第10章 第65讲 正态分布(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

圆学子梦想 铸金字品牌 第65讲　正态分布 复习目标 1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用. 2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率. 3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; ②曲线在x=μ处达到峰值; ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (3)参数μ和σ对正态曲线形状的影响 ①当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中; ②当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散. (4)若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2. 知识点2　正态分布 (1)正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,则称X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 常用结论 若X~N(μ,σ2),则P(X<a)=1-P(X≥a);P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1 2,4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方. (　√　) (2)正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方. (　×　) (3)正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化. (　×　) (4)正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低. (　√　) 2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X<3)=0.7,则P(1<X<2)= (　　) A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 【解析】选A.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以曲线关于直线x=2对称.因为P(X<3)=0.7,所以P(X≥3)=1-0.7=0.3, 所以P(X≤1)=P(X≥3)=0.3, 所以P(1<X<3)=1-P(X≤1)-P(X≥3)=1-0.6=0.4,所以P(1<X<2)=P(1<X<3)=0.2. 3.(选择性必修第三册P85·思考变式)设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c的值为________.  【解析】由X~N(2,9)可知,正态分布的图象关于直线x=2对称(如图所示).又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2, 所以c=2. 答案:2 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=________.  【解析】因为X~N(2,σ2), 所以P(X<2)=P(X>2)=0.5, 因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 答案:0.14 考点突破强技能 考点一正态分布的性质…………题组练通 1.设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是 (　　) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 【解析】选B.因为f(x)=,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2. 2.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.甲类水果的平均质量为0.4 kg B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大 D.σ2=1.99 【解析】选ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4 kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足=1.99,则σ2≠1.99,故D错误. 3.设随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态曲线如图所示,下列结论中正确的是 (　　) A.μ1>μ2 B.σ1<σ2 C.P(X≤34)<P(Y≤34) D.P(X≤38)<P(Y≤38) 【解析】选D.由正态曲线的性质可知,X~N(μ1,),Y~N(μ2,)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图象可得,μ1=30,μ2=34,则μ1<μ2, 根据正态曲线的性质,σ越大图象越矮胖,所以σ1>σ2,故A,B错误; 由曲线X的对称轴为直线x=μ1,曲线Y的对称轴为直线x=μ2,可知μ2>μ1, 所以P(X≤34)>=P(Y≤34),P(X≤38)<P(Y≤38),故C错误,D正确. 4.(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01, 已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布 N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入 Y服从正态分布N(,s2),则 (　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 【解析】选BC.由题意得X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 故P(X>2)<P(X>μ+σ)=1-P(X<μ+σ)<0.2, 故B正确,A错误; 而 P(Y>2)=P(Y>μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.841 3>0.8, 故C正确, D错误. 解题技法 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为直线x=μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0. 考点二服从正态分布的概率计算 【例1】(1)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 (　　) A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意; 对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意; 对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意; 对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)内的概率与落在(10.2,10.3)内的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率不同,故D错误,符合题意. (2)在某次质量检测考试中,高二年级学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第________名.  (参考数值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) 【解析】因为数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以μ=98,σ=10, 所以108=μ+σ,则P(X>108)=P(X>μ+σ)=≈0.158 65,数学成绩为108分的学生大约排在全市第100 000×0.158 65=15 865(名). 答案:15 865 解题技法 正态分布的概率计算的关键点 正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称. 【训练1】　(1)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位:kW·h/100km)情况,随机调查得到了1 200个样本,据统计,该型号新能源汽车的耗电量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,则样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有 (　　) A.180辆 B.360辆 C.600辆 D.840辆 【解析】选A.因为ξ~N(13,σ2),且P(12<ξ<14)=0.7,所以P(ξ≥14)=×[1-P(12<ξ<14)]=×(1-0.7)=0.15,所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有1 200×0.15=180(辆). (2)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析,数学成绩X近似服从正态分布N(72,82),则数学成绩位于(80,88]的人数约为 (　　) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.455 B.2 718 C.6 346 D.9 545 【解析】选B.由题意可知,μ=72,σ=8,P(80<X≤88)=P(μ+σ<X≤μ+2σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,则数学成绩位于(80,88]的人数约为0.135 9×20 000=2 718. 【加练备选】 1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选B.因为随机变量X服从正态分布N(5,4),所以其图象关于直线x=5对称.又因为P(X>k)=P(X<k-4),所以=5,解得k=7. 2.陕西洛川苹果享誉国内外,据统计,陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则直径在(80,85]内的概率为 (　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.0.021 4 B.0.043 0 C.0.818 5 D.0.682 6 【解析】选A.由题可设直径在(80,85]内的概率为P,则P= ≈=0.021 4. 3.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X<3)+P(X≤1)=1,则μ=________.  【解析】因为X服从正态分布N(μ,σ2),所以P(X<3)+P(X≥3)=1,所以P(X≤1)=P(X≥3),由正态曲线的对称性知对称轴为直线x=2,所以μ=2. 答案:2 考点三正态分布的综合应用 【例2】某商场在五一假期开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率; (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据累计得分给2 500名参加者中累计得分在前400名的发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上的共有57人,已知甲的累计得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由; ②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上的共有57人.”请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪(注:若一个事件发生的概率小于0.005,则称此事件为小概率事件). 附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 【解析】(1)设Ai:第i次通过第一关,Bi:第i次通过第二关,甲可以进入第三关的概率为P,由题意知P=P(A1B1)+P(A2B1)+P(A1B2)+P(A2B2)=P(A1)P(B1)+P()P(A2)P(B1)+P(A1)P()P(B2)+P()P(A2)P()P(B2)=×+(1-)××+×(1-)×+(1-)××(1-)×=. (2)设此次闯关活动的累计得分为X,则X~N(μ,σ2). ①由题意可知μ=171,因为=0.022 8, 且P(X>μ+2σ)=≈≈0.022 8, 所以μ+2σ=351,则σ==90, 而=0.16, 且P(X>μ+σ)=≈≈0.158 7<0.16, 所以参赛者中累计得分在前400名的最低得分低于μ+σ=261,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励. ②假设乙所说为真,则μ=201, P(X>μ+2σ)=≈≈0.022 8, 而=0.022 8,所以σ==75,从而μ+3σ=201+3×75=426<430, 而P(X>μ+3σ)=≈≈0.001 4<0.005,所以丙的分数为430分是小概率事件,认为其一般不可能发生,所以可认为乙所说信息为假. 解题技法 在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把正态分布的两个重要参数μ,σ求出来,然后确定三个区间(范围):[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]并与已知概率值进行联系求解. 【训练2】　某校团委组织学生开展知识竞赛活动,现从参加该活动的学生中随机抽取了100名,统计出他们的竞赛成绩分布如表所示: 成绩/分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值代表); (2)以频率估计概率,发现参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均分,σ2近似为样本方差s2,若μ-σ≤X≤μ+2σ,参赛学生可获得“参赛纪念证书”;若X>μ+2σ,参赛学生可获得“参赛先锋证书”. ①若学校有3 000名学生参加本次竞赛活动,试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数); ②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分=75. 【解析】(1)由题意,抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分=75, 所以这100名学生竞赛成绩的方差s2=(45-75)2×+(55-75)2×+(65-75)2×+(75-75)2×+(85-75)2×+(95-75)2×=100. (2)①由于μ近似为样本平均分,σ2近似为样本方差s2, 所以μ=75,σ2=100,可知σ==10, 由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2), 因此参赛学生获得“参赛纪念证书”的概率为P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈×0.682 7+×0.954 5=0.818 6, 所以3 000×0.818 6=2 455.8≈2 456, 故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2 456. ②当X>μ+2σ,即X>95时,参赛学生可获得“参赛先锋证书”,所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”. - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $