第二章 第9讲 函数的图象（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第9讲　函数的图象 ◆课标要求 1．会画简单的函数图象.2.能运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与求不等式解的问题． 1．利用描点法作函数的图象 (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质[奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)]； (4)列表(尤其注意特殊点)、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象的图象． (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax)； y＝f(x)y＝Af(x)． (4)翻折变换 y＝f(x)的图象 y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象 y＝f(|x|)的图象． 1．几个重要结论 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 3．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝21-x的大致图象为(　　) 　 解析：A　y＝21-x＝x-1，故函数为减函数，可排除C，D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选A. 3．(2025·河南TOP二十名校调研)如图是函数f(x)＝(a∈R，b∈N*)的部分图象，则(　　) A．a>0，b是奇数　　　 B．a<0，b是奇数 C．a>0，b是偶数 D．a<0，b是偶数 解析：A　当b为偶数时，f(x)恒大于0，不符合题图，所以b为奇数．当x＝－a时，f(x)＝0，由题图可知，此时－a<0，即a>0.故选A. 4．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝______． 解析：由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－1 　作函数的图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝|log2(x＋1)|； (2)y＝； (3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示． 图① (2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． 图② (3)原函数可化为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示． 图③ 反思感悟　函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，先去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 跟踪训练1　(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于(　　) A．ex+1　　　　　　　 B．ex-1 C．e－x+1 D．e－x-1 解析：D　依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到．∴y＝ex y＝e－x y＝e－(x+1)＝e－x-1，∴f(x)＝e－x-1. (2)(2025·甘肃武威模拟)将函数y＝|－x2＋1|＋2的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为(　　) 解析：C　原函数解析式可化为 y＝ 可得函数的大致图象如图所示， 将其图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 　函数图象的辨识 考向1　函数图象的识别 例2　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 解析：B　由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin >0，排除D.故选B. (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　由题图可知f(x)为偶函数，而选项A，B中的函数均为奇函数，所以排除A，B. 又因为选项C中，f(x)＝>0恒成立，故排除C，故选D. 反思感悟　识别函数图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 考向2　借助动点探究函数的图象 例3　如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　) 　 解析：C　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C. 反思感悟　根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法 (1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象． (2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择． 注意：求解的过程中注意实际问题中的定义域问题． 跟踪训练2　(1)(2025·福建厦门质量检测)函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解析：A　因为函数f(x)＝的定义域为R，所以排除C、D；因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B.故选A. (2)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　) 　 解析：B　观察题中函数图象，根据图象的特点，发现取水深h＝时，注水量V>，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一半，A中，C，D中V＝，故排除A，C，D，选B. 　函数图象的应用 考向1　利用函数图象研究函数的性质 例4　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解析：C　原函数可化为f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称， 故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 考向2　利用函数的图象解不等式 例5　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．∪ B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪∪ D．∪∪(2，＋∞) 解析：C　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 等价于 或 解得x<－2或<x<2或－<x<0.故不等式解集为(－∞，－2)∪∪. 考向3　利用函数图象求参数的取值范围 例6　设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 反思感悟　(1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下位置关系问题，从而利用数形结合法求解． (3)利用函数图象求多个变量的和(或积)的取值范围时，可利用对称性，发现其中两个变量的和(或积)为定值，从而对原式进行转化，再结合图象，确定其余变量的取值范围，即可求得相应范围． 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________． 解析：函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a<b<c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 而1<c<2026，所以2<a＋b＋c<2027. 答案：(2，2027) 限时规范训练(十五)　函数的图象 (建议用时：45分钟　分值：83分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(2025·北京师范大学附属中学检测)要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝的图象(　　) A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：A　y＝，故将y＝的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到y＝的图象． 