第二章 第8讲 对数函数（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第8讲　对数函数 ◆课标要求 1．通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 函数 y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是 减函数 3.反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于y＝x对称． 　只有在对应关系f下，定义域与值域是一一对应的函数才有反函数． 1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 2．如图给出4个对数函数的图象， 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) (3)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 解析：A　法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2， 所以 ＜＜， 即log0.46＜log0.36＜log0.26， 即a＞b＞c. 3．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝的图象可能是(　　) 解析：D　当0＜a＜1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减， 于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增， 函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减， 因此，D中的两个图象符合． 当a＞1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增， 于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增， 显然A，B，C三个选项都不符合，故选D. 4．函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义， 则需解得＜x≤1. 答案： 　对数函数的图象及应用 例1　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 解析：A　由题中函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 又函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a-1<b<1. (2)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 解析：f(x)＝|log2x|，作出f(x)的图象如图所示， 又f(a)＝f(b)且0<a<b， ∴0<a<1，b>1且ab＝1， ∴a2<a， 由图象知，在区间[a2，b]中， f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2， ∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4. 答案：4 反思感悟　(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下： ①对不等式等价变形，使不等号两边对应的两函数f(x)，g(x)为常见函数，以便作出两函数的图象． ②在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象． ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况． 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 解析：A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象(图略)，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A. (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. 答案： 　对数函数的性质及应用 考向1　比较对数式的大小 例2　(2025·河北石家庄模拟)下列不等式成立的是(　　) A．0.60.6>0.60.5　　 B．log60.6>log50.5 C．0.60.5>log0.60.5 D．log60.5>log60.7 解析：B　A项，y＝0.6x单调递减，所以0.60.6<0.60.5，故A不成立；B项，y＝log6x单调递增，所以log60.6>log60.5，又log60.5>log50.5，所以log60.6>log50.5，故B成立；C项，0.60.5∈(0，1)，log0.60.5>log0.60.6＝1，所以0.60.5<log0.60.5，故C不成立；D项，y＝log6x单调递增，所以log60.5<log60.7，故D不成立．故选B. 反思感悟　比较对数函数值大小的方法 单调 性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 考向2　解对数不等式 例3　不等式＜解集是________． 解析：因为＜可化为＜－⇒＞⇒1＜＜3＋2，∴x∈，即原不等式的解集为. 答案： 反思感悟　常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)解形如logaf(x)＞b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解． (3)解形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零． 考向3　对数函数性质的综合应用 例4　(2025·辽宁重点高中协作体期末)已知函数f(x)＝log2(－x2＋ax＋15)在[，4]上为单调函数，则a的取值范围为________． 解析：因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)＝－x2＋ax＋15在[，4]上为单调函数． 若h(x)在[，4]上单调递增，则 解得a≥8； 若h(x)在[，4]上单调递减，则 解得<a≤. 综上，a的取值范围为(，]∪[8，＋∞). 答案：(，]∪[8，＋∞) 反思感悟　解对数函数综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 跟踪训练2　(1)(2025·云南昆明模拟)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则(　　) A．a>b>c　　　　 B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 解析：B　由f(x)＝|lg x|得a＝f＝ ＝|－lg 4|＝lg 4，b＝f＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝f(3)＝lg 3， 因为y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，所以 lg 4>lg 3>lg 2， 即a>c>b.故选B. (2)(多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题第11题变式)已知函数f(x)＝下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)为奇函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．f(x)的值域为(0，＋∞) 解析：AB　对于A，由>0，解得－1<x<1，即f(x)的定义域为(－1，1)，所以A正确；对于B，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以B正确；对于C，f(x)＝ln ＝ln ＝ln ，在(－1，1)上，y＝－1＋单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)在定义域上是减函数，所以C不正确；对于D，因为f(x)的定义域为(－1，1)，所以－1＋∈(0，＋∞)，所以ln ∈(－∞，＋∞)，所以D不正确．故选A、B. (3)不等式log2(x－1)－log4(3x－5)>0的解集为________． 解析：原不等式可化为log2(x－1)－得log2(x－1)>log2， 则 解得x∈∪(3，＋∞)． 