 解析：C　设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立．则平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816(元)．故选C. 7．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要使所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________m. 解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大． 答案：10 8．(2025·辽宁锦州测试)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.8 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门为了保护好优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过0.3 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477) 解析：设该污染物排放前需要过滤的次数为n(n∈N*)，则由题意得1.8×(1－20%)n≤0.3，即n≥6，所以lg n≥lg 6，n lg ≥lg 2＋lg 3，n(1－3lg 2)≥lg 2＋lg 3，所以n≥.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以＝7.77，所以n≥7.77.因为n∈N*，所以n的最小值为8. 答案：8 9．(2025·陕西西安期末)某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：若顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；若顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 若某人在该商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为________元． 解析：设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元，则当x∈(0，1000]时，y＝0，当x∈(1000，1500]时，y＝(x－1000)×5%＝0.05x－50，令y＝40，得0.05x－50＝40，解得x＝1800＞1500，不符合题意； 当x∈(1500，＋∞)时，y＝500×0.05＋(x－1500)×10%＝25＋0.1x－150＝0.1x－125，令y＝40，得0.1x－125＝40，解得x＝1650，符合题意．所以他实际所付金额为1650－40＝1610(元)． 答案：1610 10．(13分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s， 故有a＋blog3＝1，即a＋2b＝1. 解方程组得 即a，b的值分别为－1和1. (2)由(1)知，v＝－1＋log3. 所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 故－1＋log3≥2，解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位． 11．(13分)某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x(单位：台)，已知总收入R(单位：元)满足函数： R＝ (1)将利润P表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入＝总成本＋利润) 解：(1)由题知，利润P＝ (2)当0≤x≤200时，P＝－(x－300)2＋10 000， 所以当x＝200时，P有最大值5000； 当x＞200时，P＝150 000－100x－≤150 000－2＝50 000，当且仅当x＝500时，等号成立， 所以当x＝500时，P有最大值50 000. 综上，当月产量为500台时，公司所获利润最大，最大利润为5万元． B级　能力提升练 12．(多选)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分五个等级，等级x与购物卡的面值y(单位：元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则(　　) A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．一等奖的面值为3130元 D．三等奖的面值为130元 解析：ACD　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元， 因为100÷20＝5， 所以＝e－a＝5， 则a＝－ln 5，故A正确； 由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125. 因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)， 解得k＝5，故B错误； 则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确； 由ea＋b＋k＝e3a＋b·e-2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等奖的面值为3130元，故C正确． 13．(多选)溶液的酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH＜7时，溶液呈酸性，当pH＞7时，溶液呈碱性，当pH＝7时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6 D．若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用 解析：ABC　对于A，若苏打水的pH是8，即pH＝－lg [H＋]＝8，所以[H＋]＝10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，故A正确； 对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH＝－lg (2.5×10-2)＝－lg 2.5－lg 10-2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2≈1.6，故B正确； 对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7＝10-8.6，因此pH＝－lg 10-8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，故C正确； 对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH＝－lg (4×10-7)＝－lg 4－lg 10-7＝7－2lg 2≈6.4，而6.4不在6.5～8.5范围内，所以该种水不适合饮用，故D错误．故选A、B、C. 14．(15分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是 函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟) 解：(1)当x∈[0，16]时， 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b＜0)， 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80， 所以b＝－，所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16，40]时，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80， 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15， 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80， 综上，f(x)＝ (2)当x∈[0，16]时， 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68， 即(x－12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)， 所以x∈[0，4]； 当x∈[16，40]时，令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8-12≈29.6， 所以x∈[30，40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)． 学科网（北京）股份有限公司 $