2．(2025·河北邢台高三期末)已知函数f(x)＝|ln |x||，则函数y＝－f(－x＋1)的图象是(　　) 解析：D　因为f(x)＝|ln |x||的定义域为{x|x≠0}，所以y＝－f(－x＋1)的定义域为{x|x≠1}，所以排除A、C；因为f(x)＝|ln |x||≥0，所以y＝－f(－x＋1)≤0，所以排除B.故选D. 3．(2025·贵州六校联考)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析：B　f(x)＝x≠0}且关于原点对称， 又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除C. 因为f(1)＝，f(2)＝，所以f(1)>f(2)，故排除D. 因为f(7)＝>＝f(1)，故排除A.故选B. 4．(2025·天津十二区重点学校模拟)y＝f(x)的大致图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝|x2－sin x| B．f(x)＝|x－sin x| C．f(x)＝|2x－1| D．f(x)＝ 解析：A　因为f(0)＝0，所以排除D；因为当x>0时，f(x)＝2x－1为(0，＋∞)上的增函数，与所给图象不符，所以排除C；因为f(－x)＝|－x－sin (－x)|＝|－x＋sin x|＝|x－sin x|对x∈R都成立，所以f(x)为偶函数，与所给图象不符，所以排除B.故选A. 5．函数y＝f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>0，b>0，c>0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 解析：C　f(x)的定义域为{x|x≠－c}，结合题中函数图象可知－c>0，则c<0，又f(0)>0，即>0，所以b>0.由f(x)＝0得ax＋b＝0，即x＝－，由图象可知x＝－>0，所以a<0.故选C. 6．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析：B　由题意知，函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除CD； 则一开始，h随着时间的变化减少程度变慢，超过一半时，h随着时间的变化减少程度变快，故对应的图象为B.故选B. 7．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)．则h(x)(　　) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值 解析：C　画出函数y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象如图所示，两图象交于A，B两点． 由题意，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)． 综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值． 8．若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为(　　) A．4－　　　　　 B．2＋ C．4＋ D．2－ 解析：C　作出函数 f(x)＝x(|x|－2)＝的图象， 如图所示， 当x≥0时，令x(x－2)＝3， 解得x1＝－1(舍)，x2＝3， 当x<0时，令x(－x－2)＝－1， 解得x3＝－1－(舍)， 结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－＝4＋. 9．(多选)(2025·福建福州质检)函数f(x)＝的大致图象可能是(　　) 解析：BCD　当a＝0时，f(x)＝是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，此时对应的图象可能是C. 当a>0时，f(x)的定义域为R，令f(x)＝0，得x＝－<0，f(－x)＝，f(x)为非奇非偶函数，且f′(x)＝2x＋a2＝0，则Δ＝4＋4a3>0，设方程的两根分别为x1，x2(x1<0<x2)，所以当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0， 即函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，由单调性判断此时对应的图象可能是B. 当a<0时，易知f(x)为非奇非偶函数，f(x)在x＝±处无定义，取a＝－2，此时f(x)＝，f＝0，又f′(x)＝>0，所以当x<－时，f(x)>0且f(x)单调递增，当x>时，f(x)<0且f(x)单调递增，当－<x<时，f(x)单调递增，此时对应图象可能是D. 对于A，由于图象无间断点，故a>0，但此时f(x)在(－∞，0)上不可能恒正，故A错误．故选B、C、D. 10．(多选)如图，四个平面图形分别是三角形、等腰梯形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，则平面图形的形状可能是(　　) 解析：AD　由y＝f(t)的图象可知面积递增的速度先变快后变慢，对于选项C，后半段f(t)是匀速递增，排除C；对于选项B，中间有一段f(t)也是匀速递增，排除B.选项A、D适合． 11．(多选)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 解析：ABD　由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln |x||＝|ln |－x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝|ln |－(x－2)||＝|ln |2－x||的图象，则函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示． 由图象可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2) ，则x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确． 12．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________． 解析：由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1， 故f(x)＝g(x－1)－1， 所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2. 答案：－2 13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________． 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象如图所示．由图易知a<2. 答案：(－∞，2) 14．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________． 解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴ab＝1，0<c<lg 10＝1， ∴abc的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) B级　能力提升练 15．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)，所以当x∈(2，4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，当x∈(4，6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，函数部分图象如图所示， 由4(x－4)(6－x)＝3，得 4x2－40x＋99＝0， 解得x＝或x＝，因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，所以由图象可知m≤. 答案： 16．若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则的大小关系为________． 解析：由题意可得，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率． 结合图象可知，当a>b>c>0时，<<. 答案：<< 学科网（北京）股份有限公司 $