答案：∪(3，＋∞) 三元变量的比较大小问题 对于变量较多的比较大小问题的解法主要有三种思路： (1)借助于中间变量比较大小； (2)不同底数的对数值转化为同底数的对数值，借助于函数的单调性比较大小； (3)不同真数的对数值转化为相同真数的对数值，借助图象法比较大小． 训练　已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z　　　 B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 解析：A　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以>1， 则2x>3y， <1， 则2x<5z. 所以3y<2x<5z. 限时规范训练(十四)　对数函数 (建议用时：45分钟　分值：98分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　 B． C． D．2x-2 解析：A　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x. 2．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：B　由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，选B. 3．(2025·重庆一诊)设函数f(x)＝lg (x2＋1)，则使得f(2x－1)>f(x＋1)成立的x的取值范围为(　　) A．(0，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：D　易知f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，因为f(2x－1)>f(x＋1)，所以|2x－1|>|x＋1|，则|2x－1|2>|x＋1|2，即4x2＋1－4x>x2＋1＋2x，所以3x2－6x>0，所以x<0或x>2.故选D. 4．对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 解析：A　若0＜a＜1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴为直线x＝＜0，则对称轴在y轴左侧，故C，D错误；若a＞1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝＞0，则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确．故选A. 5．(2025·广东深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解析：D　当x＝0时，y＝loga＝－1. 当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限． 所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．故选D. 6．(2025·江苏常州质量监测)设函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[0，1] C．(－1，1] D．[1，＋∞) 解析：C　f(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可得y＝x＋在[1，＋∞)上单调递增． 当a>0时，y＝x＋在上单调递增，则≤1，所以0<a≤1. 当a＝0时，y＝x满足题意． 当a<0时，y＝x＋在(0，＋∞)上单调递增，满足在[1，＋∞)上单调递增， 又x＋>0，则1＋>0，解得a>－1，所以－1<a<0， 综上，－1<a≤1. 7．函数f(x)＝log2·的最小值为________． 解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝ －，当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. 答案：－ 8．已知f(x)＝|log2x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则4ab＝________． 解析：∵f(a)＝f(b)， ∴|log2a|＝|log2b|. 作出函数图象，如图所示： 由图可得0＜a＜1＜b， ∴－log2a＝log2b， ∴log2a＋log2b＝0， ∴log2ab＝0，∴ab＝1， ∴4ab＝4. 答案：4 9．若函数f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为________． 解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1，2)． 答案：[1，2) 10．(13分)已知函数f(x)＝log2是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝ 即log2＝log2， 所以a＝1，f(x)＝log2， 令>0，解得x<－1或x>1， 所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1. 因为当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立， 所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 11．(13分)(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(a＋4)＞f(2a)，求a的取值范围． 解：(1)由|x－2|＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 当x＞2时，y1＝log2(x－2)是增函数，y2＝(x－2)2－4也是增函数，故f(x)＝log2(x－2)＋(x－2)2－4是增函数； 当x＜2时，f(x)＝log2(－x＋2)＋(x－2)2－4是减函数． 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． (2)因为f(x)＝f(－x＋4)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． 由f(a＋4)＞f(2a)， 得 解得0＜a＜4且a≠1，故a的取值范围为(0，1)∪(1，4)． B级　能力提升练 12．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上的最大值为0 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：BC　f(x)＝ln x＋ln (2－x)，定义域为(0，2)， f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)， 令t＝－x2＋2x，y＝ln t， ∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确； f(x)max＝f(1)＝0，故B正确； ∵f(1＋x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)， f(1－x)＝ln (1－x)＋ln (1＋x)， ∴f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确． 13．(多选)(2025·湖南部分学校联考)已知函数f(x)＝lg ，则(　　) A．f(x)的最小值为1 B．∃x∈R，f(1)＋f(x)＝2 C．f(log92)>f D．f>f 解析：ACD　由题可得，f(x)＝lg ≥lg 10＝1，当且仅当x＝时，f(x)取得最小值1，A正确． 因为当且仅当x＝时，f(x)取得最小值1，所以f(1)>1，所以f(1)＋f(x)>2，B错误． 因为0<log92＝<，所以.＝，设g(x)＝x2－x＋＝2＋10，则g(x)的图象关于直线x＝对称，g(log92)>g>0，又y＝lg x在定义域上是增函数，所以f(log92)>C正确． 因为90.1＝30.2>30.18>1，所以90.1－>30.18－>，又f(x)在上单调递增，所以f>f，D正确．故选A、C、D. 14．(15分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f＞k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k＜－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $